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CAPITULO XVII

M i s c e l á n e a
Problemas que se resuelven por ecuaciones de primer grado

Ejercicio 158

La diferencia de dos números es 6 y la mitad del mayor excede en 10 a los 3/8 del menor. Hallar los números.
$\begin{matrix} x - 6 & n ú m e r o m e n o r \\ x & n ú m e r o m a y o r \\ \frac{x}{2} & = \frac{3}{8} (x - 6) + 10 \\ M u l t i p l i c o p o r 8 l a e c u a c i ó n \\ 4 x & = 3 (x - 6) + 80 \\ 4 x & = 3 x - 18 + 80 \\ 4 x - 3 x & = 62 \\ x & = 62 n ú m e r o m a y o r \\ x - 6 & = 62 - 6 = 56 n ú m e r o m e n o r \end{matrix}$
A tenía $ 120 y B $ 90. Después que A le dio a B cierta suma, B tiene los 11/10 de lo que le queda a A. ¿Cuánto le dio A a B?
$\begin{matrix} x & d i n e r o q u e l e d a A a B \\ 120 - x & d i n e r o d e A \\ 90 + x & d i n e r o d e B \\ 90 + x & = \frac{11}{10} (120 - x) \\ M u l t i p l i c o l a e c u a c i ó n p o r 10 \\ 900 + 10 x & = 11 (120 - x) \\ 10 x & = 1320 - 11 x - 900 \\ 10 x + 11 x & = 420 \\ 21 x & = 420 \\ x & = \frac{}{21} \\ x & = 20 d i n e r o q u e l e d a A a B \end{matrix}$
Un número se aumentó en 6 unidades; esta suma se dividió entre 8; al cociente se le sumó 5 y esta nueva suma se dividió entre 2, obteniendo 4 de cociente. Hallar el número.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o b u s c a d o \\ \frac{\frac{x + 6}{8} + 5}{2} & = 4 \\ \frac{x + 6}{8} + 5 & = 2 (4) \\ \frac{x + 6 + 40}{8} & = 8 \\ x + 46 & = 8 (8) \\ x & = 64 - 46 \\ x & = 18 \end{matrix}$
Se ha repartido una herencia de 48.000 soles entre dos personas de modo que la parte de la que recibió menos equivale a los 5/7 de la parte de la persona favorecida. Hallar la parte de cada uno.
$\begin{matrix} x & d i n e r o d e p e r s o n a m á s h e r e n c i a \\ 48000 - x & d i n e r o d e p e r s o n a c o n m e n o s h e r e n c i a \\ 48000 - x & = \frac{5}{7} x \\ 48000 & = \frac{5}{7} x + x \\ 48000 & = \frac{5 x + 7 x}{7} \\ (7) 48000 & = 12 x \\ \frac{(7)}{12} & = x \\ 7 (4000) & = x \\ x & = 28000 d i n e r o d e p e r s o n a c o n m á s h e r e n c i a \\ 48000 - x & = 48000 - 28000 = 20000 d i n e r o d e p e r s o n a c o n m e n o s h e r e n c i a \end{matrix}$
Dividir 84 en dos partes tales que 1/10 de la parte mayor equivalga a ¼ de la menor.
$\begin{matrix} x & p a r t e m e n o r \\ 84 - x & p a r t e m a y o r \\ \frac{1}{10} (84 - x) & = \frac{1}{4} x \\ M u l t i p l i c o l a e c u a c i ó n p o r 20 \\ 2 (84 - x) & = 5 x \\ 168 - 2 x & = 5 x \\ 168 & = 5 x + 2 x \\ 168 & = 7 x \\ x & = \frac{}{7} \\ x & = 24 p a r t e m e n o r \\ 84 - x & = 84 - 24 = 60 p a r t e m a y o r \end{matrix}$
Dividir 120 en dos partes tales que la menor sea a la mayor como 3 es a 5.
$\begin{matrix} x & p a r t e m e n o r \\ 120 - x & p a r t e m a y o r \\ \frac{x}{120 - x} & = \frac{3}{5} \\ 5 x & = 3 (120 - x) \\ 5 x & = 360 - 3 x \\ 5 x + 3 x & = 360 \\ 8 x & = 360 \\ x & = \frac{}{8} \\ x & = 45 p a r t e m e n o r \\ 120 - x & = 120 - 45 = 75 p a r t e m a y o r \end{matrix}$
Un hombre gasta la mitad de su sueldo mensual en el alquiler de la casa y alimentación de su familia y 3/8 del sueldo en otros gastos. Al cabo de 15 meses ha ahorrado $ 300. ¿Cuál es su sueldo mensual?
$\begin{matrix} x & s u e l d o m e n s u a l \\ \frac{x}{2} & g a s t o d e a r r i e n d o m e n s u a l \\ \frac{3 x}{8} & o t r o s g a s t o s m e n s u a l \\ x - \frac{x}{2} - \frac{3 x}{8} & = \frac{}{15} \\ \frac{8 x - 4 x - 3 x}{8} & = 20 \\ \frac{x}{8} & = 20 \\ x & = 20 (8) \\ x & = 120 s u e l d o m e n s u a l \end{matrix}$
Un hombre gastó 1/5 de lo que tenía en ropa; 3/8 en libros; prestó $ 102 a un amigo y se quedó sin nada. ¿Cuánto gastó en ropa y cuánto en libros?
