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CAPITULO XX

Funciones

Ejercicio 166

x es proporcional a y. Si x=9 cuando y = 6, hallar x cuando y = 8.
$\begin{matrix} x & = K y \\ 9 & = K 6 \\ \frac{}{} & = K \\ K & = \frac{3}{2} \\ x & = K y \\ x & = \frac{3}{2} 8 \\ x & = 12 \end{matrix}$
x es proporcional a y. Si y = 3 cuando x = 2, hallar y cuando x= 24.
$\begin{matrix} x & = K y \\ 2 & = K 3 \\ K & = \frac{2}{3} \\ x & = K y \\ 24 & = \frac{2}{3} y \\ y & = \frac{\times 3}{2} \\ y & = 36 \end{matrix}$
A es proporcional a B y C. Si A = 30 cuando B = 2 y C = 5, hallar A cuando B = 7, C = 4.
$\begin{matrix} A & = K B C \\ 30 & = K (2) (5) \\ \frac{30}{10} & = K \\ K & = 3 \\ A & = K B C \\ A & = 3 (7) (4) \\ A & = 84 \end{matrix}$
x es proporcional a y y a z. Si x = 4 cuando y = 3 y z = 6, hallar y cuando x = 1 0, z = 9.
$\begin{matrix} x & = K y z \\ 4 & = K (3) (6) \\ \frac{}{} & = K \\ K & = \frac{2}{9} \\ x & = K y z \\ 10 & = \frac{2}{9} y 9 \\ \frac{}{2} & = y \\ y & = 5 \end{matrix}$
A es inversamente proporcional a B. Si A = 3 cuando B = 5, hallar A cuando B=7.
$\begin{matrix} A & = \frac{K}{B} \\ 3 & = \frac{K}{5} \\ 3 (5) & = K \\ K & = 15 \\ A & = \frac{K}{B} \\ A & = \frac{15}{7} \leftrightarrow 2 \frac{1}{7} \end{matrix}$
B es inversamente proporcional a A. Si $A = \frac{1}{2}$ cuando $B = \frac{1}{3}$ , hallar A cuando $B = \frac{1}{12}$ .
$\begin{matrix} B & = \frac{K}{A} \\ \frac{1}{3} & = \frac{K}{\frac{1}{2}} \\ \frac{1}{3} & = 2 K \\ K & = \frac{1}{6} \\ B & = \frac{K}{A} \\ \frac{1}{12} & = \frac{\frac{1}{6}}{A} \\ \frac{1}{} & = \frac{1}{6 A} \\ A & = 2 \end{matrix}$
A es proporcional a B e inversamente proporcional a C. Si A=8 cuando B=12, C=3, hallar A cuando B= 7, C = 14.
$\begin{matrix} A & = \frac{K B}{C} \\ 8 & = \frac{K}{3} \\ \frac{}{4} & = K \\ K & = 2 \\ A & = \frac{K B}{C} \\ A & = \frac{2 \times 7}{14} \\ A & = 1 \end{matrix}$
x es proporcional a y e inversamente proporcional a z. Si x=3 cuando y=4, z=8, hallar z cuando y=7, x=10.
$\begin{matrix} x & = \frac{K y}{z} \\ 3 & = \frac{4 K}{} \\ K & = 6 \\ x & = \frac{K y}{z} \\ 10 & = \frac{7 \times 6}{z} \\ z & = \frac{}{} \\ z & = \frac{21}{5} \\ z & = 4 \frac{1}{5} \end{matrix}$
x es proporcional a $y^{2} - 1$ . Si x = 48 cuando y = 5, hallar x cuando y = 7.
$\begin{matrix} x & = K (y^{2} - 1) \\ 48 & = K (5^{2} - 1) \\ 48 & = K (25 - 1) \\ \frac{}{24} & = K \\ K & = 2 \\ x & = K (y^{2} - 1) \\ x & = 2 (7^{2} - 1) \\ x & = 2 (48) \\ x & = 96 \end{matrix}$
x es inversamente proporcional a $y^{2} - 1$ . Si x=9 cuando y=3 hallar x cuando y=5.
$\begin{matrix} x & = \frac{K}{y^{2} - 1} \\ 9 & = \frac{K}{3^{2} - 1} \\ 9 & = \frac{K}{8} \\ K & = 72 \\ x & = \frac{K}{y^{2} - 1} \\ x & = \frac{72}{5^{2} - 1} \\ x & = \frac{}{24} \\ x & = 3 \end{matrix}$
