Ejercicio 88

CAPITULO IX

MISCELANEA SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Ejercicio 88
  1. Dividir 196 entres partes tales que la segunda sea el duplo de la primera y la suma de las dos primeras exceda a la tercera en 20.
    x  primera parte 2x  segunda parte 3x20  tercera parte x+2x+3x20=196 6x=216 x= 6 x=36  primera parte 2x=2( 36 ) =72  segunda parte 3x20=3( 36 ) 20=10820=88  tercera parte
  2. La edad de A es el triple de la de B y hace 5 años era el cuádruplo de la de B. Hallar las edades actuales.
    3x  edad de A x  edad de B 3x5=4(x5 ) 3x5=4x20 3x4x=20+5 x=15 x=15  edad de B 3x=3( 15 ) =45  edad de A
  3. Un comerciante adquiere 50 trajes y 35 pares de zapatos por 16000 soles. Cada traje costo el doble de lo que costó cada par de zapatos más 50 soles. Hallar el precio de un traje y de un par de zapatos.
    x  costo par de zapatos 2x+50  costo del traje 35x  costo total de los zapatos 50(2x+50 )  costo total de los trajes 35x+50(2x+50 ) =16000 Multiplico la ecuación por  1 5 7x+10(2x+50 ) =3200 7x+20x+500=3200 27x=3200500 27x=2700 x= 27 x=100  costo de un par de zapatos 2x+50=2( 100 ) +50=250  costo de un traje
  4. 6 personas iban a comprar una casa contribuyendo por partes iguales pero dos de ellas desistieron del negocio y entonces cada una de las restantes tuvo que poner 2000 bolívares más. ¿Cuál era el valor de la casa? 24000
    6x  costo de la casa x  costo por cada persona cuando eran seis 4(x+2000 )  costo cuando quedaron cuatro personas 6x=4(x+2000 ) 6x=4x+8000 6x4x=8000 2x=8000 x= 2 x=4000  costo de cada persona 6x=6( 4000 ) =24000  costode la casa
  5. La suma de dos números es 108 y el doble del mayor excede al triplo del menor en 156. Hallar los números.
    x  número menor 108x  número mayor 2(108x ) =3x+156 2162x=3x+156 2x3x=156216 5x=60 x= 5 x=12  número menor 108x=10812=96  número mayor
  6. El largo de un buque, que es 461 pies, excede en 11 pies a 9 veces el ancho. Hallar el ancho.
    x  ancho del buque 46111=9x 450=9x x= 9 x=50  ancho del buque
  7. Tenía $ 85. Gasté cierta suma y lo que me queda es el cuádruplo de lo que gasté. ¿Cuánto gasté?
    85x  residuo x  dinero gastado 85x=4x 85=5x x= 5 x=17  dinero gastado
  8. Hace 12 años la edad de A era el doble de la de B y dentro de 12 años, la edad de A será 68 años menos que el triplo de la de B. Hallar las edades actuales.
    x  edad de actual B 2(x12 ) =2x24  edad de A hace 12 años 2x24+12=2x12  edad de A actual 2x12+12=2x  edad de A dentro de 12 años x+12  edad de B dentro de 12 años 2x=3(x+12 ) 68 2x=3x+3668 2x3x=32 x=32 x=32  edad actual de B 2x12=2( 32 ) 12=6412=52  edad actual de A
  9. Tengo $ 1.85 en monedas de 10 y 5 centavos. Si en total tengo 22 monedas, ¿Cuántas son de 10 centavos y cuántas de 5 centavos?
    x  monedad de 10 ctvs 22x  monedad de 5 ctvs 0,1x  valor de la monedas de 10 ctvs. 0,05(22x )  valor de las monedas de 5 ctvs 0,1x+0,05(22x ) =1.85 0,1x+1,10,05x=1,85 0,05x=1,851,1 0,05x=0,75 x= 0,75 0,05 x=15  monedas de 10 ctvs. 22x=2215=7  monedas de 5 ctvs.
  10. Si a un número se resta 24 y la diferencia se multiplica por 12, es el resultado es el mismo que si al número se resta 27 y la diferencia se multiplica por 24. Hallar el número.
    x  un número x24  diferencia 12(x24 ) =24(x27 ) Multiplico a la ecuación por  1 12 x24=2(x27 ) x24=2x54 x2x=2454 x=30 x=30
  11. Un hacendado compró 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos más por el mismo precio, cada caballo le habrá costado $ 10 menos. ¿Cuánto le costó cada caballo?
    x  costo de cada caballo 35x=40(x10 ) Multiplico la ecuación por  1 5 7x=8(x10 ) 7x=8x80 7x8x=80 x=80 x=80  costo de cada caballo
  12. El exceso del triplo de un número sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre el número. Hallar el número.
    x  número buscado 3x55=233x 3x+x=233+55 4x=288 x= 4 x=72  número buscado
  13. Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el duplo del menor más el triplo del mediano más el cuádruplo del mayor equivalga a 740.
    x  primer número x+1  segundo número x+2  tercer número 2x+3(x+1 ) +4(x+2 ) =740 2x+3x+3+4x+8=740 9x+11=740 9x=74011 9x=729 x= 9 x=81  primer número x+1=82  segundo número x+2=83  tercer número
  14. Un hombre ha recorrido 150 km. En auto recorrió una distancia triple que a caballo y a pie, 20 km. menos que a caballo. ¿Cuántos Km. recorrió de cada modo?
    x  distancia en caballo 3x  distacia en auto x20  distancia a pie x+3x+x20=150 5x=150+20 5x=170 x= 5 x=34  km distancia a caballo 3x=3( 34 ) =102  km distancia en auto x20=3420=14  km a pie
  15. Un hombre deja una herencia de 16500 soles para repartir entre 3 hijos y 2 hijas, y manda que cada hija reciba 2000 más que cada hijo. Hallar la parte de cada hijo y de cada hija.
    x  parte de los hijos x+2000  parte de las hijas 3x+2(x+2000 ) =16500 3x+2x+4000=16500 5x=165004000 5x=12500 x= 5 x=2500  soles para cada hijo x+2000=2500+2000=4500  soles para cada hija
  16. La diferencia de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 31. Hallar los números.
    x  un número x1  número anterior x 2 (x1 ) 2 =31 x 2 ( x 2 2x+1 ) =31 x 2 x 2 +2x1=31 2x=31+1 2x=32 x= 2 x=16 x1=161=15
  17. La edad de A es el triplo de la de B, y la de B 5 veces la de C. B tiene 12 años que C. ¿Qué edad tiene cada uno?
    3(5x ) =15x  edad de A 5x  edad de B x  edad de C 5x=x+12 5xx=12 4x=12 x= 4 x=3  edad de C 5x=5( 3 ) =15  edad de B 15x=15( 3 ) =45  edad de A
  18. Dentro de 5 años la edad de A será el triplo de la de B, y 15 años después la edad de A será el duplo de la de B. Hallar las edades actuales.
    x  edad actual de B x+5  edad de B en cinco años 3(x+5 ) =3x+15  edad de A en cinco años 3x+155=3x+10  edad actual de A ( * ) x+20  edad de B en 20 años 2(x+20 ) =2x+40  edad de A en 20 años 2x+4020=2x+20  edad actual de A ( * ) igualo las ecuaciones de las edades actuales de A 3x+10=2x+20 3x2x=2010 x=10  años edad actual de B 3x+10=3( 10 ) +10=30+10=40  edad actual de A