$\begin{matrix} x & d i n e r o i n i c i a l \\ \frac{x}{5} & d i n e r o g a s t a d o e n r o p a \\ \frac{3 x}{8} & d i n e r o g a s t a d o e n l i b r o s \\ 102 & d i n e r o p r e s t a d o \\ x - \frac{x}{5} - \frac{3 x}{8} - 102 & = 0 \\ \frac{40 x - 8 x - 15 x}{40} & = 102 \\ 17 x & = 40 (102) \\ x & = \frac{40}{17} \\ x & = 240 d i n e r o i n i c i a l \\ \frac{x}{5} & = \frac{}{5} = 48 d i n e r o g a s t a d o e n r o p a \\ \frac{3 x}{8} & = \frac{3}{8} = 3 (30) = 90 d i n e r o g a s t a d o e n l i b r o s \end{matrix}$
La edad de B es 2/5 de la de A y la de C 2/3 de la de B. Si entre los 3 tienen 25 años, ¿Cuál es la edad de cada uno?
$\begin{matrix} x & e d a d d e A \\ \frac{2}{5} x & e d a d d e B \\ \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x) = \frac{4}{15} x & e d a d d e C \\ x + \frac{2}{5} x + \frac{4}{15} x & = 25 \\ \frac{15 x + 6 x + 4 x}{15} & = 25 \\ 25 x & = 15 (25) \\ x & = \frac{15 (25)}{25} \\ x & = 15 e d a d d e A \\ \frac{2}{5} x & = \frac{2}{5} = 2 (3) = 6 e d a d d e B \\ \frac{4}{15} x & = \frac{4 (15)}{15} = 4 e d a d d e C \end{matrix}$
Vendí un automóvil por 8.000 bolívares más la tercera parte de lo que me había costado, y en esta operación gané 2.000 bolívares. ¿Cuánto me había costado el auto?
$\begin{matrix} x & v a l o r d e l a u t o \\ 8000 + \frac{x}{3} & = x + 2000 \\ \frac{x}{3} - x & = 2000 - 8000 \\ \frac{x - 3 x}{3} & = - 6000 \\ - 2 x & = 3 (- 6000) \\ x & = \frac{3}{- 2} \\ x & = 3 (3000) \\ x & = 9000 v a l o r d e l a u t o \end{matrix}$
Compré cierto número de libros a 2 por $ 5 y los vendí a 2 por $ 7, ganando en esta operación $ 8. ¿Cuántos libros compré?
$\begin{matrix} x & c a n t i d a d d e l i b r o s \\ \frac{5 x}{2} & p r e c i o d e c o m p r a \\ \frac{7 x}{2} & p r e c i o d e v e n t a \\ \frac{7 x}{2} - \frac{5 x}{2} & = 8 \\ \frac{7 x - 5 x}{2} & = 8 \\ \frac{2 x}{2} & = 8 \\ x & = 8 l i b r o s c o m p r a d o s \end{matrix}$
Compré cierto número de libros a 4 por $ 3 y un número de libros igual a los ¾ del número de libros anterior a 10 por $ 7. Vendiéndolos todos a 2 por $ 3 gané $ 54. ¿Cuántos libros compré?
$\begin{matrix} x & l i b r o s c o m p r a d o s a 4 p o r $ 3 \\ \frac{3}{4} x & l i b r o s c o m p r a d o s a 10 p o r $ 7 \\ x + \frac{3}{4} x = \frac{4 x + 3 x}{4} = \frac{7 x}{4} & t o t a l d e l i b r o s c o m p r a d o s \\ \frac{3 x}{4} + 7 (\frac{\frac{3 x}{4}}{10}) = \frac{3 x}{4} + 7 (\frac{3 x}{40}) = \frac{30 x + 21 x}{40} = \frac{51 x}{40} & p r e c i o d e c o m p r a \\ 3 (\frac{\frac{7 x}{4}}{2}) = 3 (\frac{7 x}{8}) = \frac{21 x}{8} & p r e c i o d e v e n t a \\ \Rightarrow \\ \frac{21 x}{8} - \frac{51 x}{40} & = 54 \\ \frac{105 x - 51 x}{40} & = 54 \\ \frac{54 x}{40} & = 54 \\ x & = \frac{40 (54)}{54} \\ x & = 40 \\ \frac{7 x}{4} & = \frac{7}{4} = 70 l i b r o s c o m p r a d o s \end{matrix}$
Dividir 150 en 4 partes, tales que la segunda sea los 5/6 de la primera; la tercera los 3/5 de la segunda y la cuarta 1/3 de la tercera.
$\begin{matrix} x & p r i m e r a p a r t e \\ \frac{5 x}{6} & s e g u n d a p a r t e \\ \frac{3}{5} (\frac{5 x}{}) = \frac{x}{2} & t e r c e r a p a r t e \\ \frac{1}{3} (\frac{x}{2}) = \frac{x}{6} & c u a r t a p a r t e \\ x + \frac{5 x}{6} + \frac{x}{2} + \frac{x}{6} & = 150 \\ \frac{6 x + 5 x + 3 x + x}{6} & = 150 \\ \frac{15 x}{6} & = 150 \\ x & = \frac{6}{15} \\ x & = 60 p r i m e r a p a r t e \\ \frac{5 x}{6} & = \frac{5}{6} = 50 s e g u n d a p a r t e \\ \frac{x}{2} & = \frac{}{2} = 30 t e r c e r a p a r t e \\ \frac{x}{6} & = \frac{}{6} = 10 c u a r t a p a r t e \end{matrix}$
A qué hora, entre las 9 y las 10 coinciden las agujas del reloj?

$\begin{matrix} \hat{A B C} & = x \\ \hat{A B} & = 45 \\ \hat{B C} & = \frac{x}{12} \\ \hat{A B C} & = \hat{A B} + \hat{B C} \\ x & = 45 + \frac{x}{12} \\ x - \frac{x}{12} & = 45 \\ \frac{12 x - x}{12} & = 45 \\ 11 x & = 45 (12) \\ x & = \frac{540}{11} \leftrightarrow 49 \frac{1}{11} C o i c i d e n a l a s 9 h o r a s y 49 \frac{1}{11} m i n . \end{matrix}$
A es 10 años mayor que B y hace 15 años la edad de B era los ¾ de la de A. Hallar las edades actuales.
