Ejercicio 77

CAPITULO VII

Divisibilidad de a n ± b n a ± b
1) 2) a n b n ab siempre es divisible a n + b n a+b es divisible si n es impar 3) 4) a n b n a+b es divisible si n es par a n + b n ab nunca es divisible
Ejercicio 77
  1. x 5 +1 x1
    x 5 +1 x1 es de la forma a n + b n ab no es divisible  no es exacta aplicando el teorema del residuo P( 1 ) = ( 1 ) 5 +1 P( 1 ) =1+1 P( 1 ) =2
  2. a 4 + b 4 a+b
    a 4 + b 4 a+b es de la forma a n + b n a+b n=4  es par no es divisible  no es exacta aplicando el teorema del residuo P(b ) = (b ) 4 + b 4 P(b ) = b 4 + b 4 P(b ) =2 b 4
  3. x 8 1 x 2 +1
    x 8 1 x 2 +1 = ( x 4 ) 2 1 x 2 +1 es de la forma a n b n a+b n=2  es par es divisible  es exacta
  4. a 11 +1 a1
    a 11 +1 a1 es de la forma a n + b n ab no es divisible  no es exacta aplicando el teorema del residuo P( 1 ) = ( 1 ) 11 +1 P( 1 ) =1+1 P( 1 ) =2
  5. a 6 + b 6 a 2 + b 2
    a 6 + b 6 a 2 + b 2 = ( a 3 ) 2 + ( b 3 ) 2 a 2 + b 2 es de la forma a n + b n a+b n=2  es par no es divisible  no es exacta aplicando el teorema del residuo P(b ) = (b ) 6 + b 6 P(b ) = b 6 + b 6 P(b ) =2 b 6
  6. x 7 1 x1
    x 7 1 x1 es de la forma a n b n ab es divisible  es exacta
  7. x 3 8 x+2
    x 3 8 x+2 = x 3 2 3 x+2 es de la forma a n b n a+b n=3  es impar no es divisible  no es exacta aplicando el teorema del residuo P(2 ) = (2 ) 3 8 P(2 ) =88 P(2 ) =16
  8. x 4 16 x+2
    x 4 16 x+2 = x 4 2 4 x+2 es de la forma a n b n a+b n=4  es par es divisible  es exacta
  9. a 5 +32 a2
    a 5 +32 a2 = a 5 + 2 5 a2 es de la forma a n + b n ab no es divisible  no es exacta aplicando el teorema del residuo P( 2 ) = ( 2 ) 5 +32 P( 2 ) =32+32 P( 2 ) =64
  10. x 7 128 x+2
    x 7 128 x+2 = x 7 2 7 x+2 es de la forma a n b n a+b n=7  es impar no es divisible  no es exacta aplicando el teorema del residuo P(2 ) = (2 ) 7 128 P(2 ) =128128 P(2 ) =256
  11. 16 a 4 81 b 4 2a+3b
    16 a 4 81 b 4 2a+3b = 16 a 4 81 b 4 2a+3b es de la forma a n b n a+b n=4  es par es divisible  es exacta
  12. a 3 x 6 + b 9 a x 2 + b 3
    a 3 x 6 + b 9 a x 2 + b 3 = a 3 ( x 2 ) 3 + ( b 3 ) 3 a x 2 + b 3 es de la forma a n + b n a+b n=3  es impar es divisible  es exacta