El área de un cuadrado es proporcional al cuadrado de su diagonal. Si el área es 18 $m^{2}$ cuando la diagonal es 6 m, hallar el área cuando la diagonal sea 10 m.
$\begin{matrix} A : & A r e a d e l c u a d r a d o \\ d : & D i a g o n a l \\ A & = K d^{2} \\ 18 m^{2} & = K {(6 m)}^{2} \\ \frac{18 m^{2}}{m^{2}} & = K \\ K & = \frac{1}{2} \\ A & = K d^{2} \\ A & = \frac{1}{2} {(10 m)}^{2} \\ A & = \frac{m^{2}}{2} \\ A & = 50 m^{2} \end{matrix}$
El área lateral de una pirámide regular es proporciona! a su apotema y al perímetro de la base. Si el área es 480 $m^{2}$ cuando el apotema es 12 m y el perímetro de la base 80 m, hallar el área cuando el apotema es 6 m y el perímetro de la base 40 m.
$\begin{matrix} A p : & A r e a p i r á m i d e \\ a : & a p o t e m a \\ p b : & p e r í m e t r o d e l a b a s e \\ A p & = K a p b \\ 480 m^{2} & = K (12 m) (80 m) \\ 480 m^{2} & = K (960 m^{2}) \\ \frac{480 m^{2}}{} & = K \\ K & = \frac{1}{2} \\ A p & = K a p b \\ A p & = \frac{1}{2} (6 m) (40 m) \\ A p & = 120 m^{2} \end{matrix}$
El volumen de una pirámide es proporcional a su altura y al área de su base. Si el volumen de una pirámide, cuya altura es 8 m y el área de su base 36 $m^{2}$ , es 96 $m^{3}$ , ¿cuál será el volumen de una pirá- mide cuya altura es 12 m y el área de su base 64 $m^{2}$ ?
$\begin{matrix} V p : & V o l u m e n p i r á m i d e \\ h : & A l t u r a \\ A b : & A r e a d e l a b a s e \\ V p & = K h A b \\ 96 m^{3} & = K (8 m) (36 m^{2}) \\ 96 m^{3} & = K (288 m^{3}) \\ \frac{96 m^{3}}{} & = K \\ K & = \frac{1}{3} \\ V p & = K h A b \\ V p & = \frac{1}{3} (m) (64 m^{2}) \\ V p & = 256 m^{3} \end{matrix}$
El área de un círculo es proporcional al cuadrado del radio. Si el área de un círculo de 14 cm de radio es 616 $c m^{2}$ , ¿cuál será el área de un círculo de 7 cm de radio?
$\begin{matrix} A : & á r e a c i r c u l o \\ r : & r a d i o \\ A & = K r^{2} \\ 616 c m^{2} & = K {(14 c m)}^{2} \\ \frac{}{} & = K \\ K & = \frac{22}{7} \\ A & = K r^{2} \\ A & = \frac{22}{7} (7^{2} c m^{2}) \\ A & = 154 c m^{2} \end{matrix}$
La longitud de una circunferencia es proporcional al radio. Si una circunferencia de 7 cm de radio tiene una longitud de 44 cm, ¿cuál es el radio de una circunferencia de 66 cm de longitud?
$\begin{matrix} L : & l o n g i t u d c i r c u n f e r e n c i a \\ r : & r a d i o \\ L & = K r \\ 44 c m & = K (7 c m) \\ K & = \frac{44}{7} \\ L & = K r \\ 66 c m & = \frac{44}{7} r \\ 462 c m & = 44 r \\ \frac{}{} c m & = r \\ r & = \frac{21}{2} \leftrightarrow 10 \frac{1}{2} \end{matrix}$
x es inversamente proporcional al cuadrado de y. Cuando y=6, x=4. Hallar y cuando x=9.
$\begin{matrix} x & = \frac{K}{y^{2}} \\ 4 & = \frac{K}{6^{2}} \\ 36 \times 4 & = K \\ K & = 144 \\ x & = \frac{K}{y^{2}} \\ 9 & = \frac{144}{y^{2}} \\ y^{2} & = \frac{}{9} \\ y & = \sqrt{16} \\ y & = \pm 4 \end{matrix}$