  19. El martes gané el doble de lo que gané el lunes; el miércoles el doble de lo que gané el martes; el jueves el doble de lo que gané el miércoles; el viernes $ 30 menos que el jueves y el sábado $ 10 más que el viernes. Si en los 6 días he ganado $ 911, ¿Cuánto gané cada día?
    x  dinero ganado el lunes 2x  dinero ganado el martes 2(2x ) =4x  dinero ganado el miercoles 2(4x ) =8x  dinero ganado el jueves 8x30  dinero ganado el viernes (8x30 ) +10=8x20  dinero ganado el sábado x+2x+4x+8x+8x30+8x20=911 31x50=911 31x=911+50 31x=961 x= 31 x=31  dinero ganado el lunes 2x=2( 31 ) =62  dinero ganado el martes 4x=4( 31 ) =124  dinero ganado el miercoles 8x=8( 31 ) =248  dinero ganado el jueves 8x30=8( 31 ) 30=24830=218  dinero ganado el viernes 8x20=8( 31 ) 20=24820=228  dinero ganado el sábado
  20. Hallar dos números cuya diferencia es 18 y cuya suma es el triplo de su diferencia.
    x  un número x18  diferencia de los números x18+x=3( 18 ) 2x18=54 2x=54+18 2x=72 x= 2 x=36 x18=3618=18
  21. Entre A y B tienen 36. Si A perdiera $ 16, lo que tiene B seria el triplo de lo que le quedaría a A. ¿Cuánto tiene cada uno?
    x  dinero a A 3(x16 )  dinero de B x+3(x16 ) =36 x+3x48=36 4x=84 x= 4 x=21  dinero de A 3(x16 ) =3(2116 ) =3( 5 ) =15  dinero de B
  22. A tiene el triplo de lo que tiene B, y B el doble de lo de C. Si A pierde $ 1 y B pierde $ 3, la diferencia de lo que les queda a A y a B es el doble de lo que tendría C si ganara $ 20. ¿Cuánto tiene cada uno?
    x  dinero de C 2x  dinero de B 3(2x ) =6x  dinero de A (6x1 ) (2x3 ) =2(x+20 ) 6x12x+3=2x+40 4x2x=402 2x=38 x= 2 x=19  dinero de C 2x=2( 19 ) =38  dinero de B 6x=6( 19 ) =114  dinero de A
  23. 5 personas han comprado una tienda contribuyendo por partes iguales. Si hubiera habido dos socios más, cada uno hubiera pagado 800 bolívares menos. ¿Cuánto costó la tienda?
    x  dinero aportado por cada socio 5x  dinero total de los socios 7(x800 )  dinero con dos socios más 5x=7(x800 ) 5x=7x5600 5x7x=5600 2x=5600 x= 2 x=2800 5x=5( 2800 ) =14000  costo de la tienda
  24. Un colono compró dos caballos, pagando por ambos $ 120. Si el caballo peor hubiera costado $ 15 más, el mejor habría costado doble que él. ¿Cuánto costó cada caballo?
    x  costo peor caballo 120x  costo mejor caballo 120x=2(x+15 ) 120x=2x+30 x2x=120+30 3x=90 x= 3 x=30  costo del peor caballo 120x=12030=90  costo del mejor caballo
  25. A y B empiezan a jugar con 80 quetzales cada uno. ¿Cuánto ha perdido A si B tiene ahora el triplo de lo que tiene A?
    80x  cantidad de dinero de A 3(80x )  cantidad de dinero de B 80x+3(80x ) =160 80x+2403x=160 4x=160320 4x=160 x= 4 x=40 80x=8040=40  dinero perdido por A
  26. A y B empiezan a jugar teniendo A doble dinero que B. A pierde $ 400 y entonces B tiene el doble de lo que tiene A. ¿Con cuánto empezó a jugar cada uno?
    x  dinero de B 2x  dinero de A 2x400  dinero despues de jugar 2(2x400 )  dinero de B depues de jugar x+2x=2x400+2(2x400 ) 3x=2x400+4x800 3x6x=1200 3x=1200 x= 3 x=400  dinero de B 2x=2( 400 )  dinero de A
  27. Compré cuádruple número de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 caballos más y 5 vacas más tendría triple número de caballos que de vacas. ¿Cuántos caballos y cuántas vacas compré? x  número de vacas 4x  número de caballos 4x+5=3(x+5 ) 4x+5=3x+15 4x3x=155 x=10  número de vacas 4x=4( 10 ) =40  número de caballos
  28. En cada día, de lunes a jueves, gané $ 6 más de lo que gané el día anterior. Si el jueves gané el cuádruplo de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané cada día?
    x  dinero ganado el lunes x+6  dinero ganado el martes x+12  dinero ganado el miércoles x+18  dinero ganado el jueves ( * ) 4x  dinero ganado el jueves ( * ) Igualo las ecuaciones del día jueves 4x=x+18 4xx=18 3x=18 x= 3 x=6  dinero ganado el día lunes x+6=6+6=12  dinero ganado el día martes x+12=6+12=18  dinero ganado el día miercoles 4x=4( 6 ) =24  dinero ganado el día jueves
  29. Tenía cierta suma de dinero. Ahorré una suma igual a lo que tenía y gasté 50 soles; luego ahorré una suma igual al doble de lo que me quedaba y gasté 390 soles. Si ahora no tengo nada, ¿Cuánto tenía al principio?
    x  dinero inicial 2x50  dinero ahorrado y gastado 2(2x50 ) 390  dinero final 2x50+2(2x50 ) 390=0 2x50+4x100390=0 6x540=0 x= 6 x=90  dinero inicial
  30. Una sala tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en 6 m y el ancho se aumenta en 4 m, la superficie de la sala no varía. Hallar las dimensiones de la sala.
    x  ancho de la sala 2x  largo de la sala 2x6  largo disminuido x+4  ancho aumentado x(2x ) =(2x6 ) (x+4 ) 2 x 2 =2 x 2 +8x6x24 2 x 2 2 x 2 +24=2x x= 2 x=12  mts. ancho de la sala 2x=2( 12 ) =24  mts. largo de la sala
  31. Hace 5 años la edad de un padre era tres veces la de su hijo y dentro de 5 años será el doble. ¿Qué edades tienen ahora el padre y el hijo?
    x  edad actual del hijo 3(x5 ) =3x15  edad del padre hace cinco años 3x15+5=3x10  edad actual del padre ( * ) 2(x+5 ) =2x+10  edad del padre dentro de cinco años 2x+105=2x+5  edad actual del padre ( * ) Igualo las ecuaciones de las edades actuales del padre 3x10=2x+5 3x2x=10+5 x=15  edad del hijo 2x+5=2( 15 ) +5=30+5=35  edad del padre
  32. Dentro de 4 años la edad de A será el triplo de la de B, y hace 2 años era el quíntuplo. Hallar las edades actuales.
    x  edad actual de B 3(x+4 ) =3x+12  edad de A en cuatro años 3x+124=3x+8  edad actual de A ( * ) 5(x2 ) =5x10  edad de A hace dos años 5x10+2=5x8  edad actual de A ( * ) Igualamos las ecuaciones de las edades actuales de A 3x+8=5x8 3x5x=88 2x=16 x= 2 x=8  edad actual de B 3x+8=3( 8 ) +8=24+8=32  edad actual de A