Ejercicio 76

CAPITULO VII

Corolario del Teorema del residuo
Ejercicio 76
Hallar, sin efectuar la división, si son exactas las divisiones siguientes:
  1. x 2 x6 entre x3
    x3 =0 x =3 P( x ) = x 2 x6 P( 3 ) = ( 3 ) 2 36 P( 3 ) = 9 9 P( 3 ) =0exacta
  2. x 3 +4 x 2 x10 entre x+2
    x+2 =0 x =2 P( x ) = x 3 +4 x 2 x10 P(2 ) = (2 ) 3 +4 (2 ) 2 (2 ) 10 P(2 ) =8+4( 4 ) +210 P(2 ) = 16 16 P(2 ) =0exacta
  3. 2 x 4 5 x 3 +7 x 2 9x+3 entre x1
    x1 =0 x =1 P( x ) =2 x 4 5 x 3 +7 x 2 9x+3 P( 1 ) =2 ( 1 ) 4 5 ( 1 ) 3 +7 ( 1 ) 2 9( 1 ) +3 P( 1 ) =25+79+3 P( 1 ) =2noesexacta
  4. x 5 + x 4 5 x 3 7x+8 entre x+3
    x+3 =0 x =3 P( x ) = x 5 + x 4 5 x 3 7x+8 P(3 ) = (3 ) 5 + (3 ) 4 5 (3 ) 3 7(3 ) +8 P(3 ) =243+815( 27 ) +21+8 P(3 ) =243+81135+21+8 P(3 ) =267noesexacta
  5. 4 x 3 8 x 2 +11x4 entre 2x1
    2x1 =0 2x =1 x = 1 2 P( x ) =4 x 3 8 x 2 +11x4 P( 1 2 ) =4 ( 1 2 ) 3 8 ( 1 2 ) 2 +11( 1 2 ) 4 P( 1 2 ) = 4 ( 1 ) ( 1 4 ) + 11 2 4 P( 1 2 ) = 1 2 2+ 11 2 4 P( 1 2 ) = 14+118 2 P( 1 2 ) =0exacta
  6. 6 x 5 +2 x 4 3 x 3 x 2 +3x+3 entre 3x+1
    3x+1 =0 3x =1 x = 1 3 P( x ) =6 x 5 +2 x 4 3 x 3 x 2 +3x+3 P( 1 3 ) =6 ( 1 3 ) 5 +2 ( 1 3 ) 4 3 ( 1 3 ) 3 ( 1 3 ) 2 + 3 ( 1 3 ) +3 P( 1 3 ) =( 1 ) +2( 1 81 ) 3 ( 1 ) 1 9 1+3 P( 1 3 ) = 2 81 + 2 81 + 1 9 1 9 +2 P( 1 3 ) =2noesexacta Sin efectuar la división, probar que:
  7. a+1 es factor de a 3 2 a 2 +2a+5
    a+1 =0 a =1 P( a ) = a 3 2 a 2 +2a+5 P(1 ) = (1 ) 3 2 (1 ) 2 +2(1 ) +5 P(1 ) =122+5 P(1 ) =0 a 3 2 a 2 +2a+5 es divisible para  a+1 a+1  es factor de  a 3 2 a 2 +2a+5
  8. x5 divide a x 5 6 x 4 +6 x 3 5 x 2 +2x10
    x5 =0 x =5 P( x ) = x 5 6 x 4 +6 x 3 5 x 2 +2x10 P( 5 ) = ( 5 ) 5 6 ( 5 ) 4 +6 ( 5 ) 3 5 ( 5 ) 2 +2( 5 ) 10 P( 5 ) =31256( 625 ) +6( 125 ) 5( 25 ) + 10 10 P( 5 ) =31253750+750125 P( 5 ) =0x5  divide a  x 5 6 x 4 +6 x 3 5 x 2 +2x10
  9. 4x3 divide a 4 x 4 7 x 3 +7 x 2 7x+3
    4x3 =0 4x =3 x = 3 4 P( x ) =4 x 4 7 x 3 +7 x 2 7x+3 P( 3 4 ) =4 ( 3 4 ) 4 7 ( 3 4 ) 3 +7 ( 3 4 ) 2 7( 3 4 ) +3 P( 3 4 ) = 4 ( 3 4 4 ) 7( 27 64 ) +7( 9 16 ) 21 4 +3 P( 3 4 ) = 81 64 189 64 + 63 16 21 4 +3 P( 3 4 ) = 81189+252336+192 64 P( 3 4 ) =04x3  divide a  4 x 4 7 x 3 +7 x 2 7x+3
  10. 3n+2 no es factor de 3 n 5 +2 n 4 3 n 3 2 n 2 +6n+7
    3n+2 =0 3n =2 n = 2 3 P( n ) =3 n 5 +2 n 4 3 n 3 2 n 2 +6n+7 P( 2 3 ) =3 ( 2 3 ) 5 +2 ( 2 3 ) 4 3 ( 2 3 ) 3 2 ( 2 3 ) 2 +6( 2 3 ) +7 P( 2 3 ) = 3 ( 2 3 ) +2( 16 81 ) 3 ( 8 3 ) 2( 4 9 ) +( 2 3 ) +7 P( 2 3 ) = 2 81 + 32 81 + 8 9 8 9 4+7 P( 2 3 ) = 2+32+243 81 P( 2 3 ) = P( 2 3 ) = 91 27 03n+2  no es factor de  3 n 5 +2 n 4 3 n 3 2 n 2 +6n+7 Sin efectuar la división, hallar si las divisiones siguientes son o no exactas y determinar el cociente en cada caso y el residuo, si lo hay:
  11. 2 a 3 2 a 2 4a+16 entre a+2
    Mathematical Equation
  12. a 4 a 2 +2a+2 entre a+1
    Mathematical Equation
  13. x 4 +5x6 entre x1
    Mathematical Equation
  14. x 6 39 x 4 +26 x 3 52 x 2 +29x30 entre x6
    Mathematical Equation
  15. a 6 4 a 5 a 4 +4 a 3 + a 2 8a+25 entre a4
    Mathematical Equation
  16. 16 x 4 24 x 3 +37 x 2 24x+4 entre 4x1
    Mathematical Equation
  17. 15 n 5 +25 n 4 18 n 3 18 n 2 +17n11 entre 3n+5
    Mathematical Equation

