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CAPITULO XXIII

Ecuaciones indeterminadas
Resolución de una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Soluciones enteras y positivas
Ejercicio 173
Hallar todas las soluciones enteras y positivas de:
  1. x+y =5 y =5x 5x Para que sea entero positivo  1y4  siendo «y« entero x=1 y=4 x=2 y=3 x=3 y=2 x=4 y=1
  2. 2x+3y =37 2x =373y x = 373y 2 x = 36+12yy 2 x = 2 + 1 2 2 y 2 y 2 x =18y+ 1y 2 x18+y = 1y 2 1y 2 Entero Multiplico por 3 33y 2 33y 2 = 2 2 + 1 2 2 y 2 y 2 =1y+ 1y 2 Entero 1y 2 =m 1y =2m y =2m1 y =12m Reemplazo en la ecuación original 2x+3(12m ) =37 2x+36m =37 2x =373+6m x = 346m 2 x = 2 (17+3m ) 2 x =17+3m { y=12m x=17+3m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m,  tiene que tomar los siguientes valores m=0 y=1 x=17 m=1 y=3 x=14 m=2 y=5 x=11 m=3 y=7 x=8 m=4 y=9 x=5 m=5 y=11 x=2
  3. 3x+5y =43 3x =435y x = 435y 3 435y 3 = 3 + 1 3 3 y 3 2y 3 x =14y+ 12y 3 x14+y = 12y 3 12y 3 Entero Multiplico por 2 24y 3 = 2 3 3 y 3 y 3 =y+ 2y 3 2y 3 =m 2y =3m y =3m2 y =23m  Reemplazo en la ecuacion original 3x+5(23m ) =43 3x+1015m =43 3x =4310+15m 3x =33+15m x = 3 (11+5m ) 3 x =11+5m { x=11+5m y=23m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=11 y=2 m=1 x=6 y=5 m=2 x=1 y=8
  4. x+3y =9 x =93y 93y Entero Divido para 3 3y Entero 3y =m y =m3 y =3m  Reemplazo en la ecuación original x+3(3m ) =9 x+ 9 3m = 9 x =3m { y=3m x=3m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=3 y=2 m=2 x=6 y=1
  5. 7x+8y =115 7x =1158y x = 1158y 7 x = 7 + 3 7 7 y 7 y 7 x =16y+ 3y 7 3y 7 Entero Multiplico por 8 248y 7 = 24 7 7 y 7 y 7 =y+ 24y 7 24y 7 =m 24y =7m y =24+7m y =247m  Reemplazo en la ecuación original 7x+8(247m ) =115 7x+19256m =115 7x56m =77 7x =56m77 x = 7 (8m11 ) 7 x =8m11 { y=247m x=8m11 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=2 x=5 y=10 m=3 x=13 y=3
  6. 15x+7y =136 7y =13615x y = 13615x 7 y = 7 + 3 7 x 7 x 7 y =192x+ 3x 7 3x 7 Entero Multiplico por 8 248x 7 = 24 7 7 x 7 x 7 =x+ 24x 7 24x 7 =m 24x =7m x =7m24 x =247m  Reemplazo en la ecuación inicial 15(247m ) +7y =136 360105m+7y =136 7y =136360+105m 7y =224+105m y = 7 (15m32 ) 7 y =15m32 { x=247m y=15m32 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=3 x=3 y=13
  7. x+5y =24 x =245y x =24+115y x = 5 1 5 5 y 5 x+ 1 5 =5y 5y =m y =m5 y =5m  Reemplazo en la ecuación inicial x+5(5m ) =24 x+255m =24 x =5m1 { y=5m x=5m1 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=4 y=4 m=2 x=9 y=3 m=3 x=14 y=2 m=4 x=19 y=1