Ejercicio 87

CAPITULO IX

Problemas sobre ecuaciones enteras
Ejercicio 87
  1. Compre doble número de sombreros que de trajes por $ 702 balboas. Cada sombrero costó 2 y cada traje 50. ¿Cuántos sombreros y cuántos trajes compré?
    x  número de trajes 2x  número de sombreros 2(2x ) =4x  costo total de los sombreros 50x= costo total de los trajes 4x+50x=702 54x=702 x= 54 x=13  número de trajes 2x=2( 13 ) =26  número de sombreros
  2. Un hacendado compró caballos y vacas por 40000 bolívares. Por cada caballo pagó 600 y por cada vaca 800. Si compró 6 vacas menos que caballos, ¿Cuantas vacas y cuántos caballos compró?
    x  número de caballos x6  número de vacas 600x  costo de los caballos 800(x6 )  costo de las vacas 600x+800(x6 ) =40000 Multiplico a la ecuación por  1 100 6 00 x 1 00 + 8 00 1 00 (x6 ) = 400 00 1 00 6x+8(x6 ) =400 6x+8x48=400 14x=400+48 14x=448 x= 14 x=32  número de caballos x6=326=26  número de vacas
  3. Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema que resuelva el muchacho recibirá 12 cts. Y por cada problema que no resuelva perderá 5 cts. Después de trabajar en los 16 problemas el muchacho recibe 73 cts. ¿Cuántos problemas resolvió y cuántos no resolvió?
    16x  problemas resueltos x  problemas no resueltos 12(16x )  dinero recibido 5x  dinero restado 12(16x ) 5x=73 19212x5x=73 17x=192+73 17x=119 x= 17 x=7  problemas no resueltos 16x=167=9  problemas resueltos
  4. Un capataz contrata un obrero por 50 días pagándole $ 3 por cada día de trabajo con la condición de que por cada día que el obrero deje de asistir al trabajo perderá $ 2. Al cabo de los 50 días el obrero recibe $ 90. ¿Cuántos días trabajó y cuántos no trabajó?
    50x  días trabajados x  días no trabajados 3(50x ) =1503x  dinero pagado 2x  dinero descontado 1503x2x=90 5x=150+90 5x=60 x= 5 x=12  días no trabajados 50x=5012=38  días trabajados
  5. Un comerciante compró 35 trajes de a 30 quetzales y de a 25 quetzales, pagando por todo 1015 quetzales. ¿Cuántos trajes de cada precio compró?
    35x  trajes de 30 quetzales  x  trajes de 25 quetzales 30(35x )  costo total 25x  costo total 30(35x ) +25x=1015 Multiplico a la ecuación por  1 5 5 (35x ) + x 5 = 5 6(35x ) +5x=203 2106x+5x=203 x=210+203 x=7 x=7 35x=357=28
  6. Un comerciante compró trajes de dos calidades por 1624 balboas. De la calidad mejor compró 32 trajes y de la calidad inferior compró 18. Si cada traje de la mejor calidad le costó 7 balboas más que cada traje de la menor calidad, ¿Cuál era el precio de un traje de cada calidad?
    x  costo un traje mayor calidad x7  costo un traje menor calidad 32x  costo total taje mayor calidad 18(x7 )  costo total traje menor calidad 32x+18(x7 ) =1624 Multiplico a la ecuación por  1 2 16x+9(x7 ) =812 16x+9x63=812 25x=812+63 25x=875 x= 25 x=35  costo traje mayor calidad x7=357=28  costo traje menor calidad
  7. Un muchacho compró triple número de lápices que de cuadernos. Cada lápiz le costó a 5cts y cada cuaderno a 6 cts., si por todo pagó $ 1.47, ¿Cuántos lápices y cuántos cuadernos compró?
    x  número de cuadernos 3x  número de lápices 0,05x  costo total de cuadernos 0,06(3x ) =0,18x  costo total de lápices 0,05x+0,18x=1,47 0,23x=1,47 x= 1,47 0,23 x=6,397 tiene que ser una cantidad entera puesto que no van a vender 6,39 cuadernos 3x=3( 7 ) =21  lápices
  8. Pagué $ 582 por cierto número de sacos de azúcar y de frijoles. Por cada saco de azúcar pagué $ 5 y por cada saco de frijoles pagué $ 6. Si el número de sacos de frijoles es el triplo del número de sacos de azúcar, más 5, ¿Cuántos sacos de azúcar y cuántos de frijoles compré?
    x  número de sacos de azúcar 3x+5  númeo de sacos de frijoles 5x  costo de los sacos de azúcar 6(3x+5 )  costo de los sacos de frijoles 5x+6(3x+5 ) =582 5x+18x+30=582 23x=58230 23x=552 x= 23 x=24  número de sacos de azúcar 3x+5=3( 24 ) +5=72+5=77  número de sacos de frijoles
  9. Se han comprado 80 pies cúbicos de madera por $ 68.40. La madera comprada es cedro y caoba. Cada pie cúbico de cedro costó 75 cts. Y cada pie cúbico de caoba 90 cts. ¿Cuántos pies cúbicos he comprado de cedro y cuántos de caoba?
    x  pies cúbicos de caoba 80x  pies cúbicos de cedro 0,75(80x )  costo total del cedro 0,9x  costo total de la caoba 0,75(80x ) +0,9x=68,40 600,75x+0,9x=68,40 0,15x=68,4060 0,15x=8,40 x= 8,40 0,15 x=56  pies cúbicos de caoba 80x=8056=24  pies cúbicos de cedro
  10. Dividir el número 1050 en dos partes tales que el triplo de la parte mayor disminuido en el duplo de la parte menor equivalga a 1825.
    x  número menor 1050x  número mayor 3(1050x ) 2x=1825 31503x2x=1825 5x=18253150 5x=1325 x= 5 x=265  número menor 1050x=1050265=785  número mayor