$\begin{matrix} x & e d a d d e B \\ x + 10 & e d a d d e A \\ x - 15 & e d a d d e B h a c e 15 a ñ o s (1) \\ (x + 10) - 15 = x - 5 & e d a d d e A h a c e 15 a ñ o s \\ \frac{3}{4} (x - 5) & e d a d d e B h a c e 15 a ñ o s (2) \\ I g u a l o l a s e c u a c i o n e s (1) y (2) \\ x - 15 & = \frac{3}{4} (x - 5) \\ 4 (x - 15) & = 3 (x - 5) \\ 4 x - 60 & = 3 x - 15 \\ 4 x - 3 x & = 60 - 15 \\ x & = 45 e d a d d e B \\ x + 10 & = 45 + 10 = 55 e d a d d e A \end{matrix}$
A y B trabajando juntos hacen una obra en 6 días. B solo puede hacerla en 10 días. ¿En cuántos días puede hacerla A?
$\begin{matrix} x & d í a s q u e p u d e h a c e r e l t r a b a j o A \\ \frac{1}{10} + \frac{1}{x} & = \frac{1}{6} \\ \frac{1}{x} & = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} \\ \frac{1}{x} & = \frac{5 - 3}{30} \\ \frac{1}{x} & = \frac{2}{} \\ \frac{1}{x} & = \frac{1}{15} \\ x & = 15 d í a s e n q u e p u e d e h a c e r e l t r a b a j o A \end{matrix}$
Dividir 650 en dos partes tales que si la mayor se divide entre 5 y la menor se disminuye en 50, los resultados sean iguales.
$\begin{matrix} x & p a r t e m a y o r \\ 650 - x & p a r t e m e n o r \\ \frac{x}{5} & = 650 - x - 50 \\ \frac{x}{5} + x & = 600 \\ \frac{x + 5 x}{5} & = 600 \\ \frac{6 x}{5} & = 600 \\ x & = \frac{5}{6} \\ x & = 500 p a r t e m a y o r \\ 650 - x & = 650 - 500 = 150 p a r t e m e n o r \end{matrix}$
La edad actual de A es ¼ de la de B; hace 10 años era 1/10. Hallar las edades actuales.
$\begin{matrix} x & e d a d d e B \\ \frac{x}{4} & e d a d d e A \\ \frac{x}{4} - 10 & = \frac{1}{10} (x - 10) \\ \frac{x}{4} - 10 & = \frac{x}{10} - 1 \\ \frac{x}{4} - \frac{x}{10} & = 10 - 1 \\ \frac{5 x - 2 x}{20} & = 9 \\ \frac{3 x}{20} & = 9 \\ x & = \frac{20}{3} \\ x & = 60 e d a d d e B \\ \frac{x}{4} & = \frac{}{4} = 15 e d a d d e A \end{matrix}$
Hallar dos números consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados exceda en 43 a 1/11 del número menor.
$\begin{matrix} x - 1 & n ú m e r o m e n o r \\ x & n ú m e r o m a y o r \\ x^{2} - {(x - 1)}^{2} - 43 & = \frac{1}{11} (x - 1) \\ x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) - 43 & = \frac{x}{11} - \frac{1}{11} \\ x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 - 43 & = \frac{x}{11} - \frac{1}{11} \\ 2 x - \frac{x}{11} - 44 & = - \frac{1}{11} \\ 2 x - \frac{x}{11} & = 44 - \frac{1}{11} \\ \frac{22 x - x}{11} & = \frac{484 - 1}{11} \\ 21 x & = 483 \\ x & = \frac{}{21} = 23 n ú m e r o m a y o r \\ x - 1 & = 23 - 1 = 22 n ú m e r o m e n o r \end{matrix}$
Un capataz contrata un obrero ofreciéndole un sueldo anual de 3000 sucres y una sortija. Al cabo de 7 meses el obrero es despedido y recibe 1500 sucres y la sortija. ¿Cuál era el valor de la sortija? $\begin{matrix} x & v a l o r d e l a s o r t i j a \\ \frac{3000 + x}{12} & = \frac{1500 + x}{7} \\ 7 (3000 + x) & = 12 (1500 + x) \\ 21000 + 7 x & = 18000 + 12 x \\ - 12 x + 7 x & = 18000 - 21000 \\ - 5 x & = - 3000 \\ x & = \frac{-}{- 5} = 600 s u c r e s e s e l v a l o r d e l a s o r t i j a \end{matrix}$
Una suma de $ 120 se reparte por partes iguales entre cierto número de personas. Si el número de personas hubiera sido 1/5 más de las que había, cada persona hubiera recibido $ 2 menos. ¿Entre cuántas personas se repartió el dinero?
$\begin{matrix} x & p e r s o n a s e n t r e l a s q u e s e r e p a r t e n l o s 120 \\ x + \frac{x}{5} = \frac{6 x}{5} & p e r s o n a s q u e h u b i e r a n r e c i b i d o e l d i n e r o \\ \frac{120}{x} - 2 & = \frac{}{\frac{6 x}{5}} \\ \frac{120}{x} & = \frac{100}{x} + 2 \\ \frac{120}{x} - \frac{100}{x} & = 2 \\ \frac{120 - 100}{x} & = 2 \\ \frac{20}{x} & = 2 \\ x & = \frac{}{2} = 10 p e r s o n a s q u e s e r e p a r t e n e l d i n e r o \end{matrix}$
Un hombre compró cierto número de libros por $ 400. Si hubiera comprado ¼ más del número de libros que compró por el mismo dinero, cada libro le habría costado $ 2 menos. ¿Cuántos libros compró y cuánto pagó por cada uno?
