Ejercicio 174

CAPITULO XXIII

Ecuaciones indeterminadas
Problemas sobre ecuaciones indeterminadas
Ejercicio 174
  1. ¿De cuántos modos se pueden tener $ 42 en billetes de $ 2 y de $ 5?
    x  Billetes de $2 y  Billetes de $5 2x+5y =42 2x =425y x = 425y 2 x = 40+23y2y 2 x = 2 + 2 2 3y 2 2 y 2 x =20y+ 23y 2 x20+y = 23y 2 23y 2 Entero 23y 2 = 22yy 2 = 2 2 2 y 2 y 2 =y+ 2y 2 2y 2 =m 2y =2m y =2m2 y =22m  Reemplazo en la ecuación inicial 2x+5(22m ) =42 2x+1010m =42 2x =4210+10m 2x =32+10m x = 2 (16+5m ) 2 x =5m+16 { y=22m x=5m+16 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=16 y=2 16 de $2 y 2 de $5 m=1 x=11 y=4 11 de $2 y 4 de $5 m=2 x=6 y=6 6 de $2 y 6 de $5 m=3 x=1 y=8 1 de $2 y 8 de $5
  2. ¿De cuántos modos se pueden pagar $ 45 en monedas de $ 5 y de $ 10?
    x  Monedas de $5 y  Monedas de $10 5x+10y =45 5x =4510y x = 4510y 5 x = 40+55y5y 5 x = 5 + 5 5 5 y 5 5 y 5 x =8y+ 55y 5 x8+y =1y 1y =m y =m1 y =1m  Reemplazo en la ecuación inicial 5x+10(1m ) =45 5x+1010m =45 5x =4510+10m 5x =35+10m x = 5 (7+2m ) 5 x =2m+7 { y=1m x=2m+7 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=7 y=1 7 de $5 y 1 de $10 m=1 x=5 y=2 5 de $5 y 2 de $10 m=2 x=3 y=3 3 de $5 y 3 de $10 m=3 x=1 y=4 1 de $5 y 4 de $10
  3. Hallar dos números tales que si uno se multiplica por 5 y el otro por 3, la suma de sus productos sea 62.
    x  número que se multiplica por 5 y  número que se multiplica por 3 5x+3y =62 3y =625x y = 625x 3 y = 60+23x2x 3 y = 3 + 2 3 3 x 3 2x 3 y =20x+ 22x 3 y20+x = 22x 3 22x 3 Entero Multiplico por 5 1010x 3 = 9+19xx 3 = 3 + 1 3 x 3 x 3 =33x+ 1x 3 1x 3 =m 1x =3m x =3m1 x =13m  Reemplazo en la ecuanción inicial 5(13m ) +3y =62 515m+3y =62 3y =625+15m 3y =57+15m y = 3 (5m+19 ) 3 y =5m+19 { x=13m y=5m+19 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=1 y=19 1 y 19 m=1 x=4 y=14 4 y 14 m=2 x=7 y=9 7 y 9 m=3 x=10 y=4 10 y 4
  4. Un hombre pagó 340 bolívares por sombreros a bs. 8 y pares de zapatos a bs. 15. ¿Cuántos sombreros y cuántos pares de zapatos compró?
    x  sombreros y  pares de zapatos 8x+15y =340 8x =34015y x = 34015y 8 x = 336+48y7y 8 x = 8 + 4 8 8 y 8 7y 8 x =42y+ 47y 8 x42+y = 47y 8 47y 8 Entero Multiplico por 7 2849y 8 = 24+448yy 8 = 8 + 4 8 y 8 y 8 =36y+ 4y 8 4y 8 =m 4y =8m y =8m4 y =48m  Reemplazo en la ecuación inicial 8x+15(48m ) =340 8x+60120m =340 8x =34060+120m 8x =280+120m x = 8 (15m+35 ) 8 x =15m+35 { y=48m x=15m+35 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=35 y=4 35 sombreros y 4 pares de zapatos m=1 x=20 y=12 20 sombreros y 12 pares de zapatos m=2 x=5 y=20 5 sombreros y 20 pares de zapatos
  5. Un hombre pagó $ 42 por tela de lana a $ 1.50 el metro y de seda a $ 2.50 el metro. ¿Cuántos metros de lana y cuántos de seda compro?
