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CAPITULO XVII

Problemas sobre ecuaciones fraccionarias de primer grado

Ejercicio 146

Hallar dos números consecutivos tales que los 4/5 del mayor equivalgan al menor disminuido en 4.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o b u s c a d o (m e n o r) \\ x + 1 & n ú m e r o s i g u i e n t e (m a y o r) \\ \frac{4}{5} (x + 1) & = x - 4 \\ 4 (x + 1) & = 5 (x - 4) \\ 4 x + 4 & = 5 x - 20 \\ 4 x - 5 x & = - 20 - 4 \\ - x & = - 24 \\ x & = 24 \\ x + 1 & = 24 + 1 = 25 \end{matrix}$
Hallar dos números consecutivos tales que los 7/8 del menor excedan en 17 a los 3/5 del mayor.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o b u s c a d o (m e n o r) \\ x + 1 & n ú m e r o s i g u i e n t e (m a y o r) \\ \frac{7}{8} x - 17 & = \frac{3}{5} (x + 1) \\ \frac{7}{8} x & = \frac{3}{5} x + \frac{3}{5} + 17 \\ \frac{7}{8} x - \frac{3}{5} x & = \frac{3 + 85}{5} \\ \frac{35 x - 24 x}{} & = \frac{88}{5} \\ \frac{11 x}{8} & = 88 \\ x & = \frac{8}{11} \\ x & = 64 \\ x + 1 & = 64 + 1 = 65 \end{matrix}$
Hallar dos números consecutivos tales que el menor exceda en 81 a la diferencia entre los ¾ del menor y los 2/5 del mayor.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o b u s c a d o (m e n o r) \\ x + 1 & n ú m e r o s i g u i e n t e (m a y o r) \\ x - 81 & = \frac{3}{4} x - \frac{2}{5} (x + 1) \\ x - 81 & = \frac{3}{4} x - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \\ x - \frac{3}{4} x + \frac{2}{5} x & = 81 - \frac{2}{5} \\ \frac{20 x - 15 x + 8 x}{} & = \frac{405 - 2}{5} \\ \frac{13 x}{4} & = 403 \\ x & = \frac{4}{13} \\ x & = 124 \\ x + 1 & = 124 + 1 = 125 \end{matrix}$
Se tienen dos números consecutivos tales que la suma de 1/5 del mayor con 1/33 del menor excede en 8 a los 3/20 del mayor. Hallar los números.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o b u s c a d o (m e n o r) \\ x + 1 & n ú m e r o s i g u i e n t e (m a y o r) \\ \frac{1}{5} (x + 1) + \frac{1}{33} x - 8 & = \frac{3}{20} (x + 1) \\ \frac{1}{5} x + \frac{1}{5} + \frac{1}{33} x & = \frac{3}{20} x + \frac{3}{20} + 8 \\ \frac{1}{5} x + \frac{1}{33} x - \frac{3}{20} x & = \frac{3}{20} + 8 - \frac{1}{5} \\ \frac{132 x + 20 x - 99 x}{} & = \frac{3 + 160 - 4}{20} \\ \frac{53 x}{33} & = 159 \\ x & = \frac{33}{53} \\ x & = 99 \\ x + 1 & = 99 + 1 = 100 \end{matrix}$
La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 324. Hallar los números.
$\begin{matrix} 2 x & n ú m e r o p a r \\ 2 x + 2 & s i g u i e n t e n ú m e r o p a r \\ {(2 x + 2)}^{2} - {(2 x)}^{2} & = 324 \\ [(2 x + 2) + (2 x)] [(2 x + 2) - (2 x)] & = 324 \\ [2 x + 2 + 2 x] [2 x + 2 - 2 x] & = 324 \\ (4 x + 2) (2) & = 324 \\ 2 (2) (2 x + 1) & = 324 \\ 2 x + 1 & = \frac{}{4} \\ 2 x & = 81 - 1 \\ x & = \frac{}{2} \\ x & = 40 \\ 2 x & = 80 n ú m e r o p a r \\ 2 x + 2 & = 80 + 2 = 82 s i g u i e n t e n ú m e r o p a r \end{matrix}$
A tiene $ 1 más que B. Si B gastara $ 8, tendría $ 4 menos que los 4/5 de lo que tiene A. ¿Cuánto tiene cada uno?
$\begin{matrix} x & d i n e r o d e B \\ x + 1 & d i n e r o d e A \\ x - 8 & = \frac{4}{5} (x + 1) - 4 \\ x - 8 & = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} - 4 \\ x - \frac{4}{5} x & = 8 - 4 + \frac{4}{5} \\ \frac{5 x - 4 x}{5} & = \frac{20 + 4}{5} \\ x & = 24 d i n e r o d e B \\ x + 1 & = 24 + 1 = 25 d i n e r o d e A \end{matrix}$
Hoy gané $ 1 más que ayer, y lo que he ganado en los dos días es $ 25 más que los 2/5 de lo que gané ayer. ¿Cuánto gané hoy y cuánto gané ayer?
$\begin{matrix} x & d i n e r o d e a y e r \\ x + 1 & d i n e r o d e h o y \\ x + x + 1 & = \frac{2}{5} x + 25 \\ 2 x - \frac{2}{5} x & = 25 - 1 \\ \frac{10 x - 2 x}{5} & = 24 \\ \frac{8 x}{5} & = 24 \\ x & = \frac{5}{8} \\ x & = 15 d i n e r o d e a y e r \\ x + 1 & = 16 d i n e r o d e h o y \end{matrix}$
