▶️ Ejercicio 281 álgebra - Solucionario Baldor ✅✅

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CAPITULO XXXV

Representación gráfica de las variaciones de segundo grado

Para graficar este grupo de ejercicios, se utilizara el software matemático Geogebra 6, el cual es un programa multiplataforma y cada ejercicio tendrá un link para la descarga del mismo realizado en Geogebra 6.

Ejercicio 281

Representar los siguientes trinomios y estudiar sus variaciones:

$\begin{matrix} x^{2} - 3 x + 2 \\ a = 1, b = - 3, c = 2 \\ a > 0 & \Rightarrow E s p o s i t i v a t i e n e u n v a l o r m í n i m o \\ x & = - \frac{b}{2 a} \\ x & = - \frac{- 3}{2 (1)} \\ x & = \frac{3}{2} v a l o r m í n i m o p a r a x \\ y & = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \\ y & = \frac{4 (1) (2) - {(- 3)}^{2}}{4 (1)} \\ y & = \frac{8 - 9}{4} \\ y & = - \frac{1}{4} \Rightarrow (\frac{3}{2}, - \frac{1}{4}) v a l o r m í n i m o \\ b^{2} - 4 a c & = {(- 3)}^{2} - 4 (1) (2) = 1 \Rightarrow E s p o s i t i v a l a s r a í c e s s o n r e a l e s y d e s i g u a l e s \\ x^{2} - 3 x + 2 & = 0 \\ (x - 2) (x - 1) & = 0 {\begin{matrix} x_{1} = 2 \\ x_{2} = 1 & E l t r i n o m i o e s 0 c u a n d o x t o m a e s t o s v a l o r e s \end{matrix} \\ L a p a r á b o l a c o r t a a l e j e y e n c = 2, c u n a d o x = 0 \end{matrix}$
x
y
0
2
1
0
$\frac{3}{2}$
$- \frac{1}{4}$
2
0
3
2
Descarga
$\begin{matrix} x^{2} + 3 x + 2 \\ a = 1, b = 3, c = 2 \\ a > 0 & \Rightarrow E s p o s i t i v a t i e n e u n v a l o r m í n i m o \\ x & = - \frac{b}{2 a} \\ x & = - \frac{3}{2 (1)} \\ x & = - \frac{3}{2} v a l o r m í n i m o p a r a x \\ y & = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \\ y & = \frac{4 (1) (2) - {(3)}^{2}}{4 (1)} \\ y & = \frac{8 - 9}{4} \\ y & = - \frac{1}{4} \Rightarrow (- \frac{3}{2}, - \frac{1}{4}) v a l o r m í n i m o \\ b^{2} - 4 a c & = {(3)}^{2} - 4 (1) (2) = 1 \Rightarrow E s p o s i t i v a l a s r a í c e s s o n r e a l e s y d e s i g u a l e s \\ x^{2} + 3 x + 2 & = 0 \\ (x + 2) (x + 1) & = 0 {\begin{matrix} x_{1} = - 2 \\ x_{2} = - 1 & E l t r i n o m i o e s 0 c u a n d o x t o m a e s t o s v a l o r e s \end{matrix} \\ L a p a r á b o l a c o r t a a l e j e y e n c = 2, c u n a d o x = 0 \end{matrix}$
x
y
-3
2
-2
0
$- \frac{3}{2}$
$- \frac{1}{4}$
-1
0
0
2
Descarga