  8. 9x+11y =203 9x =20311y x = 20311y 9 x = 9 + 5 9 9 y 9 2y 9 x =22y+ 52y 9 52y 9 Entero Multiplico por 5 2510y 9 = 9 + 7 9 9 y 9 y 9 =2y+ 7y 9 7y 9 =m 7y =9m y =9m7 y =79m  Reemplazo en la ecuación inicial 9x+11(79m ) =203 9x+7799m =203 9x =20377+99m 9x =126+99m x = 9 (14+11m ) 9 x =14+11m { y=79m x=14+11m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=14 y=7 m=1 x=3 y=16
  9. 5x+2y =73 2y =735x y = 735x 2 y = 2 + 1 2 x 2 x 2 y =362x+ 1x 2 y36+2x = 1x 2 1x 2 =m 1x =2m x =2m1 x =12m  Reemplazo en la ecuación inicial 5(12m ) +2y =73 510m+2y =73 2y =735+10m 2y =68+10m y = 2 (34+5m ) 2 y =34+5m { x=12m y=34+5m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=1 y=34 m=1 x=3 y=29 m=2 x=5 y=24 m=3 x=7 y=19 m=4 x=9 y=14 m=5 x=11 y=9 m=6 x=13 y=4
  10. 8x+13y =162 8x =16213y x = 16213y 8 x = 8 + 2 8 y 8 5y 8 x =20y+ 25y 8 x20+y = 25y 8 25y 8 Entero Multiplico por 5 1025y 8 = 10 8 y 8 y 8 =3y+ 10y 8 10y 8 =m 10y =8m y =8m10 y =108m  Reemplazamos en la ecuación inicial 8x+13(108m ) =162 8x+130104m =162 8x =162130+104m 8x =32+104m x = 8 (4+13m ) 8 x =4+13m { y=108m x=4+13m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=4 y=10 m=1 x=17 y=2
  11. 7x+5y =104 5y =1047x y = 1047x 5 y = 5 + 4 5 5 x 5 2x 5 y =20x+ 42x 5 y20+x = 42x 5 42x 5 Entero Multiplico por 3 126x 5 = 5 + 2 5 5 x 5 x 5 =2x+ 2x 5 2x 5 =m 2x =5m x =5m2 x =25m  Reemplazo en la ecuación inicial 7(25m ) +5y =104 1435m+5y =104 5y =10414+35m 5y =90+35m y = 5 (18+7m ) 5 y =18+7m { x=125m y=18+7m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=2 y=18 m=1 x=7 y=11 m=2 x=12 y=4
  12. 10x+y =32 y =3210x y =32+2210x y = 3 0 1 0 + 2 10 x 10 y =3+ 1 5 x y 1 5 =3x 3x =m x =m3 x =3m  Reemplazo en la ecuación original 10(3m ) +y =32 3010m+y =32 y =3230+10m y =2+10m { x=3m y=2+10m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=3 y=2 m=1 x=2 y=12 m=2 x=1 y=22
  13. 9x+4y =86 4y =869x y = 869x 4 y = 4 + 2 4 x 4 x 4 y =212x+ 2x 4 y21+2x = 2x 4 2x 4 =m 2x =4m x =4m2 x =24m  Reemplazo en la ecuación inicial 9(24m ) +4y =86 1836m+4y =86 4y =8618+36m 4y =68+36 y = 4 (17+9m ) 4 y =17+9m { x=24m y=17+9m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=2 y=17 m=1 x=6 y=8
  14. 9x+11y =207 9x =20711y x = 20711y 9 x = 9 + 9 9 9 y 9 2y 9 x =22y+ 92y 9 x22+y = 92y 9 92y 9 Entero Multiplico por 5 4510y 9 = 459yy 9 = 45 9 9y 9 y 9 = 45y 9 y 45y 9 =m 45y =9m y =9m45 y =459m  Reemplazo en la ecuación inicial 9x+11(459m ) =207 9x+49599m =207 9x =207495+99m 9x =99m288 x = 9 (11m32 ) 9 x =11m32 { y=459m x=11m32 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=3 x=1 y=18 m=4 x=12 y=9