    En los ejemplos siguientes, hallar el valor de la constante K (término independiente del polinomio) para que:
  18. 7 x 2 5x+K sea divisible por x5
    x5 =0 x =5 P( x ) =7 x 2 5x+K P( 5 ) =0, para que la sea una división exacta 7 x 2 5x+K =0 7 ( 5 ) 2 5( 5 ) +K =0 7( 25 ) 25+K =0 17525+K =0 150+K =0 K =150
  19. x 3 3 x 2 +4x+K sea divisible por x2
    x2 =0 x =2 P( x ) = x 3 3 x 2 +4x+K P( 2 ) =0 ( 2 ) 3 3 ( 2 ) 2 +4( 2 ) +K =0 812+8+K =0 4+K =0 K =4
  20. 2 a 4 +25a+K sea divisible por a+3
    a+3 =0 a =3 P( a ) =2 a 4 +25a+K P(3 ) =0 2 (3 ) 4 +25(3 ) +K =0 2( 81 ) 75+K =0 16275+K =0 87+K =0 K =87
  21. 20 x 3 7 x 2 +29x+K sea divisible por 4x+1
    4x+1 =0 4x =1 x = 1 4 P( x ) =20 x 3 7 x 2 +29x+K P( 1 4 ) =0 20 ( 1 4 ) 3 7 ( 1 4 ) 2 +29( 1 4 ) +K =0 ( 1 ) 7( 1 16 ) 29 4 +K =0 5 16 7 16 29 4 +K =0 57116 16 +K =0 16 +K =0 8+K =0 K =8

Ejercicio 74

CAPITULO VII

Teorema del Residuo
Ejercicio 74
Hallar sin efectuar la división, el residuo de dividir:
  1. x 2 2x+3 entre x1
    x1 =0 x =1 x 2 2x+3 = ( 1 ) 2 2( 1 ) +3 =12+3 =2
  2. x 3 3 x 2 +2x2 entre x+1
    x+1 =0 x =1 x 3 3 x 2 +2x2 = (1 ) 3 3 (1 ) 2 +2(1 ) 2 =1322 =8
  3. x 4 x 3 +5 entre x2
    x2 =0 x =2 x 4 x 3 +5 = ( 2 ) 4 ( 2 ) 3 +5 =168+5 =13
  4. a 4 5 a 3 +2 a 2 6 entre a+3
    a+3 =0 a =3 a 4 5 a 3 +2 a 2 6 = (3 ) 4 5 (3 ) 3 +2 (3 ) 2 6 =815(27 ) +2( 9 ) 6 =81+135+186 =228
  5. m 4 + m 3 m 2 +5 entre m4
    m4 =0 m =4 m 4 + m 3 m 2 +5 = ( 4 ) 4 + ( 4 ) 3 ( 4 ) 2 +5 =256+6416+5 =309
  6. x 5 +3 x 4 2 x 3 +4 x 2 2x+2 entre x+3
    x+3 =0 x =3 x 5 +3 x 4 2 x 3 +4 x 2 2x+2 = (3 ) 5 +3 (3 ) 4 2 (3 ) 3 +4 (3 ) 2 2(3 ) +2 = 243 + 243 2(27 ) +4( 9 ) +6+2 =54+36+8 =98
  7. a 5 2 a 3 +2a4 entre a5
    a5 =0 a =5 a 5 2 a 3 +2a4 = ( 5 ) 5 2 ( 5 ) 3 +2( 5 ) 4 =31252( 125 ) +104 =3131250 =2881
  8. 6 x 3 + x 2 +3x+5 entre 2x+1
    2x+1 =0 2x =1 x = 1 2 6 x 3 + x 2 +3x+5 =6 ( 1 2 ) 3 + ( 1 2 ) 2 +3( 1 2 ) +5 =( 1 ) + 1 4 3 2 +5 = 3 4 + 1 4 3 2 +5 = 3+16+20 4 = 4 =3
  9. 12 x 3 21x+90 entre 3x3
    3x3 =0 3x =3 x = 3 3 x =1 12 x 3 21x+90 =12 ( 1 ) 3 21( 1 ) +90 =1221+90 =81
  10. 15 x 3 11 x 2 +10x+18 entre 3x+2
    3x+2 =0 3x =2 x = 2 3 15 x 3 11 x 2 +10x+18 =15 ( 2 3 ) 3 11 ( 2 3 ) 2 +10( 2 3 ) +18 =( 8 ) 11( 4 9 ) 20 3 +18 = 40 9 44 9 20 3 +18 = 404460+162 9 = 9 =2
  11. 5 x 4 12 x 3 +9 x 2 22x+21 entre 5x2
    5x2 =0 5x =2 x = 2 5 5 x 4 12 x 3 +9 x 2 22x+21 =5 ( 2 5 ) 4 12 ( 2 5 ) 3 +9 ( 2 5 ) 2 22( 2 5 ) +21 = 5 ( 16 5 ) 12( 8 125 ) +9( 4 25 ) 44 5 +21 = 16 125 96 125 + 36 25 44 5 +21 = 1696+1801100+2625 125 = 125 =13
  12. a 6 + a 4 8 a 2 +4a+1 entre 2a+3
    2a+3 =0 2a =3 a = 3 2 a 6 + a 4 8 a 2 +4a+1 = ( 3 2 ) 6 + ( 3 2 ) 4 8 ( 3 2 ) 2 +( 3 2 ) +1 = 729 64 + 81 16 ( 9 4 ) 6+1 = 729 64 + 81 16 185 = 729 64 + 81 16 23 = 729+3241472 64 = 419 64