$\begin{matrix} x & l i b r o s q u e c o m p r o \\ \frac{400}{x} & c o s t o d e c a d a l i b r o \\ x + \frac{x}{4} = \frac{5 x}{4} & l i b r o s q u e h u b i e s e c o m p r a d o \\ \frac{400}{x} - 2 & = \frac{}{\frac{5 x}{4}} \\ \frac{400}{x} - 2 & = \frac{320}{x} \\ \frac{400}{x} - \frac{320}{x} & = 2 \\ \frac{400 - 320}{x} & = 2 \\ \frac{80}{x} & = 2 \\ x & = \frac{}{2} = 40 n ú m e r o d e l i b r o s \\ \frac{400}{x} & = \frac{}{40} = 10 c o s t o d e c a d a l i b r o \end{matrix}$
Se ha repartido cierta suma entre A, B y C. A recibió $ 30 menos que la mitad de la suma; B $ 20 más que los 3/7 de la suma y C el resto, que eran $ 30. ¿Cuánto recibieron A y B?
$\begin{matrix} x & s u m a r e p a r t i d a \\ \frac{x}{2} - 30 & s u m a r e c i b i d a p o r A \\ \frac{3 x}{7} + 20 & s u m a r e c i b i d a p o r B \\ \frac{x}{2} - 30 + \frac{3 x}{7} + 20 + 30 & = x \\ \frac{x}{2} + \frac{3 x}{7} - x & = - 20 \\ \frac{7 x + 6 x - 14 x}{14} & = - 20 \\ \frac{- x}{14} & = - 20 \\ - x & = 14 (- 20) \\ x & = 280 s u m a r e p a r t i d a \\ \frac{x}{2} - 30 & = \frac{}{2} - 30 = 140 - 30 = 110 s u m a r e c i b i d a p o r A \\ \frac{3 x}{7} + 20 & = \frac{3}{7} + 20 = 120 + 20 = 140 s u m a r e c i b i d a p o r B \end{matrix}$
Compré cierto número de libros a 5 por $ 6. Me quedé con 1/3 de los libros y vendiendo el resto a 4 libros por $ 9 gané $ 9. ¿Cuántos libros compré?
$\begin{matrix} x & l i b r o s c o m p r a d o s \\ \frac{6 x}{5} & v a l o r d e c o m p r a p o r l i b r o \\ x - \frac{x}{3} = \frac{2 x}{3} & r e s t o d e l i b r o s \\ \frac{2 x}{3} (\frac{}{}) = \frac{3}{2} x & v a l o r d e v e n t a p o r l i b r o \\ \frac{3}{2} x - \frac{6 x}{5} & = 9 \\ \frac{15 x - 12 x}{10} & = 9 \\ \frac{3 x}{10} & = 9 \\ x & = \frac{10}{3} = 10 (3) = 30 l i b r o s c o m p r a d o s \end{matrix}$
Un hombre dejó la mitad de su fortuna a sus hijos; ¼ a sus hermanos; 1/6 a un amigo y el resto, que eran 2500 colones, a un asilo. ¿Cuál era su fortuna?
$\begin{matrix} x & v a l o r d e l a f o r t u n a \\ \frac{x}{2} & v a l o r d e j a d o a s u s h i j o s \\ \frac{x}{4} & v a l o r d e j a d o a s u s h e r m a n o s \\ \frac{x}{6} & v a l o r d e j a d o a l a m i g o \\ 2500 & v a l o r d e j a d o a l a s i l o \\ \frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x}{6} + 2500 & = x \\ \frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x}{6} - x & = - 2500 \\ \frac{6 x + 3 x + 2 x - 12 x}{12} & = - 2500 \\ - \frac{x}{12} & = - 2500 \\ x & = - 12 (- 2500) \\ x & = 30000 v a l o r d e l a f o r t u n a \end{matrix}$
Un padre de familia gasta los 3/5 de su sueldo anual en atenciones de su casa; 1/8 en ropa, 1/20 en paseos y ahorra 810 balboas al año. ¿Cuál es su sueldo anual?
$\begin{matrix} x & s u e l d o a n u a l \\ \frac{3 x}{5} & g a s t o s d e c a s a \\ \frac{x}{8} & g a s t o s e n r o p a \\ \frac{x}{20} & g a s t o s p a s e o s \\ 810 & a h o r r o s \\ \frac{3 x}{5} + \frac{x}{8} + \frac{x}{20} + 810 & = x \\ \frac{3 x}{5} + \frac{x}{8} + \frac{x}{20} - x & = - 810 \\ \frac{24 x + 5 x + 2 x - 40 x}{40} & = - 810 \\ - \frac{9 x}{40} & = - 810 \\ x & = \frac{40}{- 9} \\ x & = 40 (90) \\ x & = 3600 s u e l d o a n u a l \end{matrix}$
Un hombre gastó el año antepasado los 3/8 de sus ahorros; el año pasado 5/12 de sus ahorros iniciales; este año 3/5 de lo que le quedaba y aún tiene $ 400. ¿A cuánto ascendían sus ahorros?
$\begin{matrix} x & a h o r r o s d e l h o m b r e \\ \frac{3 x}{8} & g a s t o s a ñ o a n t e p a s a d o \\ \frac{5 x}{12} & g a s t o s a ñ o a n t e r i o r \\ \frac{3}{5} (x - \frac{3 x}{8} - \frac{5 x}{12}) = \frac{3}{5} (\frac{5 x}{}) = \frac{x}{8} & g a s t o s d e e s t e a ñ o \\ x - \frac{3 x}{8} - \frac{5 x}{12} - \frac{x}{8} & = 400 \\ \frac{24 x - 9 x - 10 x - 3 x}{24} & = 400 \\ \frac{2 x}{} & = 400 \\ x & = 4800 a h o r r o s q u e t e n i a \end{matrix}$
Dividir 350 en dos partes, tales que la diferencia entre la parte menor y los 3/5 de la mayor equivalga a la diferencia entre la parte mayor y los 17/15 de la menor.