Ejercicio 86

CAPITULO IX

Problemas sobre ecuaciones enteras
Ejercicio 86
  1. La edad actual de A es doble que la de B, y hace 10 años la edad de A era el triplo de la de B. hallar las edades actuales.
    x  edad actual de B 2x  edad actual de A Reemplazo el valor de A en la segunda ecuación 2x10=3(x10 ) 2x10=3x30 2x3x=30+10 x=20 x=20  edad de B 2x=2( 20 ) =40  edad de A
  2. La edad de A es el triplo de la de B y dentro de 5 años será el doble. Hallar las edades actuales.
    3x  edad de A x  edad de B 3x+5=2(x+5 ) 3x+5=2x+10 3x2x=105 x=5  edad de B 3x=3( 5 ) =15  edad de A
  3. A tiene doble dinero que B. Si A pierde $ 10 y B pierde $ 5, A tendrá $ 20 más que B. ¿Cuánto tiene cada uno 2x  dinero de A x  dinero de B (2x10 ) 20=x5 2x30=x5 2xx=305 x=25  dinero de B 2x=2( 25 ) =50  dinero de A
  4. A tiene la mitad de lo que tiene B. Si A gana 66 colonos y B pierde 90, A tendrá el doble de lo que le quede a B. ¿Cuánto tiene cada uno?
    x 2  dinero de A x  dinero de B x 2 +66=2(x90 ) x 2 +66=2x180 x 2 2x=66180 x4x 2 =246 3x=2(246 ) x= 492 3 x=164  dinero de B x 2 = 164 2 =82  dinero de A
  5. En una clase el número de señoritas es 1/3 del número de varones. Si ingresaran 20 señoritas y dejaran de asistir 10 varones, habrían 6 señoritas más que varones. ¿Cuántos varones hay y cuántas señoritas?
    x 3  número de señoritas x  número de varones ( x 3 +20 ) 6=x10 x 3 +14=x10 x 3 x=1410 x3x 3 =24 2x=3(24 ) x= 3 2 x=36  número de varones x 3 = 3 =12  número de señoritas
  6. La edad de un padre en el triplo de la edad de su hijo. La edad que tenía el padre hace 5 años era el duplo de la edad que tendrá su hijo dentro de 10 años. Hallar las edades actuales.
    3x  edad del padre x  edad del hijo 3x5=2(x+10 ) 3x5=2x+20 3x2x=20+5 x=25  edad del hijo 3x=3( 25 ) =75  edad del padre
  7. La suma de dos números es 85 y el número menor aumentado en 36 equivale al doble del mayor disminuido en 20. Hallar los números.
    x  número menor 85x  número mayor x+36=2(85x ) 20 x+36=1702x20 x+36=1502x x+2x=15036 3x=114 x= 3 x=38  número menor 85x=8538=47  número mayor
  8. Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano. Si Enrique le diera a su hermano 50 cts. ambos tendrían lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?
    5x  dinero de Enrique x  dinero del hermano 5x0,5=x+0,5 5xx=0,5+0,5 4x=1 x= 1 4 =0,25 x=0,25  dinero de hermano 5x=5(0,25 ) =1,25  dimero de Enrique
  9. Un colono tiene 1400 sucres en dos bolsas. Si de la bolsa que tiene más dinero saca 200 y los pone en la otra bolsa, ambas tendrían igual cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene cada bolsa?
    x  bolsa con menos dinero 1400x  bolsa con más dinero (1400x ) 200=x+200 1400x=x+200+200 14002x=400 2x=4001400 2x=1000 x= 2 x=500  bolsa con menos dinero 1400x=1400500=900  bolsa con más dinero
  10. El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número de días que ha trabajado Enrique. Si Pedro hubiera trabajado 15 días menos y Enrique 21 días más, ambos habrían trabajado igual número de días. ¿Cuántos días trabajó cada uno?
    4x  días trabajados de Pedro x  dias trabajados de Enrique 4x15=x+21 4xx=21+15 3x=36 x= 3 x=12  días trabajados de Enrique 4x=4( 12 ) =48  días trabajados de Pedro
  11. Hace 14 años la edad de un padre era el triplo de la edad de su hijo y ahora es el doble. Hallar las edades respectivas hace 14 años.
    x  edad del hijo 2x  edad del padre 2x14=3(x14 ) 2x14=3x42 2x3x=42+14 x=28 x=28  edad actual del hijo hace 14 años 2814=14  edad del hijo  3x=3( 14 ) =42  edad del padre
  12. Dentro de 22 años la edad de Juan será el doble de la de su hijo y actualmente es el triplo. Hallar las edades actuales.
    3x  edad actual de Juan x  edad actual hijo 3x+22=2(x+22 ) 3x+22=2x+44 3x2x=4422 x=22  edad del hijo 3x=3( 22 ) =66  edad de Juan
  13. Entre A y B tienen $ 84. Si A gana $ 80 y B gana $ 4, A tendrá el triplo de lo que tenga B. ¿Cuánto tiene cada uno?
    A+B=84 A=84B A+80 =3(B+4 ) Reemplazo el valor de A en la ecuación 84B+80 =3B+12 B3B+164 =12 4B =164+12 4B =152 B = 4 B =38  $ A= 84B=84( 38 ) =46 A =46  $