Hallar tres números consecutivos tales que si el menor se divide entre 20, el mediano entre 27 y el mayor entre 41 la suma de los cocientes es 9.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o m e n o r \\ x + 1 & n ú m e r o i n t e r m e d i o \\ x + 2 & n ú m e r o m a y o r \\ \frac{x}{20} + \frac{x + 1}{27} + \frac{x + 2}{41} & = 9 \\ \frac{1107 x + 820 (x + 1) + 540 (x + 2)}{22140} & = 9 \\ \frac{1107 x + 820 x + 820 + 540 x + 1080}{22140} & = 9 \\ 2467 x + 1900 & = 9 (22140) \\ 2467 x & = 199260 - 1900 \\ 2467 x & = 197360 \\ x & = \frac{}{2467} \\ x & = 80 n ú m e r o m e n o r \\ x + 1 & = 80 + 1 = 81 n ú m e r o i n t e r m e d i o \\ x + 2 & = 80 + 2 = 82 n ú m e r o m a y o r \end{matrix}$
Hallar tres números consecutivos tales que la suma de los 3/5 del menor con los 5/6 del mayor exceda en 31 al del medio.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o m e n o r \\ x + 1 & n ú m e r o i n t e r m e d i o \\ x + 2 & n ú m e r o m a y o r \\ \frac{3}{5} x + \frac{5}{6} (x + 2) & = x + 1 + 31 \\ \frac{3}{5} x + \frac{5}{6} x + \frac{5}{3} & = x + 32 \\ \frac{3}{5} x + \frac{5}{6} x - x & = 32 - \frac{5}{3} \\ \frac{18 x + 25 x - 30 x}{} & = \frac{96 - 5}{3} \\ \frac{13 x}{10} & = 91 \\ 13 x & = 910 \\ x & = \frac{}{13} \\ x & = 70 n ú m e r o m e n o r \\ x + 1 & = 70 + 1 = 71 n ú m e r o i n t e r m e d i o \\ x + 2 & = 70 + 2 = 72 n ú m e r o m a y o r \end{matrix}$
Se tienen tres números consecutivos tales que la diferencia entre los 3/7 del mediano y los 3/10 del menor excede en 1 a 1/11 del mayor. Hallar los números.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o m e n o r \\ x + 1 & n ú m e r o i n t e r m e d i o \\ x + 2 & n ú m e r o m a y o r \\ \frac{3}{7} (x + 1) - \frac{3}{10} x & = \frac{x + 2}{11} + 1 \\ \frac{3}{7} x + \frac{3}{7} - \frac{3}{10} x & = \frac{x}{11} + \frac{2}{11} + 1 \\ \frac{3}{7} x - \frac{3}{10} x - \frac{x}{11} & = - \frac{3}{7} + \frac{2}{11} + 1 \\ \frac{330 x - 231 x - 70 x}{} & = \frac{- 33 + 14 + 77}{77} \\ \frac{29 x}{10} & = 58 \\ x & = \frac{10}{29} \\ x & = 20 n ú m e r o m e n o r \\ x + 1 & = 20 + 1 = 21 n ú m e r o i n t e r m e d i o \\ x + 2 & = 20 + 2 = 22 n ú m e r o m a y o r \end{matrix}$
A tiene 2 años más que B y éste 2 años más que C. Si las edades de B y C se suman, esta suma excede en 12 años a los 7/8 de la edad de A. Hallar las edades respectivas.
$\begin{matrix} x & e d a d d e C \\ x + 2 & e d a d d e B \\ x + 4 & e d a d d e A \\ x + 2 + x & = 12 + \frac{7}{8} (x + 4) \\ 2 x + 2 & = 12 + \frac{7}{2} \\ 2 x - \frac{7}{8} x & = 12 + \frac{7}{2} - 2 \\ \frac{16 x - 7 x}{} & = \frac{24 + 7 - 4}{2} \\ \frac{9 x}{4} & = 27 \\ x & = \frac{4}{9} \\ x & = 12 e d a d d e C \\ x + 2 & = 12 + 2 = 14 e d a d d e B \\ x + 4 & = 12 + 4 = 16 e d a d d e A \end{matrix}$
A tiene 1 año menos que B y B 1 año menos que C. Si del cuadrado de la edad de C se resta el cuadrado de la edad de B la diferencia es 4 años menos que los 17/5 de la edad de A. Hallar las edades respectivas.
$\begin{matrix} x & e d a d d e C \\ x - 1 & e d a d d e B \\ x - 2 & e d a d d e A \\ x^{2} - {(x - 1)}^{2} & = \frac{17}{5} (x - 2) - 4 \\ [x - (x - 1)] [x + (x - 1)] & = \frac{17}{5} x - \frac{34}{5} - 4 \\ [x - x + 1] [x + x - 1] & = \frac{17}{5} x - \frac{34 + 20}{5} \\ 2 x - 1 & = \frac{17}{5} x - \frac{54}{5} \\ 2 x - \frac{17}{5} x & = 1 - \frac{54}{5} \\ \frac{10 x - 17 x}{5} & = \frac{5 - 54}{5} \\ - 7 x & = - 49 \\ x & = \frac{-}{- 7} \\ x & = 7 e d a d d e C \\ x - 1 & = 7 - 1 = 6 e d a d d e B \\ x - 2 & = 7 - 2 = 5 e d a d d e A \end{matrix}$