$\begin{matrix} x & p a r t e m e n o r \\ 350 - x & p a r t e m a y o r \\ x - \frac{3}{5} (350 - x) & = (350 - x) - \frac{17}{15} x \\ M u l t i p l i c o l a e c u a c i ó n p o r 15 \\ 15 x - 9 (350 - x) & = 15 (350 - x) - 17 x \\ 15 x - 3150 + 9 x & = 5250 - 15 x - 17 x \\ 24 x & = 5250 + 3150 - 32 x \\ 32 x + 24 x & = 8400 \\ 56 x & = 8400 \\ x & = \frac{}{56} \\ x & = 150 p a r t e m e n o r \\ 350 - x & = 350 - 150 = 200 p a r t e m a y o r \end{matrix}$
Se ha repartido cierta suma entre A, B y C. A recibió $ 15; B tanto como A más los 2/3 de lo que recibió C y C tanto como A y B juntos. ¿Cuál fue la suma repartida?
$\begin{matrix} x & d i n e r o r e p a r t i d o \\ $ 15 & r e c i b i o A \\ x & = A + B + C (1) \\ x & = 15 + B + C \\ x - 15 & - C = B \\ C & = A + B (2) \\ C & = 15 + B \\ C & - 15 = B r e e m p l a z o e l v a l o r d e B \\ x - 15 - C & = C - 15 \\ x & = C + C \\ C & = \frac{x}{2} \\ 15 + 15 + \frac{2}{3} (\frac{x}{2}) + \frac{x}{2} & = x \\ 30 + \frac{x}{3} + \frac{x}{2} & = x \\ \frac{x}{3} + \frac{x}{2} - x & = - 30 \\ \frac{2 x + 3 x - 6 x}{6} & = - 30 \\ - \frac{x}{6} & = - 30 \\ x & = - 6 (- 30) \\ x & = 180 s u m a r e p a r t i d a \end{matrix}$
Tengo $ 9.60 en pesos, piezas de 20 centavos y 10 centavos respectivamente. El número de piezas de 20 centavos es los ¾ del número de pesos y el número de piezas de 10 centavos es los 2/3 del número de piezas de 20 centavos. ¿Cuántas monedas de cada clase tengo?
$\begin{matrix} $ 9.60 \leftrightarrow 960 c t v s \\ x & n ú m e r o d e p e s o s \\ \frac{3}{4} x & n ú m e r o d e p i e z a s d e 20 c t v s . \\ \frac{2}{3} (\frac{3 x}{}) = \frac{x}{2} & n ú m e r o d e p i e z a s d e 10 c t v s . \\ 100 x & d i n e r o t o t a l d e l o s p e s o s e n c t v s . \\ (\frac{3}{4} x) = 15 x & d i n e r o t o t a l d e l a s m o n e d a s d e 20 c t v s . e n c e n t a v o s \\ (\frac{x}{2}) = 5 x & d i n e r o t o t a l d e l a s m o n e d a s d e 10 c t v s . e n c e n t a v o s \\ 100 x + 15 x + 5 x & = 960 \\ 120 x & = 960 \\ x & = \frac{}{120} = 8 p e s o s \\ \frac{3 x}{4} & = \frac{3}{4} = 6 p i e z a s d e 20 c t v s . \\ \frac{x}{2} & = \frac{}{2} = 4 p i e z a s d e 10 c t v s . \end{matrix}$
Un comerciante perdió el primer año 1/5 de su capital; el segundo año ganó una cantidad igual a los 3/10 de lo que le quedaba; el tercer año ganó los 3/5 de lo que tenía al terminar el segundo año y entonces tiene 13312 quetzales. ¿Cuál era su capital primitivo?
$\begin{matrix} x & c a p i t a l i n i c i a l \\ \frac{x}{5} & p e r d i d a p r i m e r a ñ o \\ \frac{3}{10} (x - \frac{x}{5}) = \frac{3}{} (\frac{x}{5}) = \frac{6 x}{25} & g a n a n c i a s e g u n d o a ñ o \\ \frac{3}{5} (x - \frac{x}{5} + \frac{6 x}{25}) = \frac{3}{5} (\frac{26 x}{25}) = \frac{78 x}{125} & g a n a n c i a t e r c e r a ñ o \\ x - \frac{x}{5} + \frac{6 x}{25} + \frac{78 x}{125} & = 13312 \\ \frac{125 x - 25 x + 30 x + 78 x}{125} & = 13312 \\ \frac{208 x}{125} & = 13312 \\ x & = \frac{125}{208} \\ x & = 125 (64) = 8000 c a p i t a l i n i c i a l \end{matrix}$
A y B tienen la misma edad. Si A tuviera 10 años menos y B 5 años más, la edad de A sería los 2/3 de la de B. Hallar la edad de A.
$\begin{matrix} x & e d a d d e A y B \\ x - 10 & e d a d d e A h a c e 10 a ñ o s \\ x + 5 & e d a d d e B e n 5 a ñ o s \\ x - 10 & = \frac{2}{3} (x + 5) \\ 3 (x - 10) & = 2 (x + 5) \\ 3 x - 30 & = 2 x + 10 \\ 3 x - 2 x & = 30 + 10 \\ x & = 40 e d a d d e A \end{matrix}$
Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que le quedan fuera 36 hombres. Entonces pone un hombre más en cada lado del cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado. ¿Cuántos hombres había en el lado del primer cuadrado y cuántos hombres hay en la tropa?
$\begin{matrix} x & c a n t i d a d d e h o m b r e s e n e l l a d o d e l p r i m e r c u a d r a d o \\ x^{2} + 36 & h o m b r e s e n l a t r o p a \\ {(x + 1)}^{2} & = x^{2} + 36 + 75 \\ x^{2} + 2 x + 1 & = x^{2} + 111 \\ 2 x & = 111 - 1 \\ x & = \frac{}{2} \\ x & = 55 h o m b r e s e n e l p r i m e r c u a d r a d o d e l a t r o p a \\ x^{2} + 36 & = {(55)}^{2} + 36 = 3061 h o m b r e s e n l a t r o p a \end{matrix}$
Gasté los 5/8 de lo que tenía y $ 20 más y me quedé con la cuarta parte de lo que tenía y $ 16 más. ¿Cuánto tenía?