    x  metros de tela de lana y  metros de tela de ceda 1,50x+2,50y =42 Multiplico por 2 la ecuación para obtener valores enteros 3x+5y =84 3x =845y x = 845y 3 x = 81+33y2y 3 x = 3 + 3 3 3 y 3 2y 3 x =27y+ 32y 3 x27+y = 32y 3 32y 3 Entero Multiplico por 5 1510y 3 = 12+39yy 3 = 3 + 3 3 y 3 y 3 =43y+ 3y 3 3y 3 =m 3y =3m y =3m3 y =33m  Reemplazo en la ecuacion inicial 3x+5(33m ) =84 3x+1515m =84 3x =8415+15m 3x =69+15m x = 3 (5m+23 ) 3 x =5m+23 { y=33m x=5m+23 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=23 y=3 23 m. de tela de lana y 3 m. de tela de seda m=1 x=18 y=6 18 m. de tela de lana y 6 m. de tela de seda m=2 x=13 y=9 13 m. de tela de lana y 9 m. de tela de seda m=3 x=8 y=12 8 m. de tela de lana y 12 m. de tela de seda m=4 x=3 y=15 3 m. de tela de lana y 15 m. de tela de seda
  6. En una excursión cada niño pagaba 45 cts. y cada adulto $ 1. Si el gasto total fue de $ 17, ¿Cuántos adultos y niños iban?
    x  niños y  adultos 0,45x+y =17 Multiplico la ecuación por 20 9x+20y =340 9x =34020y x = 34020y 9 x = 333+718y2y 9 x = 9 + 7 9 y 9 2y 9 x =372y+ 72y 9 x37+2y = 72y 9 72y 9 Entero Multiplico por 14 9828y 9 = 90+827yy 9 = 9 + 8 9 y 9 y 9 =103y+ 8y 9 8y 9 =m 8y =9m y =9m8 y =89m  Reemplazo en la ecuación inicial 9x+20(89m ) =340 9x+160180m =340 9x =340160+180m 9x =180m+180 x = 9 (20m+20 ) 9 x =20m+20 { y=89m x=20m+20 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=20 y=8 20 niños y 8 adultos
  7. Un ganadero compró caballos y vacas por 41.000 sucres. Cada caballo le costó 460 sucres y cada vaca 440 sucres. ¿Cuántos caballos y vacas compro?
    x  número de caballos y  número de vacas 460x+440y =41000 Multiplico la ecuación por  1 20 23x+22y =2050 22y =205023x y = 205023x 22 y = 2046+422xx 22 y = 22 + 4 22 22 x 22 x 22 y =93x+ 4x 22 4x 22 =m 4x =22m x =22m4 x =422m  Reemplazo en la ecuación inicial 23(422m ) +22y =2050 92506m+22y =2050 22y =205092+506m 22y =1958+506m y = 22 (89+23m ) 22 y =23m+89 { x=422m y=23m+89 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=4 y=89 4 vacas y 89 caballos m=1 x=26 y=66 26 vacas y 66 caballos m=2 x=48 y=43 48 vacas y 43 caballos m=3 x=70 y=20 70 vacas y 20 caballos
  8. El triplo de un número aumentado en 3 equivale al quíntuplo de otro aumentado en 5. Hallar los menores números positivos que cumplen esta condición.
    x  un número natural y  otro número natural 3x+3 =5y+5 3x =5y+53 3x =5y+2 x = 5y+2 3 5y+2 3 Entero Multiplico por 2 10y+4 3 = 9y+y+3+1 3 = y 3 + y 3 + 3 3 + 1 3 =1+3y+ 1+y 3 1+y 3 =m 1+y =3m y =3m1  Reemplazo en la ecuación inicial 3x5(3m1 ) =2 3x15m+5 =2 3x =25+15m 3x =15m3 x = 3 (5m1 ) 3 x =5m1 { y=3m1 x=5m1 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=1 x=4 y=2 4 y 2
  9. ¿De cuántos modos se pueden pagar $ 2.10 con monedas de 25 cts. y de 10 cts.?
