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CAPITULO XVII

Problemas sobre ecuaciones fraccionarias de primer grado

Ejercicio 150

La edad de A es 1/3 de la de B y hace 15 años la edad de A era 1/6 de la de B. Hallar las edades actuales.
$\begin{matrix} x & e d a d d e B \\ \frac{x}{3} & e d a d d e A \\ x - 15 & e d a d d e B h a c e 15 a ñ o s \\ \frac{1}{6} (x - 15) & e d a d d e A h a c e 15 a ñ o s \\ \frac{x}{3} - 15 & = \frac{1}{6} (x - 15) \\ M u l t i p l i c a n d o l a e c u a c i ó n (6) \\ 2 x - 90 & = x - 15 \\ 2 x - x & = 90 - 15 \\ x & = 75 e d a d d e B \\ \frac{x}{3} & = \frac{}{3} = 25 e d a d d e A \end{matrix}$
La edad de A es el triplo de la de B y dentro de 20 años será el doble. Hallar las edades actuales.
$\begin{matrix} x & e d a d d e B \\ 3 x & e d a d d e A \\ x + 20 & e d a d d e B e n 20 a ñ o s \\ 2 (x + 20) & e d a d d e A e n 20 a ñ o s \\ 3 x + 20 & = 2 (x + 20) \\ 3 x + 20 & = 2 x + 40 \\ 3 x - 2 x & = 40 - 20 \\ x & = 20 e d a d d e B \\ 3 x & = 3 (20) = 60 e d a d d e A \end{matrix}$
La edad de A hace 5 años era los 9/11 de la edad que tendrá dentro de 5 años. Hallar la edad actual de A.
$\begin{matrix} x & e d a d d e A \\ x - 5 & e d a d d e A h a c e 5 a ñ o s \\ x + 5 & e d a d d e A e n 5 a ñ o s \\ x - 5 & = \frac{9}{11} (x + 5) \\ M u l t i p l i c o l a e c u a c i ó n p o r (11) \\ 11 x - 55 & = 9 x + 45 \\ 11 x - 9 x & = 55 + 45 \\ 2 x & = 100 \\ x & = \frac{}{2} \\ x & = 50 e d a d d e A \end{matrix}$
Hace 6 años la edad de A era la mitad de la edad que tendrá dentro de 24 años. Hallar la edad actual de A.
$\begin{matrix} x & e d a d d e A \\ x - 6 & e d a d d e A h a c e 6 a ñ o s \\ x + 24 & e d a d d e A e n 24 a ñ o s \\ x - 6 & = \frac{x + 24}{2} \\ 2 (x - 6) & = x + 24 \\ 2 x - 12 & = x + 24 \\ 2 x - x & = 24 + 12 \\ x & = 36 \end{matrix}$
La edad de un hijo es 1/3 la edad de su padre y dentro de 16 años será la mitad. Hallar las edades actuales.
$\begin{matrix} x & e d a d d e l p a d r e \\ \frac{x}{3} & e d a d d e l h i j o \\ \frac{x}{3} + 16 & = \frac{1}{2} (x + 16) \\ m u l t i p l i c o l a e c u a c i ó n p o r (6) \\ 2 x + 96 & = 3 x + 48 \\ 2 x - 3 x & = - 96 + 48 \\ - x & = - 48 \\ x & = 48 e d a d d e l p a d r e \\ \frac{x}{3} & = \frac{}{3} = 16 e d a d d e l h i j o \end{matrix}$
La edad de un hijo es los 2/5 de la de su padre y hace 8 años la edad del hijo era los 2/7 de la edad del padre. Hallar las edades actuales.
$\begin{matrix} x & e d a d d e l p a d r e \\ \frac{2}{5} x & e d a d d e l p a d r e \\ x - 8 & e d a d d e l p a d r e h a c e 8 a ñ o s \\ \frac{2 x}{5} - 8 & = \frac{2}{7} (x - 8) \\ M u l t i p l i c o l a e c u a c i ó n p o r (35) \\ 14 x - 280 & = 10 (x - 8) \\ 14 x & = 10 x - 80 + 280 \\ 14 x - 10 x & = 200 \\ 4 x & = 200 \\ x & = \frac{}{5} \\ x & = 50 e d a d d e l p a d r e \\ \frac{2}{5} x & = \frac{2}{5} = 20 e d a d d e l h i j o \end{matrix}$