$\begin{matrix} x & d i n e r o i n i c i a l \\ x - \frac{5}{8} x - 20 & = \frac{x}{4} + 16 \\ x - \frac{5}{8} x - \frac{x}{4} & = 20 + 16 \\ \frac{8 x - 5 x - 2 x}{8} & = 36 \\ \frac{x}{8} & = 36 \\ x & = 36 (8) \\ x & = 288 d i n e r o i n i c i a l \end{matrix}$
A empieza a jugar con cierta suma. Primero ganó una cantidad igual a lo que tenía al empezar a jugar, después perdió 60 lempiras; más tarde perdió 3/10 de lo que le quedaba y perdiendo nuevamente una cantidad igual a los 7/8 del dinero con que empezó a jugar, se quedó sin nada. ¿Con cuánto empezó a jugar?
$\begin{matrix} x & d i n e r o i n i c i a l \\ 2 x - 60 & l o q u e l e q u e d a b a \\ x + x - 60 - \frac{3}{10} (2 x - 60) - \frac{7}{8} x & = 0 \\ 2 x - \frac{3}{5} x + 18 - \frac{7}{8} x & = 60 \\ \frac{80 x - 24 x - 35 x}{40} & = 60 - 18 \\ \frac{21 x}{40} & = 42 \\ x & = \frac{40}{21} \\ x & = 80 \end{matrix}$
Un número de dos cifras excede en 18 a 6 veces la suma de sus cifras. Si la cifra de las decenas excede en 5 a la cifra de las unidades, ¿Cuál es el número?
$\begin{matrix} x & c i f r a u n i d a d e s \\ x + 5 & c i f r a d e c e n a s \\ 10 (x + 5) + x - 18 & = 6 (x + 5 + x) \\ 10 x + 50 + x - 18 & = 6 (2 x + 5) \\ 11 x + 32 & = 12 x + 30 \\ 11 x - 12 x & = - 32 + 30 \\ - x & = - 2 \\ x & = 2 u n i d a d e s \\ x + 5 & = 2 + 5 = 7 d e c e n a s \\ \Rightarrow 72 n ú m e r o b u s c a d o \end{matrix}$
La suma de las cifras de un número menor que 100 es 9. Si al número se le resta 27 las cifras se invierten. Hallar el número.
$\begin{matrix} x & u n i d a d e s \\ 9 - x & d e c e n a s \\ 10 (9 - x) + x - 27 & = 10 x + 9 - x \\ 90 - 10 x + x - 27 & = 9 x + 9 \\ 63 - 9 x - 9 x & = 9 \\ - 18 x & = - 63 + 9 \\ - 18 x & = - 54 \\ x & = \frac{-}{- 18} \\ x & = 3 u n i d a d e s \\ 9 - x & = 9 - 3 = 6 d e c e n a s \\ \Rightarrow 63 n ú m e r o b u s c a d o \end{matrix}$
En un puesto de frutas había cierto número de mangos. Un cliente compró 1/3 de los mangos que había más 4 mangos; otro cliente compró 1/3 de los que quedaban y 6 más, un tercer cliente compró la mitad de los que quedaban y 9 más, y se acabaron los mangos. ¿Cuántos mangos había en el puesto?
$\begin{matrix} x & n ú m e r o d e m a n g o s \\ x - \frac{1}{3} x - 4 = \frac{2 x - 12}{3} & m a n g o s q u e q u e d a b a n \\ \frac{1}{3} (\frac{2 x - 12}{3}) + 6 = \frac{2 x + 42}{9} & m a n g o s c o m p r a d o s p o r s e g u n d o c l i e n t e \\ \frac{\frac{2 x + 42}{9}}{2} + 9 = \frac{x + 102}{9} & m a n g o s c o m p r a d o s p o r t e r c e r c l i e n t e \\ x - \frac{1}{3} x - 4 - \frac{2 x + 42}{9} - \frac{x + 102}{9} & = 0 \\ M u l t i p l i c o l a e c u a c i ó n p o r 9 \\ 9 x - 3 x - 36 - 2 x - 42 - x - 102 & = 0 \\ 3 x - 180 & = 0 \\ 3 x & = 180 \\ x & = \frac{}{3} \\ x & = 60 m a n g o s \end{matrix}$
A tenía $ 80 y B $ 50. Ambos ganaron igual suma de dinero y ahora B tiene los 7/10 de lo que tiene A. ¿Cuánto ganó cada uno?
$\begin{matrix} x & d i n e r o g a n a d o d e A y B \\ 80 + x & d i n e r o d e A \\ 50 + x & d i n e r o d e B \\ \frac{7}{10} (80 + x) & = 50 + x \\ 7 (80 + x) & = 10 (50 + x) \\ 560 + 7 x & = 500 + 10 x \\ 560 - 500 & = 10 x - 7 x \\ 60 & = 3 x \\ x & = \frac{}{3} \\ x & = 20 $ g a n a r o n c a d a u n o \end{matrix}$
Compré una plumafuente y un lapicero, pagando por éste los 3/5 de lo que pagué por la pluma. Si la pluma me hubiera costado 20 cts. menos y el lapicero 30 cts. más, el precio del lapicero habría sido los 5/6 del precio de la pluma. ¿Cuánto costó la pluma y cuánto el lapicero?