$\begin{matrix} x^{2} + 3 x - 10 \\ a = 1, b = 3, c = - 10 \\ a > 0 & \Rightarrow E s p o s i t i v a t i e n e u n v a l o r m í n i m o \\ x & = - \frac{b}{2 a} \\ x & = - \frac{3}{2 (1)} \\ x & = - \frac{3}{2} v a l o r m í n i m o p a r a x \\ y & = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \\ y & = \frac{4 (1) (- 10) - {(3)}^{2}}{4 (1)} \\ y & = \frac{- 40 - 9}{4} \\ y & = - \frac{49}{4} \Rightarrow (- \frac{3}{2}, - \frac{49}{4}) v a l o r m í n i m o \\ b^{2} - 4 a c & = {(3)}^{2} - 4 (1) (- 10) = 1 \Rightarrow E s p o s i t i v a l a s r a í c e s s o n r e a l e s y d e s i g u a l e s \\ x^{2} + 3 x - 10 & = 0 \\ (x + 5) (x - 2) & = 0 {\begin{matrix} x_{1} = - 5 \\ x_{2} = 2 & E l t r i n o m i o e s 0 c u a n d o x t o m a e s t o s v a l o r e s \end{matrix} \\ L a p a r á b o l a c o r t a a l e j e y e n c = - 10, c u n a d o x = 0 \end{matrix}$
x
y
-5
0
-4
-6
$- \frac{3}{2}$
$- \frac{49}{4}$
1
-6
2
0
Descarga
$\begin{matrix} x^{2} + x - 12 \\ a = 1, b = 1, c = - 12 \\ a > 0 & \Rightarrow E s p o s i t i v a t i e n e u n v a l o r m í n i m o \\ x & = - \frac{b}{2 a} \\ x & = - \frac{1}{2 (1)} \\ x & = - \frac{1}{2} v a l o r m í n i m o p a r a x \\ y & = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \\ y & = \frac{4 (1) (- 12) - {(1)}^{2}}{4 (1)} \\ y & = \frac{- 48 - 1}{4} \\ y & = - \frac{49}{4} \Rightarrow (- \frac{1}{2}, - \frac{49}{4}) v a l o r m í n i m o \\ b^{2} - 4 a c & = {(1)}^{2} - 4 (1) (- 12) = 49 \Rightarrow E s p o s i t i v a l a s r a í c e s s o n r e a l e s y d e s i g u a l e s \\ x^{2} + x - 12 & = 0 \\ (x + 4) (x - 3) & = 0 {\begin{matrix} x_{1} = - 4 \\ x_{2} = 3 & E l t r i n o m i o e s 0 c u a n d o x t o m a e s t o s v a l o r e s \end{matrix} \\ L a p a r á b o l a c o r t a a l e j e y e n c = - 12, c u n a d o x = 0 \end{matrix}$
x
y
-5
8
-4
0
$- \frac{1}{2}$
$- \frac{49}{4}$
3
0
4
8
Descarga
$\begin{matrix} x^{2} - 2 x + 1 \\ a = 1, b = - 2, c = 1 \\ a > 0 & \Rightarrow E s p o s i t i v a t i e n e u n v a l o r m í n i m o \\ x & = - \frac{b}{2 a} \\ x & = - \frac{- 2}{2 (1)} \\ x & = 1 v a l o r m í n i m o p a r a x \\ y & = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \\ y & = \frac{4 (1) (1) - {(- 2)}^{2}}{4 (1)} \\ y & = \frac{4 - 4}{4} \\ y & = 0 \Rightarrow (1, 0) v a l o r m í n i m o \\ b^{2} - 4 a c & = {(- 2)}^{2} - 4 (1) (1) = 0 \Rightarrow E s c e r o l a s r a í c e s s o n r e a l e s e i g u a l e s \\ x^{2} - 2 x + 1 & = 0 \\ {(x - 1)}^{2} & = 0 \\ x - 1 & = 0 \\ x & = 1 E l t r i n o m i o e s 0 c u a n d o x t o m a e s t e v a l o e \\ L a p a r á b o l a c o r t a a l e j e y e n c = 1, c u n a d o x = 0 \end{matrix}$
x
y
-1
4
0
1
1
0
2
1
3
4
Descarga