La suma de las edades actuales de A y B es 65 años y dentro de 10 años la edad de B será los 5/12 de la de A. Hallar las edades actuales.
$\begin{matrix} x & e d a d d e A \\ 65 - x & e d a d d e B \\ x + 10 & e d a d d e A e n 10 a ñ o s \\ (65 - x) + 10 & = \frac{5}{12} (x + 10) \\ 75 - x & = \frac{5}{12} (x + 10) \\ M u l t i p l i c o l a e c u a c i ó n p o r (12) \\ 900 - 12 x & = 5 (x + 10) \\ 900 - 12 x & = 5 x + 50 \\ - 12 x - 5 x & = 50 - 900 \\ - 17 x & = - 850 \\ x & = \frac{-}{- 17} \\ x & = 50 e d a d d e A \\ 65 - x & = 65 - 50 = 15 e d a d d e B \end{matrix}$
Las diferencia de las edades de un padre y su hijo es 25 años. Hace 15 años la edad del hijo era los 3/8 de la del padre. Hallar las edades actuales.
$\begin{matrix} x & e d a d d e l p a d r e \\ x - 25 & e d a d d e l h i j o \\ (x - 25) - 15 & = \frac{3}{8} (x - 15) \\ x - 40 & = \frac{3}{8} (x - 15) \\ M u l t i p l i c o l a e c u a c i ó n p o r (8) \\ 8 x - 320 & = 3 (x - 15) \\ 8 x & = 320 + 3 x - 45 \\ 8 x - 3 x & = 275 \\ 5 x & = 275 \\ x & = \frac{}{5} \\ x & = 55 e d a d d e l p a d r e \\ x - 25 & = 55 - 25 = 30 e d a d d e l h i j o \end{matrix}$
Hace 10 años la edad de un padre era doble que la de su hijo y dentro de 10 años la edad del padre será los 3/2 de la del hijo. Hallar las edades actuales.
$\begin{matrix} x & e d a d d e l h i j o \\ x - 10 & e d a d d e l h i j o h a c e 10 a ñ o s \\ 2 (x - 10) = 2 x - 20 & e d a d d e l p a d r e h a c e 10 a ñ o s \\ 2 x - 20 + 10 = 2 x - 10 & e d a d a c t u a l d e l p a d r e \\ 2 x - 10 + 10 = 2 x & e d a d d e l p a d r e e n 10 a ñ o s (1) \\ x + 10 & e d a d d e l h i j o e n 10 a ñ o s \\ \frac{3}{2} (x + 10) & e d a d d e l p a d r e e n 10 a ñ o s (2) \\ I g u a l o l a s e c u a c i o n e s (1) y (2) \\ 2 x & = \frac{3}{2} (x + 10) \\ 4 x & = 3 (x + 10) \\ 4 x & = 3 x + 30 \\ 4 x - 3 x & = 30 \\ x & = 30 e d a d d e l h i j o \\ 2 x - 10 & = 2 (30) - 10 = 60 - 10 = 50 e d a d d e l p a d r e \end{matrix}$
A tiene 18 años más que B. Hace 18 años la edad de A era los 5/2 de la de B. Hallar las edades actuales.
$\begin{matrix} x & e d a d d e B \\ x + 18 & e d a d d e A \\ x - 18 & e d a d d e B h a c e 18 a ñ o s \\ \frac{5}{2} (x - 18) & e d a d d e A h a c e 18 a ñ o s \\ x + 18 - 18 & = \frac{5}{2} (x - 18) \\ x & = \frac{5}{2} (x - 18) \\ 2 x & = 5 (x - 18) \\ 2 x & = 5 x - 90 \\ 2 x - 5 x & = - 90 \\ - 3 x & = - 90 \\ x & = \frac{-}{- 3} \\ x & = 30 e d a d d e B \\ x + 18 & = 30 + 18 = 48 e d a d d e A \end{matrix}$
La edad de A es el triplo de la de B y hace 4 años la suma de ambas edades era igual a la que tendrá B dentro de 16 años. Hallar las edades actuales.
$\begin{matrix} x & e d a d d e B \\ 3 x & e d a d d e A \\ x - 4 & e d a d d e B h a c e 4 a ñ o s \\ 3 x - 4 & e d a d d e A h a c e 4 a ñ o s \\ x + 16 & e d a d d e B e n 16 a ñ o s \\ x - 4 + 3 x - 4 & = x + 16 \\ 4 x - 8 & = x + 16 \\ 4 x - x & = 16 + 8 \\ 3 x & = 24 \\ x & = \frac{}{3} \\ x & = 8 e d a d d e B \\ 3 x & = 3 (8) = 24 e d a d d e A \end{matrix}$