    x  monedas de 25 ctvs. y  monedas de 10 ctvs. 0,25x+0,10y =2,10 Multiplico la ecuación por 100 25x+10y =210 10y =21025x y = 21025x 10 y = 200+1020x5x 10 y = 20 0 1 0 + 10 10 2 0 x 1 0 5x 10 y =202x+ 105x 10 y20 +2x= 2x 2 2x 2 =m 2x =2m x =2m2 x =22m  Reemplazo en la ecuación inicial 25(22m ) +10y =210 5050m+10y =210 10y =21050+50m 10y =50m+160 y = 1 0 (5m+16 ) 1 0 y =5m+16 { x=22m y=5m+16 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=2 y=16 2 monedas de 25 ctvs. y 16 monedas de 10 ctvs. m=1 x=4 y=11 4 monedas de 25 ctvs. y 11 monedas de 10 ctvs. m=2 x=6 y=6 6 monedas de 25 ctvs. y 6 monedas de 10 ctvs. m=3 x=8 y=1 8 monedas de 25 ctvs. y 1 monedas de 10 ctvs.

Ejercicio 173

CAPITULO XXIII

Ecuaciones indeterminadas
Resolución de una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Soluciones enteras y positivas
Ejercicio 173
Hallar todas las soluciones enteras y positivas de:
  1. x+y =5 y =5x 5x Para que sea entero positivo  1y4  siendo «y« entero x=1 y=4 x=2 y=3 x=3 y=2 x=4 y=1
  2. 2x+3y =37 2x =373y x = 373y 2 x = 36+12yy 2 x = 2 + 1 2 2 y 2 y 2 x =18y+ 1y 2 x18+y = 1y 2 1y 2 Entero Multiplico por 3 33y 2 33y 2 = 2 2 + 1 2 2 y 2 y 2 =1y+ 1y 2 Entero 1y 2 =m 1y =2m y =2m1 y =12m Reemplazo en la ecuación original 2x+3(12m ) =37 2x+36m =37 2x =373+6m x = 346m 2 x = 2 (17+3m ) 2 x =17+3m { y=12m x=17+3m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m,  tiene que tomar los siguientes valores m=0 y=1 x=17 m=1 y=3 x=14 m=2 y=5 x=11 m=3 y=7 x=8 m=4 y=9 x=5 m=5 y=11 x=2
  3. 3x+5y =43 3x =435y x = 435y 3 435y 3 = 3 + 1 3 3 y 3 2y 3 x =14y+ 12y 3 x14+y = 12y 3 12y 3 Entero Multiplico por 2 24y 3 = 2 3 3 y 3 y 3 =y+ 2y 3 2y 3 =m 2y =3m y =3m2 y =23m  Reemplazo en la ecuacion original 3x+5(23m ) =43 3x+1015m =43 3x =4310+15m 3x =33+15m x = 3 (11+5m ) 3 x =11+5m { x=11+5m y=23m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=11 y=2 m=1 x=6 y=5 m=2 x=1 y=8
  4. x+3y =9 x =93y 93y Entero Divido para 3 3y Entero 3y =m y =m3 y =3m  Reemplazo en la ecuación original x+3(3m ) =9 x+ 9 3m = 9 x =3m { y=3m x=3m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=3 y=2 m=2 x=6 y=1
  5. 7x+8y =115 7x =1158y x = 1158y 7 x = 7 + 3 7 7 y 7 y 7 x =16y+ 3y 7 3y 7 Entero Multiplico por 8 248y 7 = 24 7 7 y 7 y 7 =y+ 24y 7 24y 7 =m 24y =7m y =24+7m y =247m  Reemplazo en la ecuación original 7x+8(247m ) =115 7x+19256m =115 7x56m =77 7x =56m77 x = 7 (8m11 ) 7 x =8m11 { y=247m x=8m11 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=2 x=5 y=10 m=3 x=13 y=3
  6. 15x+7y =136 7y =13615x y = 13615x 7 y = 7 + 3 7 x 7 x 7 y =192x+ 3x 7 3x 7 Entero Multiplico por 8 248x 7 = 24 7 7 x 7 x 7 =x+ 24x 7 24x 7 =m 24x =7m x =7m24 x =247m  Reemplazo en la ecuación inicial 15(247m ) +7y =136 360105m+7y =136 7y =136360+105m 7y =224+105m y = 7 (15m32 ) 7 y =15m32 { x=247m y=15m32 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=3 x=3 y=13