Ejercicio 85

CAPITULO IX

Problemas sobre ecuaciones enteras
Ejercicio 85
  1. La suma de dos números es 100 y el duplo del mayor equivale al triplo del menor. Hallar los números.
    x  parte menor 100x  parte mayor 2(100x ) =3x 100x= 3x 2 100= 3 2 x+x 100= 3x+2x 2 100( 2 ) =5x ( 2 5 ) =x x=40  parte menor 10040=60  parte mayor
  2. Las edades de un padre y su hijo suman 60 años. Si la edad del padre se disminuyera en 15 años se tendría el doble de la edad del hijo. Hallar ambas edades.
    x  edad del hijo 60x  edad del padre (60x ) 15=2x 60x15=2x 45=3x x= 3 x=15  edad del hijo 6015=45  edad del padre
  3. Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor aumentada en 100.
    x  parte menor 1080x  parte mayor (1080x ) 132=x+100 1080x132100=x 848=2x x= 2 x=424  parte menor 1080424=656  parte mayor
  4. Entre A y B tienen 150 soles. Si A pierde 46, lo que le queda equivale a lo que tiene B. ¿Cuánto tiene cada uno?
    A+B =150 A46 =B Reemplazo el valor de B en la primera ecuación A+B=150 A+A46=150 2A=150+46 2A=196 A= 2 A=98  soles B=A46 B=9846 B=52  soles
  5. Dos ángulos suman 180º y el duplo del menor excede en 45º al mayor. Hallar los ángulos.
    x  ángulo menor 180x  ángulo mayor 2x=(180x ) +45 2x=180x+45 3x=225 x= 3 x=7 5  ángulo menor 18075=10 5  ángulo mayor
  6. La suma de dos números es 540 y el mayor excede al triplo del menor en 88. Hallar los números.
    x  número menor 540x  número mayor 3x+88=540x 4x=54088 4x=452 x= 4 x=113  número menor 540113=427  número mayor
  7. La diferencia de dos números es 36. Si el mayor se disminuye en 12 se tiene el cuádruplo del menor. Hallar los números.
    x  número menor x+36  número mayor (x+36 ) 12=4x x+3612=4x 24=3x x= 3 x=8  número menor 8+36=44  número mayor
  8. Un perro y su collar han costado $ 54, y el perro costó 8 veces lo que el collar. ¿Cuánto costó el perro y cuánto el collar?
    P+C=54 P=8C Reemplazo el valor de P en la primera ecuación P+C=54 8C+C=54 9C=54 C= 9 C=6 costo del collar P=8C P=8( 6 ) P=48  $ costo del perro
  9. Entre A y B tienen $ 84. Si A pierde $ 16 y B gana $ 20, ambos tienen lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?
    A+B=84 A16=B+20 A=B+36 Reemplazo el valor de A en la ecuación B+36+B=84 2B=8436 2B=48 B= 2 B=24 A=B+36 A=24+36 A=60
  10. En una clase hay 60 alumnos entre jóvenes y señoritas. El número de señoritas excede en 15 al duplo de los jóvenes. ¿Cuántos jóvenes hay en la clase y cuántas señoritas?
    H+M=60 M=2H+15 Reemplazo el valor de M en la primera ecuación H+M=60 H+2H+15=60 3H=6015 3H=45 H= 3 H=15  número de jóvenes M=2H+15 M=2( 15 ) +15 M=30+15 M=45  número de señorita
  11. Dividir 160 en dos partes tales que el triplo de la parte menor disminuido en la parte mayor equivalga a 16.
    x  número menor 160x  número mayor 3x(160x ) =16 3x160+x=16 4x=16+160 4x=176 x= 4 x=44  número menor 16044=116  número mayor
  12. La suma de dos números es 506 y el triplo del menor excede en 50 al mayor aumentado en 100. Hallar los números.
    x  número menor 506x  número mayor 3x50=506x+100 4x=606+50 x= 4 x=164  número menor 506164=342  número mayor
  13. Una estilográfica y un lapicero han costado 18 bolívares. Si la estilográfica hubiera costado 6 bolívares menos y el lapicero 4 bolívares más, habrían costado lo mismo. ¿Cuánto costó cada uno?
    E+L=18 E6=L+4 E=L+10 Reemplazo el valor de E en la primera ecuación E+L=18 L+10+L=18 2L=1810 2L=8 L= 2 L=4  bolívares E=L+10 E=4+10 E=14  bolívares
  14. Una varilla de 84 cm de longitud está pintada de rojo y negro. La parte roja es 4 cm menor que la parte pintada de negro. Hallar la longitud de cada parte.
    R+N=84 R=N4 Reemplazo el valor de R en la ecuación R+N=84 N4+N=84 2N=84+4 2N=88 N= 2 N=44  cm R=N4 R=444 R=40  cm

Ejercicio 84

CAPITULO IX

Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
Ejercicio 84
  1. Dividir 254 en tres partes tales que la segunda sea el triplo de la primera y 40 unidades mayor que la tercera.