$\begin{matrix} x & c o s t o p l u m a f u e n t e \\ \frac{3}{5} x & c o s t o l a p i c e r o \\ \frac{5}{6} (x - 0, 2) & = \frac{3}{5} x + 0, 3 \\ \frac{5}{6} x - \frac{5}{6} (\frac{1}{5}) & = \frac{3}{5} x + \frac{3}{10} \\ \frac{5}{6} x - \frac{3}{5} x & = \frac{3}{10} + \frac{1}{6} \\ \frac{25 x - 18 x}{30} & = \frac{9 + 5}{30} \\ 7 x & = 14 \\ x & = \frac{}{7} \\ x & = 2 c o s t o d e l a p l u m a \\ \frac{3}{5} x & = \frac{3 (2)}{5} = \frac{6}{5} = 1, 2 c o s t o l a p i c e r o \end{matrix}$
El Lunes gasté la mitad de lo que tenía y $ 2 más; el Martes la mitad de lo que me quedaba y $ 2 más; el Miércoles la mitad de lo que me quedaba y $ 2 más y me quedé sin nada. ¿Cuánto tenía el Lunes antes de gastar nada?
$\begin{matrix} x & d i n e r o i n i c i a l \\ \frac{x}{2} + 2 = \frac{x + 4}{2} & d i n e r o g a s t a d o e l l u n e s \\ x - \frac{x + 4}{2} = \frac{x - 4}{2} & l o q u e m e q u e d a \\ \frac{\frac{x - 4}{2}}{2} + 2 = \frac{x + 4}{4} & d i n e r o g a s t a d o e l m a r t e s \\ \frac{x - 4}{2} - \frac{x + 4}{4} = \frac{x - 12}{4} & l o q u e m e q u e d a \\ \frac{\frac{x - 12}{4}}{2} + 2 = \frac{x + 4}{8} & d i n e r o g a s t a d o e l m i e r c o l e s \\ \frac{x - 12}{4} - \frac{x + 4}{8} & = 0 \\ M u l t i p l i c o l a e c u a c i ó n p o r 8 \\ 2 (x - 12) - (x + 4) & = 0 \\ 2 x - 24 - x - 4 & = 0 \\ x & = 28 \end{matrix}$
Un hombre ganó el primer año de sus negocios una cantidad igual a la mitad del capital con que empezó sus negocios y gastó $ 6000; el 2º año ganó una cantidad igual a la mitad de lo que tenía y separó $ 6000 para gastos; el 3º año ganó una cantidad igual a la mitad de lo que tenía y separó $ 6000 para gastos. Si su capital es entonces de $ 32250, ¿Cuál era su capital primitivo?
$\begin{matrix} x & c a p i t a l p r i m i t i v o \\ x + \frac{x}{2} - 6000 = \frac{3 x - 12000}{2} & l o q u e t e n i a e l p r i m e r a ñ o \\ \frac{\frac{3 x - 12000}{2}}{2} - 6000 = \frac{3 x - 36000}{4} & l o q u e t e n i a e l s e g u n d o a ñ o \\ \frac{3 x - 12000}{2} + \frac{3 x - 36000}{4} = \frac{9 x - 60000}{4} & l o q u e t e n i a e n t o t a l \\ \frac{\frac{9 x - 60000}{4}}{2} - 6000 = \frac{9 x - 108000}{8} & l o q u e t e n i a e l t e r c e r a ñ o \\ \frac{9 x - 60000}{4} + \frac{9 x - 108000}{8} & = 32250 \\ M u l t i p l i c o l a e c u a c i o n p o r 8 \\ 2 (9 x - 60000) + 9 x - 108000 & = 258000 \\ 18 x - 120000 + 9 x - 108000 & = 258000 \\ 27 x & = 258000 + 228000 \\ 27 x & = 486000 \\ x & = \frac{}{27} \\ x & = 18000 $ c a p i t a l p r i m i t i v o \end{matrix}$
Un hombre compró un bastón, un sombrero y un traje. Por el bastón pagó $ 15. El sombrero y el bastón le costaron los ¾ del precio del traje y el traje y el bastón $ 5 más que el doble del sombrero. ¿Cuánto le costó cada cosa?
$\begin{matrix} 15 & c o s t o d e l b a s t ó n \\ x & c o s t o d e l t r a j e \\ S + 15 & = \frac{3}{4} x (1) \\ S & = \frac{3}{4} x - 15 \\ x + 15 - 5 & = 2 S (2) \\ R e e m p l a z o e l v a l o r d e S e n (2) \\ x + 10 & = 2 (\frac{3}{4} x - 15) \\ x + 10 & = \frac{3}{2} x - 30 \\ x - \frac{3}{2} x & = - 10 - 30 \\ \frac{2 x - 3 x}{2} & = - 40 \\ - x & = 2 (- 40) \\ x & = 80 c o s t o d e l t r a j e \\ \frac{3}{4} x - 15 & = \frac{3}{4} - 15 = 60 - 15 = 45 c o s t o d e l s o m b r e r o \end{matrix}$
Un conejo es perseguido por un perro. El conejo lleva una ventaja inicial de 50 de sus saltos al perro. El conejo da 5 saltos mientras el perro da dos, pero el perro en 3 saltos avanza tanto como el conejo en 8 saltos. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar al conejo?
$\begin{matrix} x & n ú m e r o d e s a l t o s q u e d a e l c o n e j o a n t e s d e s e r a l c a n z a d o p o r e l p e r r o \\ \frac{2}{5} x & n ú m e r o d e s a l t o s q u e d a e l p e r r o p a r a a l c a n z a r a l c o n e j o \\ \frac{2}{5} & r a z ó n e n t r e l o s s a l t o s d e l p e r r o y e l c o n e j o \\ \frac{8}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{16}{15} \\ \frac{16}{15} x & = 50 + x \\ 16 x & = 15 (50 + x) \\ 16 x & = 750 + 15 x \\ 16 x - 15 x & = 750 \\ x & = 750 \\ \frac{2}{5} x & = \frac{2}{5} = 2 (150) = 300 s a l t o s q u e d e b e r e a l i z a r e l c o n e j o \end{matrix}$
Una liebre lleva una ventaja inicial de 60 de sus saltos a un perro. La liebre da 4 saltos mientras el perro da 3, pero el perro en 5 saltos avanza tanto como la liebre en 8. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar a la liebre?