  7. x+5y =24 x =245y x =24+115y x = 5 1 5 5 y 5 x+ 1 5 =5y 5y =m y =m5 y =5m  Reemplazo en la ecuación inicial x+5(5m ) =24 x+255m =24 x =5m1 { y=5m x=5m1 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=4 y=4 m=2 x=9 y=3 m=3 x=14 y=2 m=4 x=19 y=1
  8. 9x+11y =203 9x =20311y x = 20311y 9 x = 9 + 5 9 9 y 9 2y 9 x =22y+ 52y 9 52y 9 Entero Multiplico por 5 2510y 9 = 9 + 7 9 9 y 9 y 9 =2y+ 7y 9 7y 9 =m 7y =9m y =9m7 y =79m  Reemplazo en la ecuación inicial 9x+11(79m ) =203 9x+7799m =203 9x =20377+99m 9x =126+99m x = 9 (14+11m ) 9 x =14+11m { y=79m x=14+11m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=14 y=7 m=1 x=3 y=16
  9. 5x+2y =73 2y =735x y = 735x 2 y = 2 + 1 2 x 2 x 2 y =362x+ 1x 2 y36+2x = 1x 2 1x 2 =m 1x =2m x =2m1 x =12m  Reemplazo en la ecuación inicial 5(12m ) +2y =73 510m+2y =73 2y =735+10m 2y =68+10m y = 2 (34+5m ) 2 y =34+5m { x=12m y=34+5m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=1 y=34 m=1 x=3 y=29 m=2 x=5 y=24 m=3 x=7 y=19 m=4 x=9 y=14 m=5 x=11 y=9 m=6 x=13 y=4
  10. 8x+13y =162 8x =16213y x = 16213y 8 x = 8 + 2 8 y 8 5y 8 x =20y+ 25y 8 x20+y = 25y 8 25y 8 Entero Multiplico por 5 1025y 8 = 10 8 y 8 y 8 =3y+ 10y 8 10y 8 =m 10y =8m y =8m10 y =108m  Reemplazamos en la ecuación inicial 8x+13(108m ) =162 8x+130104m =162 8x =162130+104m 8x =32+104m x = 8 (4+13m ) 8 x =4+13m { y=108m x=4+13m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=4 y=10 m=1 x=17 y=2
  11. 7x+5y =104 5y =1047x y = 1047x 5 y = 5 + 4 5 5 x 5 2x 5 y =20x+ 42x 5 y20+x = 42x 5 42x 5 Entero Multiplico por 3 126x 5 = 5 + 2 5 5 x 5 x 5 =2x+ 2x 5 2x 5 =m 2x =5m x =5m2 x =25m  Reemplazo en la ecuación inicial 7(25m ) +5y =104 1435m+5y =104 5y =10414+35m 5y =90+35m y = 5 (18+7m ) 5 y =18+7m { x=125m y=18+7m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=2 y=18 m=1 x=7 y=11 m=2 x=12 y=4
  12. 10x+y =32 y =3210x y =32+2210x y = 3 0 1 0 + 2 10 x 10 y =3+ 1 5 x y 1 5 =3x 3x =m x =m3 x =3m  Reemplazo en la ecuación original 10(3m ) +y =32 3010m+y =32 y =3230+10m y =2+10m { x=3m y=2+10m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=3 y=2 m=1 x=2 y=12 m=2 x=1 y=22
  13. 9x+4y =86 4y =869x y = 869x 4 y = 4 + 2 4 x 4 x 4 y =212x+ 2x 4 y21+2x = 2x 4 2x 4 =m 2x =4m x =4m2 x =24m  Reemplazo en la ecuación inicial 9(24m ) +4y =86 1836m+4y =86 4y =8618+36m 4y =68+36 y = 4 (17+9m ) 4 y =17+9m { x=24m y=17+9m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=2 y=17 m=1 x=6 y=8
  14. 9x+11y =207 9x =20711y x = 20711y 9 x = 9 + 9 9 9 y 9 2y 9 x =22y+ 92y 9 x22+y = 92y 9 92y 9 Entero Multiplico por 5 4510y 9 = 459yy 9 = 45 9 9y 9 y 9 = 45y 9 y 45y 9 =m 45y =9m y =9m45 y =459m  Reemplazo en la ecuación inicial 9x+11(459m ) =207 9x+49599m =207 9x =207495+99m 9x =99m288 x = 9 (11m32 ) 9 x =11m32 { y=459m x=11m32 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=3 x=1 y=18 m=4 x=12 y=9