    x  primera parte 3x  segunda parte 3x40  tercera parte x+3x+3x40=254 7x=254+40 7x=214 x= 7 x=42  primera parte 3( 42 ) =126  segunda parte 3( 42 ) 40=12640=86  tercera parte
  2. Entre A, B y C tienen 130 balboas. C tiene el doble de lo que tiene A y 15 balboas menos que B. ¿Cuánto tiene cada uno?
    C=2A A= C 2 C=B15 B=C+15 A+B+C=130 C 2 +C+15+C=130 C+2C+2C 2 =13015 5C 2 =115 C= ( 2 ) 5 =46 C=46 A= 2 =23 B=46+15=61
  3. La suma de tres números es 238. El primero excede al duplo del segundo en 8 y al tercero en 18. Hallar los números.
    x  segundo número 2x+8  primer número 2x+8182x10  tercer número x+2x+8+2x10=238 5x2=238 5x=238+2 x= 5 x=48  segundo número 2( 48 ) +8=96+8=104  primer número 2( 48 ) 10=9610=86  tercer número
  4. Se ha comprado un traje, un bastón y un sombrero por $ 259. El traje costó 8 veces lo que el sombrero y el bastón $ 30 menos que el traje. Hallar los precios respectivos.
    x  valor del sombrero 8x  valor del traje 8x30  valor del bastón x+8x+8x30=259 17x=259+30 x= 17 x=17  valor del sombrero 8( 17 ) =136  valor del traje 8( 17 ) 30=13630=106  valor del bastón
  5. La suma de tres números es 72. El segundo es un quinto del tercero y el primero excede al tercero en 6. Hallar los números.
    x  tercer número x 5  segundo número x+6  tercer número x+ x 5 +x+6=72 5x+x+5x 5 =726 11x=5( 66 ) x= 5 11 x=30  tercer número 5 =6  segundo número 30+6=36  tercer número
  6. Entre A y B tienen 99 bolívares. La parte de B excede al triplo de la de A en 19. Hallar la parte de cada uno.
    B=3A+19 A+B=99 Reemplazo el valor de B A+3A+19=99 4A=9919 A= 4 A=20 B=3( 20 ) +19 B=60+19 B=79
  7. Una varilla de 74 cm de longitud se ha pintado de azul y blanco. La parte pintada de azul excede en 14 cm al duplo de la parte pintada de blanco. Hallar la longitud de la parte pintada de cada color.
    x  parte blanca 2x+14  parte azul x+2x+14=74 3x=7414 x= 3 x=20  cm pintado de blanco 2( 20 ) +14=40+14=54  cm pintados de azul
  8. Repartir $ 152 entre A, B y C de modo que la parte de B sea $ 8 menos que el duplo de la de A y $ 32 más que la de C.
    B=2A8 A= B+8 2 B=C+32 C=B32 A+B+C=152 B+8 2 +B+B32=152 Multiplico a la ecuación por 2 B+8+4B64=304 5B56=304 5B=304+56 B= 5 B=72 A= 72+8 2 = 2 A=40 C=7232=40 C=40
  9. El exceso de un número sobre 80 equivale al exceso 220 sobre el duplo del número. Hallar el número.
    x  un número x80=2202x 3x=220+80 x= 3 x=100
  10. Si me pagaran 60 sucres tendría el doble de lo que tengo ahora más 10 sucres. ¿Cuánto tengo?
    x  cantidad de sucres x+60=2x+10 x2x=1060 (1 ) x=50 x=50
  11. El asta de una bandera de 9.10 m de altura se ha partido en dos. La parte separada tiene 80 cm menos que la otra parte. Hallar la longitud de ambas partes del asta.
    x  parte mayor en metros x80x0.8  parte menor en metros x+x0.8=9.10 2x=9.10+0.8 2x=9.9 x= 9.9 2 x=4.95  metros 4.950.8=4.15  metros
  12. Las edades de un padre y su hijo suman 83 años. La edad del padre excede en 3 años al triplo de la edad del hijo. Hallar ambas edades.
    x  edad del hijo 3x+3  edad del padre x+3x+3=83 4x=833 x= 4 x=20  edad del hijo 3( 20 ) +3=60+3=63  edad del padre
  13. En una elección en que había 3 candidatos A, B y C se emitieron 9000 votos. B obtuvo 500 votos menos que A y 800 votos más que C. ¿Cuántos votos obtuvo el candidato triunfante?
    B=A500 A=B+500 B=C+800 C=B800 A+B+C=9000 B+500+B+B800=9000 3B300=9000 3B=9300 B= 3 B=3100 A=3100+500 A=3600 candidato con más votos C=3100800 C=2300
  14. El exceso de 8 veces un número sobre 60 equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número. Hallar el número.
    x  un número 8x60=607x 8x+7x=60+60 15x=120 x= 15 x=8
  15. Preguntado un hombre por su edad, responde: si al doble de mi edad se quitan 17 años se tendría lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad tiene el hombre?
    x  edad del hombre 2x17=100x 2x+x=100+17 3x=117 x= 3 x=39

