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CAPITULO XVII

Problemas sobre ecuaciones fraccionarias de primer grado

Ejercicio 156

A puede hacer una obra en 3 días y B en 6 días. ¿En cuánto tiempo pueden hacer la obra los dos trabajando juntos?.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o d e d í a s p a r a r e a l i z a r l a o b r a s A y B \\ \frac{1}{x} & p a r t e d e l a o b r a q u e h a r a n e n u n d í a A y B \\ \frac{1}{3} & p a r t e d e l a o b r a q u e h a r a A e n u n d í a \\ \frac{1}{6} & p a r t e d e l a o b r a q u e h a r a B e n u n d í a \\ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2 + 1}{6} = \frac{3}{} = \frac{1}{2} & p a r t e d e l a o b r a q u e h a r a n A y B e n u n d í a \\ \frac{1}{2} & = \frac{1}{x} \\ x & = 2 d í a s p a r a r e a l i z a r l a o b r a \end{matrix}$
Una llave puede llenar un depósito en 10 minutos y otra en 20 minutos. ¿En cuánto tiempo pueden llenar el depósito las dos llaves juntas?.
$\begin{matrix} x & t i e m p o e n l l e n a r d e p ó s i t o a m b a s l l a v e s \\ \frac{1}{x} & t i e m p o e n l l e n a r d e p ó s i t o l a s l l a v e s e n u n m i n u t o \\ \frac{1}{10} & t i e m p o l l e n a r d e p ó s i t o e n u n m i n u t o u n a l l a v e \\ \frac{1}{20} & t i e m p o l l e n a r d e p ó s i t o e n u n m i n u t o o t r a l l a v e \\ \frac{1}{10} + \frac{1}{20} = \frac{2 + 1}{20} = \frac{3}{20} & t i e m p o e n l l e n a r d e p ó s i t o a m b a s l l a v e s e n u n m i n u t o \\ \frac{1}{x} & = \frac{3}{20} \\ x & = \frac{20}{3} \leftrightarrow 6 \frac{2}{3} m i n u t o s p a r a l l e n a r e l d e p ó s i t o \end{matrix}$
A puede hacer una obra en 4 días, B en 6 días y C en 12 días. ¿En cuánto tiempo pueden hacer la obra los 3 juntos?.
$\begin{matrix} x & t i e m p o e n h a c e r u n a o b r a A, B y C \\ \frac{1}{x} & t i e m p o d e l a o b r a q u e h a r a n e n u n d í a A, B y C \\ \frac{1}{4} & p a r t e q u e h a c e A e n u n d í a \\ \frac{1}{6} & p a r t e q u e h a c e B e n u n d í a \\ \frac{1}{12} & p a r t e q u e h a c e C e n u n d í a \\ \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3 + 2 + 1}{12} = \frac{6}{} = \frac{1}{2} & t i e m p o d e l a o b r a q u e h a r a n e n u n d í a A, B y C \\ \frac{1}{x} & = \frac{1}{2} \\ x & = 2 d í a s e n q u e t e r m i n a r a n l a o b r a \end{matrix}$
A puede hacer una obra en 1½ días, B en 6 días y C en 2 2/5 días. ¿En cuánto tiempo harán la obra los 3 juntos?.
$\begin{matrix} x & t i e m p o e n h a c e r u n a o b r a A, B y C \\ \frac{1}{x} & t i e m p o d e l a o b r a q u e h a r a n e n u n d í a A, B y C \\ \frac{1}{1 \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} & p a r t e q u e h a c e A e n u n d í a \\ \frac{1}{6} & p a r t e q u e h a c e B e n u n d í a \\ \frac{1}{2 \frac{2}{5}} = \frac{1}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{12} & p a r t e q u e h a c e C e n u n d í a \\ \frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{5}{12} = \frac{8 + 2 + 5}{12} = \frac{}{} = \frac{5}{4} & t i e m p o d e l a o b r a q u e h a r a n e n u n d í a A, B y C \\ \frac{1}{x} & = \frac{5}{4} \\ x & = \frac{4}{5} d í a s e n q u e h a r a n l a o b r a j u n t o s \end{matrix}$
Una llave puede llenar un depósito en 5 minutos, otra en 6 minutos y otra en 12 minutos. ¿En cuánto tiempo llenarán el depósito las tres llaves abiertas al mismo tiempo?.
$\begin{matrix} x & t i e m p o e n l l e n a r d e p ó s i t o l a s t r e s l l a v e s \\ \frac{1}{x} & t i e m p o e n l l e n a r d e p ó s i t o t o d a s l a s l l a v e s e n u n m i n u t o \\ \frac{1}{5} & t i e m p o l l e n a r d e p ó s i t o e n u n m i n u t o l a p r i m e r a l l a v e \\ \frac{1}{6} & t i e m p o l l e n a r d e p ó s i t o e n u n m i n u t o l a s e g u n d a l l a v e \\ \frac{1}{12} & t i e m p o l l e n a r d e p ó s i t o e n u n m i n u t o l a s e g u n d a l l a v e \\ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{12 + 10 + 5}{60} = \frac{}{} = \frac{9}{20} & t i e m p o e n l l e n a r d e p ó s i t o t o d a s l l a v e s e n u n m i n u t o \\ \frac{1}{x} & = \frac{9}{20} \\ x & = \frac{20}{9} \leftrightarrow 2 \frac{2}{9} \end{matrix}$
Una llave puede llenar un depósito en 4 minutos, otra llave en 8 minutos y un desagüe puede vaciarlo, estando lleno, en 20 minutos. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito, si estando vacío y abierto el desagüe se abren las dos llaves?.
$\begin{matrix} x & t i e m p o e n l l e n a r d e p ó s i t o a m b a s l l a v e s y d e s a g ü e a b i e r t o \\ \frac{1}{x} & t i e m p o e n l l e n a r d e p ó s i t o l a s l l a v e s e n u n m i n u t o \\ \frac{1}{4} & t i e m p o l l e n a r d e p ó s i t o e n u n m i n u t o u n a l l a v e \\ \frac{1}{8} & t i e m p o l l e n a r d e p ó s i t o e n u n m i n u t o o t r a l l a v e \\ \frac{1}{20} & t i e m p o q u e s e v a c i a e l t a n q u e e n u n m i n u t o \\ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{20} = \frac{10 + 5 - 2}{40} = \frac{13}{40} & t i e m p o e n l l e n a r d e p ó s i t o l a s l l a v e s e n u n m i n u t o \\ \frac{1}{x} & = \frac{13}{40} \\ x & = \frac{40}{13} \leftrightarrow 3 \frac{1}{13} t i e m p o q u e s e l l e n a r a e l d e p ó s i t o \end{matrix}$