  15. 11x+12y =354 11x =35412y x = 35412y 11 x = 11 + 2 11 11 y 11 y 11 x =32y+ 2y 11 x32+y = 2y 11 2y 11 =m 2y =11m y =11m2 y =211m  Reemplazamos en la ecuación inicial 11x+12(211m ) =354 11x+24132m =354 11x =35424+132m 11x =330+132m x = 11 (30+12m ) 11 x =30+12m { y=211m x=30+12m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=30 y=2 m=1 x=18 y=13 m=2 x=6 y=24
  16. 10x+13y =294 10x =29413y x = 29413y 10 x = 29 0 1 0 + 4 10 10 y 10 3y 10 x29+y = 43y 10 43y 10 Entero Multiplico por 7 2821y 10 = 28 10 2 0 y 1 0 y 10 =2y+ 28y 10 28y 10 =m 28y =10m y =10m28 y =2810m  Reemplazo en la ecuación inicial 10x+13(2810m ) =294 10x+364130m =294 10x =294364+130m 10x =130m70 x = 10 (13m7 ) 10 x =13m7 { y=2810m x=13m7 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=6 y=18 m=2 x=19 y=8
  17. 11x+8y =300 8y =30011x y = 30011x 8 y = 8 + 4 8 3x 8 8 x 8 y =37x+ 43x 8 y37+x = 43x 8 43x 8 Entero Multiplico por 3 129x 8 = 12 8 8 x 8 x 8 = 12x 8 x 12x 8 =m 12x =8m x =8m12 x =128m  Reemplazo en la ecuación inicial 11(128m ) +8y =300 13288m+8y =300 8y =300132+88m 8y =168+88m y = 8 (21+11m ) 8 y =21+11m { x=128m y=21+11m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=12 y=21 m=1 x=4 y=32 m=1 x=20 y=10
  18. 21x+25y =705 21x =70525y x = 70525y 21 x = 21 + 12 21 21 y 21 4y 21 x =33y+ 124y 21 124y 21 Entero Multiplico por 16 19264y 21 = 192 21 21 y 21 =3y+ 192y 21 192y 21 =m 192y =21m y =21m192 y =19221m  Reemplazo en la ecuación 21x+25(19221m ) =705 21x+4800525m =705 21x =7054800+525m 21x =4095+525m x = 21 (25m195 ) 21 x =25m195 { y=19221m x=25m195 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=8 x=5 y=24 m=9 x=30 y=3
    Hallar la solución general y los tres menores pares de valores enteros positivos x e y que satisfacen las ecuaciones siguientes:
  19. 3x4y =5 3x =5+4y x = 5+4y 3 x = 2+3+3y+y 3 x = 2 3 + 3 3 + 3 y 3 + y 3 x =1+y+ 2+y 3 2+y 3 =m 2+y =3m y =3m2  Reemplazo en la ecuación inicial 3x4(3m2 ) =5 3x12m+8 =5 3x =58+12m 3x =12m3 x = 3 (4m1 ) 3 x =4m1 { y=3m2 x=4m1 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=3 y=1 m=2 x=7 y=4 m=3 x=11 y=7
  20. 5x8y =1 5x =1+8y x = 1+8y 5 1+8y 5 Entero Multiplico por 2 2+16y 5 = 2 5 + y 5 + y 5 =3y+ 2+y 5 2+y 5 =m 2+y =5m y =5m2  Reemplazo en la ecuación inicial 5x8(5m2 ) =1 5x40m+16 =1 5x =116+40m 5x =40m15 x = 5 (8m3 ) 5 x =8m3 { y=5m2 x=8m3 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=5 y=3 m=2 x=13 y=8 m=3 x=21 y=13
  21. 7x13y =43 7x =43+13y x = 43+13y 7 x = 7 + 1 7 + 7 y 7 + 6y 7 x =6+y+ 1+6y 7 x6y = 1+6y 7 1+6y 7 Entero Multiplico por 6 6+36y 7 = 6+35y+y 7 = 6 7 + y 7 + y 7 =5y+ 6+y 7 6+y 7 =m 6+y =7m y =7m6  Reemplazo en la ecuación original 7x13(7m6 ) =43 7x91m+78 =43 7x =4378+91m 7x =91m35 x = 7 (13m5 ) 7 x =13m5 { y=7m6 x=13m5 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=8 y=1 m=2 x=21 y=8 m=3 x=34 y=15