Ejercicio 83

CAPITULO IX

Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
Ejercicio 83
  1. La edad de Pedro es el triplo de la de Juan y ambas edades suman 40 años. Hallar ambas edades.
    x edad de Juan 3x edad de Pedro x+3x=40 4x=40 x= 4 x=10  edad de Juan 3x=3( 10 ) =30  edad de Pedro
  2. Se ha comprado un caballo y sus arreos por $ 600. Si el caballo costó 4 veces los arreos, ¿cuánto costó el caballo y cuánto los arreos?
    x costo arreros 4x costo caballo x+4x=600 5x=600 x= 5 x=120  costo de arreros x=4( 120 ) =480  costo del caballo
  3. En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, ¿cuántas habitaciones hay en cada piso?
    x número de habitaciones primer piso x 2 número de habitaciones segundo piso x+ x 2 =48 2x+x 2 =48 3x=2( 48 ) 3x=96 x= 3 x=32  habitaciones del primer piso 2 =16  habitaciones del primer piso
  4. Repartir 300 colones entre A, B y C de modo que la parte de B sea el doble de la de A y la de C el triplo de la de A.
    B =2A C =3A A+B+C=300 Reemplazo los valores de B y C A+2A+3A=300 6A=300 A= 6 A=50 B=2( 50 ) =100 C=3( 50 ) =150
  5. Repartir 133 sucres entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y la de C doble de la de B.
    A = B 2 C =2B A+B+C=133 B 2 +B+2B=133 B+2B+4B 2 =133 7B=2( 133 ) B= 2 7 B=38 A= B 2 = 2 =19 C=2B=2( 38 ) =76
  6. El mayor de dos números es 6 veces el menor y ambos números suman 147. Hallar los números.
    x número menor 6x número mayor x+6x=147 7x=147 x= 7 x=21  número menor 6( 21 ) =126  número mayor
  7. Repartir 140 quetzales entre A, B y C de modo que la parte de B sea la mitad de la de A y un cuarto de la de C.
    B = A 2 A=2B B = C 4 C=4B A+B+C=140 2B+B+4B=140 7B=140 B= 7 B=20 A=2B=2( 20 ) =40 C=4B=4( 20 ) =80
  8. Dividir el número 850 en tres partes de modo que la primera sea el cuarto de la segunda y el quinto de la tercera.
    primera parte x segunda parte 4x tercera parte 5x x+4x+5x=850 10x=850 x= 85 0 1 0 x=85  primera parte 4( 85 ) =340  segunda parte 5( 85 ) =425  tercera parte
  9. El duplo de un número equivale al número aumentado en 111. Hallar el número.
    x  un número 2x duplo del número 2x=x+111 2xx=111 x=111
  10. La edad de María es el triplo de la de Rosa más quince años y ambas edades suman 59 años. Hallar ambas edades.
    x edad de Rosa 3x+15 edad de María x+3x+15=59 4x=5915 4x=44 x= 4 x=11  edad de Rosa 3( 11 ) +15=33+15=48  edad de María
  11. Si un número se multiplica por 8 el resultado es el número aumentado en 21. Hallar el número.
    x un número 8x=x+21 8xx=21 7x=21 x= 7 x=3
  12. Si al triplo de mi edad añado 7 años, tendría 100 años. ¿Qué edad tengo?
    x mi edad 3x+7=100 3x=1007 3x=93 x= 3 x=31
  13. Dividir 96 en tres partes tales que la primera sea el triplo de la segunda y la tercera igual a la suma de la primera y la segunda.
    3x primera parte x segunda parte 3x+x tercera parte 3x+x+3x+x=96 8x=96 x= 8 x=12  segunda parte 3( 12 ) =36  primera parte 3( 12 ) +12=36+12=48  tercera parte
  14. La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan el triplo de la de Enrique y la de Eugenio el doble de la de Juan. Si las 4 edades suman 132 años, ¿Qué edad tiene cada uno?
    x edad de Pedro x 2 edad de Enrique 3x 2 edad de Juan 3x edad de Eugenio x+ x 2 + 3x 2 +3x=132 2x+x+3x+6x 2 =132 2 x=132 6x=132 x= 6 x=22  edad de Pedro 22 2 =11  edad de Enrique 3 2 =33  edad de Juan 3( 22 ) =66  edad de Eugenio