  15. 11x+12y =354 11x =35412y x = 35412y 11 x = 11 + 2 11 11 y 11 y 11 x =32y+ 2y 11 x32+y = 2y 11 2y 11 =m 2y =11m y =11m2 y =211m  Reemplazamos en la ecuación inicial 11x+12(211m ) =354 11x+24132m =354 11x =35424+132m 11x =330+132m x = 11 (30+12m ) 11 x =30+12m { y=211m x=30+12m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=30 y=2 m=1 x=18 y=13 m=2 x=6 y=24
  16. 10x+13y =294 10x =29413y x = 29413y 10 x = 29 0 1 0 + 4 10 10 y 10 3y 10 x29+y = 43y 10 43y 10 Entero Multiplico por 7 2821y 10 = 28 10 2 0 y 1 0 y 10 =2y+ 28y 10 28y 10 =m 28y =10m y =10m28 y =2810m  Reemplazo en la ecuación inicial 10x+13(2810m ) =294 10x+364130m =294 10x =294364+130m 10x =130m70 x = 10 (13m7 ) 10 x =13m7 { y=2810m x=13m7 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=6 y=18 m=2 x=19 y=8
  17. 11x+8y =300 8y =30011x y = 30011x 8 y = 8 + 4 8 3x 8 8 x 8 y =37x+ 43x 8 y37+x = 43x 8 43x 8 Entero Multiplico por 3 129x 8 = 12 8 8 x 8 x 8 = 12x 8 x 12x 8 =m 12x =8m x =8m12 x =128m  Reemplazo en la ecuación inicial 11(128m ) +8y =300 13288m+8y =300 8y =300132+88m 8y =168+88m y = 8 (21+11m ) 8 y =21+11m { x=128m y=21+11m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=12 y=21 m=1 x=4 y=32 m=1 x=20 y=10
  18. 21x+25y =705 21x =70525y x = 70525y 21 x = 21 + 12 21 21 y 21 4y 21 x =33y+ 124y 21 124y 21 Entero Multiplico por 16 19264y 21 = 192 21 21 y 21 =3y+ 192y 21 192y 21 =m 192y =21m y =21m192 y =19221m  Reemplazo en la ecuación 21x+25(19221m ) =705 21x+4800525m =705 21x =7054800+525m 21x =4095+525m x = 21 (25m195 ) 21 x =25m195 { y=19221m x=25m195 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=8 x=5 y=24 m=9 x=30 y=3
    Hallar la solución general y los tres menores pares de valores enteros positivos x e y que satisfacen las ecuaciones siguientes:
  19. 3x4y =5 3x =5+4y x = 5+4y 3 x = 2+3+3y+y 3 x = 2 3 + 3 3 + 3 y 3 + y 3 x =1+y+ 2+y 3 2+y 3 =m 2+y =3m y =3m2  Reemplazo en la ecuación inicial 3x4(3m2 ) =5 3x12m+8 =5 3x =58+12m 3x =12m3 x = 3 (4m1 ) 3 x =4m1 { y=3m2 x=4m1 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=3 y=1 m=2 x=7 y=4 m=3 x=11 y=7
  20. 5x8y =1 5x =1+8y x = 1+8y 5 1+8y 5 Entero Multiplico por 2 2+16y 5 = 2 5 + y 5 + y 5 =3y+ 2+y 5 2+y 5 =m 2+y =5m y =5m2  Reemplazo en la ecuación inicial 5x8(5m2 ) =1 5x40m+16 =1 5x =116+40m 5x =40m15 x = 5 (8m3 ) 5 x =8m3 { y=5m2 x=8m3 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=5 y=3 m=2 x=13 y=8 m=3 x=21 y=13
  21. 7x13y =43 7x =43+13y x = 43+13y 7 x = 7 + 1 7 + 7 y 7 + 6y 7 x =6+y+ 1+6y 7 x6y = 1+6y 7 1+6y 7 Entero Multiplico por 6 6+36y 7 = 6+35y+y 7 = 6 7 + y 7 + y 7 =5y+ 6+y 7 6+y 7 =m 6+y =7m y =7m6  Reemplazo en la ecuación original 7x13(7m6 ) =43 7x91m+78 =43 7x =4378+91m 7x =91m35 x = 7 (13m5 ) 7 x =13m5 { y=7m6 x=13m5 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=8 y=1 m=2 x=21 y=8 m=3 x=34 y=15