$\begin{matrix} x & n ú m e r o d e s a l t o s q u e d a e l l i e b r e a n t e s d e s e r a l c a n z a d o p o r e l p e r r o \\ \frac{3}{4} x & n ú m e r o d e s a l t o s q u e d a e l p e r r o p a r a a l c a n z a r a l a \\ \frac{3}{4} & r a z ó n e n t r e l o s s a l t o s d e l p e r r o y l a l i e b r e \\ \frac{}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{5} \\ \frac{6}{5} x & = 60 + x \\ 6 x & = 5 (60 + x) \\ 6 x & = 300 + 5 x \\ 6 x - 5 x & = 300 \\ x & = 300 \\ \frac{3}{4} x & = \frac{3}{4} = 3 (75) = 225 s a l t o s q u e d e b e r e a l i z a r e l p e r r o \end{matrix}$
A qué hora entre las 10 y las 11, está el minutero exactamente a 6 minutos del horario?

$\begin{matrix} \hat{A B} & = x \\ \hat{A C} & = 50 \\ \hat{C D} & = \frac{x}{12} \\ \hat{B D} & = 6 \\ \hat{A B} + \hat{B D} & = \hat{A C} + \hat{C D} \\ x + 6 & = 50 + \frac{x}{12} \\ x - \frac{x}{12} & = 50 - 6 \\ \frac{12 x - x}{12} & = 44 \\ \frac{11 x}{12} & = 44 \\ x & = \frac{12}{11} = 48 \Rightarrow 10 Y 48 M I N \end{matrix}$
A y B emprenden un negocio aportando B los ¾ del capital que aporta A. El primer año A pierde 1/5 de su capital y B gana 3000 bolívares; el segundo año A gana 1600 bolívares y B pierde 1/9 de su capital. Si al final del segundo año ambos socios tienen el mismo dinero, ¿Con cuánto emprendió cada uno el negocio?
$\begin{matrix} x & a p o r t e d e A \\ \frac{3}{4} x & a p o r t e d e B \\ x - \frac{x}{5} = \frac{4 x}{5} & p r i m e r a ñ o A \\ \frac{3}{4} x + 3000 & p r i m e r a ñ o B \\ \frac{4 x}{5} + 1600 & s e g u n d o a ñ o A \\ \frac{3}{4} x + 3000 - \frac{1}{9} (\frac{3}{4} x + 3000) \\ \frac{3}{4} x + 3000 - \frac{1}{12} x - \frac{1000}{3} \\ \frac{9 x - x}{12} + \frac{9000 - 1000}{3} \\ \frac{2 x}{3} + \frac{8000}{3} & s e g u n d o a ñ o B \\ \frac{4 x}{5} + 1600 & = \frac{2 x}{3} + \frac{8000}{3} \\ \frac{4 x}{5} - \frac{2 x}{3} & = \frac{8000}{3} - 1600 \\ \frac{12 x - 10 x}{15} & = \frac{8000 - 4800}{3} \\ \frac{2 x}{} & = \frac{3200}{3} \\ \frac{2 x}{5} & = 3200 \\ x & = \frac{5}{2} = 5 (1600) = 8000 a p o r t e d e A \\ \frac{3}{4} x & = \frac{3}{4} = 3 (2000) = 6000 a p o r t e d e B \end{matrix}$
Un padre tiene 60 años y sus dos hijos 16 y 14 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será igual a la suma de las edades de los dos hijos?
$\begin{matrix} 60 + x & e d a d d e l p a d r e d e n t r o d e s p u e s d e u n t i e m p o \\ 16 + x & e d a d d e l u n h i j o e n e s e t i e m p o \\ 14 + x & e d a d d e l s e g u n d o h i j o e n e s e t i e m p o \\ 60 + x & = 14 + x + 16 + x \\ 60 + x & = 30 + 2 x \\ 60 - 30 & = 2 x - x \\ x & = 30 \end{matrix}$
Un hombre que está en una ciudad dispone de 12 horas libres. ¿Qué distancia podrá recorrer hacia el campo en un auto que va a 50 km. por hora si el viaje de vuelta debe hacerlo en un caballo que anda 10 km. por hora?
$\begin{matrix} x & k m r e c o r r i d o s \\ v = \frac{d}{t} & f o r m u l a d e l a v e l o c i d a d \\ t = \frac{d}{v} \\ \frac{x}{50} + \frac{x}{10} & = 12 \\ \frac{x + 5 x}{50} & = 12 \\ \frac{6 x}{50} & = 12 \\ x & = \frac{50}{6} = 50 (2) = 100 K m \end{matrix}$
Compré un caballo, un perro y un buey. El buey costó $ 80. El perro y el buey me costaron el doble que el caballo y el caballo y el buey me costaron 6 y ½ veces lo que el perro. ¿Cuánto me costó el caballo y cuánto el perro?
$\begin{matrix} 80 & c o s t o b u e y \\ P + 80 = 2 C & (1) \\ P = 2 C - 80 \\ R e e m p l a z o e l v a l o r d e P e n (2) \\ C + 80 = \frac{13}{2} P & (2) \\ C + 80 & = \frac{13}{2} (2 C - 80) \\ 2 (C + 80) & = 13 (2 C - 80) \\ 2 C + 160 & = 26 C - 1040 \\ 160 + 1040 & = 26 C - 2 C \\ 1200 & = 24 C \\ C & = \frac{}{24} = 50 c o s t o d e l c a b a l l o \\ 2 C - 80 & = 2 (50) - 80 = 100 - 80 = 20 c o s t o d e l p e r r o \end{matrix}$