Ejercicio 82

CAPITULO IX

Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
Ejercicio 82
  1. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los números
    x:  un número menor x+8:  número mayor x+x+8 =106 2x =1068 x = 2 x= 49  número menor 49+8 =57  número mayor
  2. La suma de números es 540 y su diferencia es 32. Hallar los números
    ( 1 ) x  número mayor ( 2 ) x32  número menor Sumo los números x+x32=540 2x=540+32 2x=572 x= 2 x=286 28632=254  número menor
  3. Entre A y B tienen 1154 bolívares y B tiene 506 menos que A. ¿Cuánto tiene cada uno?
    ( 1 ) A+B =1154 ( 2 ) B =A506 Reemplazo B en ( 1 ) A+A506=1154 2A506=1154 2A=1154+506 2A=1660 A= 2 A=830 Reemplazo A en ( 2 ) B=830506 B=324
  4. Dividir el número 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la menor en 24
    x  número mayor x24  número menor x+x24 =106 2x24 =106 2x =106+24 2x =130 x = 2 x= 65  número mayor 6524 =41  número menor
  5. A tiene 14 años menos que B y ambas edades suman 56. ¿Qué edad tiene cada uno?
    ( 1 ) A =B14 ( 2 ) A+B =56 Reemplazo A en la ecuación ( 2 ) B14+B=56 2B=56+14 2B=70 B= 2 B=35 Reemplazo B en la ecuación ( 1 ) A=3514 A=21
  6. Repartir 1080 soles entre A y B de modo que A reciba 1014 más que B.
    ( 1 ) A+B =1080 ( 2 ) A =1014+B Reemplazo A en la ecuación ( 1 ) 1014+B+B=1080 2B=10801014 2B=66 B= 2 B=33 Reemplazo B en ( 2 ) A=1014+33 A=1047
  7. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.
    x  número entero x+1  número siguiente x+x+1=103 2x=1031 x= 2 x=51  número entero 51+1=52  número siguiente
  8. Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números.
    x  número menor x+1  número intermedio x+2  número mayor x+x+1+x+2=204 3x+3=204 3x=2043 x= 3 x=67  número menor 67+1=68  número intermedio 67+2=69  número mayor
  9. Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74.
    x  primer número x+1  segundo número x+2  tercer número x+3  cuarto número x+x+1+x+2+x+3=74 4x+6=74 4x=746 x= 4 x=17  primer número 17+1=18  segundo número 17+2=19  tercer número 17+3=20  cuarto número
  10. Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.
    2x  número par 2x+2  siguiente número par 2x+2x+2=194 4x=1942 2x= 2 2x=96  número par 92+2=98  siguiente número par
  11. Hallar tres números enteros consecutivos cuya suma sea 186.
    x  número menor x+1  número intermedio x+2  número mayor x+x+1+x+2=186 3x+3=186 3x=183 x= 3 x=61 61+1=62  número intermedio 61+2=63  número mayor
  12. Pagué $325 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costo $80 más que el coche y los arreos $25 menos que el coche. Hallar los precios respectivos.
    ( 1 ) caballo+coche+arreros =325 ( 2 ) coche+80 =caballo ( 3 ) coche25 =arreros Reemplazo caballo y arreros en ( 1 ) coche+80+coche+coche25=325 3coche+55=325 3coche=32555 coche= 3 coche=90 Reemplazo coche en ( 2 )  y ( 3 ) caballo=90+80=170 arreros=9025=65
  13. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números.
    x  número mayor x32  número intermedio x65  número menor x+x32+x65=200 3x97=200 3x=200+97 x= 3 x=99  número mayor 9932=67  número intermedio 9965=34  número menor
  14. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto?
    x  número de manzanas del primer cesto x10  número de manzanas del segundo cesto x15  número de manzanas del tercer cesto x+x10+x15=575 3x25=575 3x=575+25 x= 3 x=200  número de manzanas del primer cesto 20010=190  número de manzanas del segundo cesto 20015=185  número de manzanas del tercer cesto
  15. Dividir 454 en tres partes sabiendo que la menor es 15 unidades menor que la del medio y 70 unidades menor que la mayor.
    x  número mayor x55  número intermedio x70  número menor x+x55+x70=454 3x125=454 3x=454+125 x= 3 x=193  número mayor 19355=138  número intermedio 19370=123  número menor
  16. Repartir 310 sucres entre tres personas de modo que la segunda reciba 20 menos que la primera y 40 más que la tercera.
    x  primera persona x20  segunda persona x60  tercera persona x+x20+x60=310 3x80=310 3x=310+80 x= 3 x=130  primera persona 13020=110  segunda persona 13060=70  tercera persona
  17. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.
    x  persona mayor x18  primera intermedia x20  primera menor x+x18+x20=88 3x38=88 3x=88+38 x= 3 x=42  persona mayor 4218=24  persona intermedia 4220=22  persona menor
  18. Dividir 642 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36.
    x  parte mayor x36  parte menor x+x36=642 2x=642+36 x= 2 x=339  parte mayor 33936=303  parte menor