  22. 11x12y =0 11x =12y x = 12y 11 x = 11y+y 11 x = 11 y 11 + y 11 xy = y 11 y 11 =m y =11m  Reemplazo en la ecuación inicial 11x12(11m ) =0 11x132m =0 11x =132m x = m 11 x =12m { x=12m y=11m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=12 y=11 m=2 x=24 y=22 m=3 x=36 y=33
  23. 14x17y =32 14x =32+17y x = 32+17y 14 x = 28+4+14y+3y 14 x = 14 + 4 14 + 14 y 14 + 3y 14 x =2+y+ 4+3y 14 4+3y 14 Entero Multiplico por 5 20+15y 14 = 14+6+14y+y 14 = 14 14 + 6 14 + 14 y 14 + y 14 =1+y+ 6+y 14 6+y 14 =m 6+y =14m y =14m6  Reemplazo en la ecuación inicial 14x17(14m6 ) =32 14x238m+102 =32 14x =32102+238m 14x =238m70 x = 14 (17m5 ) 14 x =17m5 { y=14m6 x=17m5 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=12 y=8 m=2 x=29 y=22 m=3 x=46 y=36
  24. 7x11y =83 7x =83+11y x = 83+11y 7 x = 77+6+7y+4y 7 x = 7 + 6 7 + 7 y 7 + 4y 7 x =11+y+ 6+4y 7 x11y = 6+4y 7 6+4y 7 Entero Multiplico por 2 12+8y 7 = 7+5+7y+y 7 = 7 7 + 5 7 + 7 y 7 + y 7 =1+y+ 5+y 7 5+y 7 =m 5+y =7m y =7m5  Reemplazo en la ecuación inicial 7x11(7m5 ) =83 7x77m+55 =83 7x =8355+77m 7x =28+77m x = 7 (4+11m ) 7 x =11m+4 { y=7m5 x=11m+4 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=15 y=2 m=2 x=26 y=9 m=3 x=37 y=16
  25. 8x13y =407 8x =407+13y x = 407+13y 8 x = 400+7+8y+5y 8 x = 8 + 7 8 + 8 y 8 + 5y 8 x =50+y+ 7+5y 8 x50y = 7+5y 8 7+5y 8 Entero Multiplico por 5 35+25y 8 = 32+3+24y+y 8 = 8 + 3 8 + y 8 + y 8 =4+3y+ 3+y 8 3+y 8 =m 3+y =8m y =8m3  Reemplazo en la ecuación inicial 8x13(8m3 ) =407 8x104m+39 =407 8x =40739+104m 8x =368+104m x = 8 (13m+46 ) 8 x =13m+46 { y=8m3 x=13m+46 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=59 y=5 m=2 x=72 y=13 m=3 x=85 y=21
  26. 20y23x =411 20y =23x+411 y = 23x+411 20 y = 20x+3x+400+11 20 y = 20 x 20 + 3x 20 + x 20 + 3x 20 y =20+x+ 11+3x 20 y20x = 11+3x 20 11+3x 20 Entero Multiplico por 7 77+21x 20 = 60+17+20x+x 20 = 20 + 17 20 + 20 x 20 + x 20 =3+x+ 17+x 20 17+x 20 =m 17+x =20m x =20m17  Reemplazo en la ecuación inicial 20y23(20m17 ) =411 20y460m+391 =411 20y =411391+460m 20y =20+460m y = 20 (1+23m ) 20 y =23m+1 { x=20m17 y=23m+1 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=3 y=24 m=2 x=23 y=47 m=3 x=43 y=70
  27. 5y7x =312 5y =312+7x y = 312+7x 5 y = 310+2+5x+2x 5 y = 5 + 2 5 + 5 x 5 + 2x 5 y =62+x+ 2+2x 5 y62x = 2+2x 5 2+2x 5 Entero Multiplico por 3 6+6x 5 = 5+1+5x+x 5 = 5 5 + 1 5 + 5 x 5 + x 5 =1+x+ 1+x 5 1+x 5 =m 1+x =5m x =5m1  Reemplazo en la ecuación inicial 5y7(5m1 ) =312 5y35m+7 =312 5y =3127+35m 5y =305+35m y = 5 (7m+61 ) 5 y =7m+61 { x=5m1 y=7m+61 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=4 y=68 m=2 x=9 y=75 m=3 x=14 y=82