  22. 11x12y =0 11x =12y x = 12y 11 x = 11y+y 11 x = 11 y 11 + y 11 xy = y 11 y 11 =m y =11m  Reemplazo en la ecuación inicial 11x12(11m ) =0 11x132m =0 11x =132m x = m 11 x =12m { x=12m y=11m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=12 y=11 m=2 x=24 y=22 m=3 x=36 y=33
  23. 14x17y =32 14x =32+17y x = 32+17y 14 x = 28+4+14y+3y 14 x = 14 + 4 14 + 14 y 14 + 3y 14 x =2+y+ 4+3y 14 4+3y 14 Entero Multiplico por 5 20+15y 14 = 14+6+14y+y 14 = 14 14 + 6 14 + 14 y 14 + y 14 =1+y+ 6+y 14 6+y 14 =m 6+y =14m y =14m6  Reemplazo en la ecuación inicial 14x17(14m6 ) =32 14x238m+102 =32 14x =32102+238m 14x =238m70 x = 14 (17m5 ) 14 x =17m5 { y=14m6 x=17m5 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=12 y=8 m=2 x=29 y=22 m=3 x=46 y=36
  24. 7x11y =83 7x =83+11y x = 83+11y 7 x = 77+6+7y+4y 7 x = 7 + 6 7 + 7 y 7 + 4y 7 x =11+y+ 6+4y 7 x11y = 6+4y 7 6+4y 7 Entero Multiplico por 2 12+8y 7 = 7+5+7y+y 7 = 7 7 + 5 7 + 7 y 7 + y 7 =1+y+ 5+y 7 5+y 7 =m 5+y =7m y =7m5  Reemplazo en la ecuación inicial 7x11(7m5 ) =83 7x77m+55 =83 7x =8355+77m 7x =28+77m x = 7 (4+11m ) 7 x =11m+4 { y=7m5 x=11m+4 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=15 y=2 m=2 x=26 y=9 m=3 x=37 y=16
  25. 8x13y =407 8x =407+13y x = 407+13y 8 x = 400+7+8y+5y 8 x = 8 + 7 8 + 8 y 8 + 5y 8 x =50+y+ 7+5y 8 x50y = 7+5y 8 7+5y 8 Entero Multiplico por 5 35+25y 8 = 32+3+24y+y 8 = 8 + 3 8 + y 8 + y 8 =4+3y+ 3+y 8 3+y 8 =m 3+y =8m y =8m3  Reemplazo en la ecuación inicial 8x13(8m3 ) =407 8x104m+39 =407 8x =40739+104m 8x =368+104m x = 8 (13m+46 ) 8 x =13m+46 { y=8m3 x=13m+46 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=59 y=5 m=2 x=72 y=13 m=3 x=85 y=21
  26. 20y23x =411 20y =23x+411 y = 23x+411 20 y = 20x+3x+400+11 20 y = 20 x 20 + 3x 20 + x 20 + 3x 20 y =20+x+ 11+3x 20 y20x = 11+3x 20 11+3x 20 Entero Multiplico por 7 77+21x 20 = 60+17+20x+x 20 = 20 + 17 20 + 20 x 20 + x 20 =3+x+ 17+x 20 17+x 20 =m 17+x =20m x =20m17  Reemplazo en la ecuación inicial 20y23(20m17 ) =411 20y460m+391 =411 20y =411391+460m 20y =20+460m y = 20 (1+23m ) 20 y =23m+1 { x=20m17 y=23m+1 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=3 y=24 m=2 x=23 y=47 m=3 x=43 y=70
  27. 5y7x =312 5y =312+7x y = 312+7x 5 y = 310+2+5x+2x 5 y = 5 + 2 5 + 5 x 5 + 2x 5 y =62+x+ 2+2x 5 y62x = 2+2x 5 2+2x 5 Entero Multiplico por 3 6+6x 5 = 5+1+5x+x 5 = 5 5 + 1 5 + 5 x 5 + x 5 =1+x+ 1+x 5 1+x 5 =m 1+x =5m x =5m1  Reemplazo en la ecuación inicial 5y7(5m1 ) =312 5y35m+7 =312 5y =3127+35m 5y =305+35m y = 5 (7m+61 ) 5 y =7m+61 { x=5m1 y=7m+61 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=4 y=68 m=2 x=9 y=75 m=3 x=14 y=82