$\begin{matrix} x^{2} + 4 x + 2 \\ a = 1, b = 4, c = 2 \\ a > 0 & \Rightarrow E s p o s i t i v a t i e n e u n v a l o r m í n i m o \\ x & = - \frac{b}{2 a} \\ x & = - \frac{4}{2 (1)} \\ x & = - 2 v a l o r m í n i m o p a r a x \\ y & = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \\ y & = \frac{4 (1) (2) - {(4)}^{2}}{4 (1)} \\ y & = \frac{8 - 16}{4} \\ y & = - 2 \Rightarrow (- 2, - 2) v a l o r m í n i m o \\ b^{2} - 4 a c & = {(4)}^{2} - 4 (1) (2) = 8 \Rightarrow E s p o s i t i v a l a s r a í c e s s o n r e a l e s y d e s i g u a l e s \\ x^{2} + 4 x + 2 & = 0 \\ x & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x & = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 (1) (2)}}{2 (1)} \\ x & = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2} \\ x & = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2} \\ x & = - 2 \pm \sqrt{2} \leftrightarrow {\begin{matrix} x_{1} = - 2 + \sqrt{2} \\ x_{2} = - 2 - \sqrt{2} & E l t r i n o m i o e s 0 c u a n d o x t o m a e s t o s v a l o r e s \end{matrix} \\ L a p a r á b o l a c o r t a a l e j e y e n c = 2, c u n a d o x = 0 \end{matrix}$
x
y
-4
2
$- 2 - \sqrt{2}$
0
$- 2$
$- 2$
$- 2 + \sqrt{2}$
0
0
2
Descarga
$\begin{matrix} - x^{2} - 4 x + 5 \\ a = - 1, b = - 4, c = 5 \\ a < 0 & \Rightarrow E s n e g a t i v a t i e n e u n v a l o r m á x i m o, e s d e c i r l a p a r á b o l a e s t a i n v e r t i d a \\ x & = - \frac{b}{2 a} \\ x & = - \frac{- 4}{2 (- 1)} \\ x & = - 2 v a l o r m á x i m o p a r a x \\ y & = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \\ y & = \frac{4 (- 1) (5) - {(- 4)}^{2}}{4 (- 1)} \\ y & = \frac{- 20 - 16}{- 4} \\ y & = 9 \Rightarrow (- 2, 9) v a l o r m á x i m o \\ b^{2} - 4 a c & = {(- 4)}^{2} - 4 (- 1) (5) = 36 \Rightarrow E s p o s i t i v a l a s r a í c e s s o n r e a l e s y d e s i g u a l e s \\ - x^{2} - 4 x + 5 & = 0 \\ x^{2} + 4 x - 5 & = 0 \\ (x + 5) (x - 1) & = 0 {\begin{matrix} x_{1} = - 5 \\ x_{2} = 1 & E l t r i n o m i o e s 0 c u a n d o x t o m a e s t o s v a l o r e s \end{matrix} \\ L a p a r á b o l a c o r t a a l e j e y e n c = 5, c u n a d o x = 0 \end{matrix}$
x
y
-6
7
-5
0
-2
9
1
0
2
7
Descarga
$\begin{matrix} x^{2} - 6 x + 3 \\ a = 1, b = - 6, c = 3 \\ a > 0 & \Rightarrow E s p o s i t i v a t i e n e u n v a l o r m í n i m o \\ x & = - \frac{b}{2 a} \\ x & = - \frac{- 6}{2 (1)} \\ x & = 3 v a l o r m í n i m o p a r a x \\ y & = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \\ y & = \frac{4 (1) (3) - {(- 6)}^{2}}{4 (1)} \\ y & = \frac{12 - 36}{4} \\ y & = - 6 \Rightarrow (3, - 6) v a l o r m í n i m o \\ b^{2} - 4 a c & = {(- 6)}^{2} - 4 (1) (3) = 24 \Rightarrow E s p o s i t i v a l a s r a í c e s s o n r e a l e s y d e s i g u a l e s \\ x^{2} - 6 x + 3 & = 0 \\ x & = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 (1) (3)}}{2 (1)} \\ x & = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} \\ x & = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} \\ x & = \frac{6 \pm 2 \sqrt{6}}{2} \\ x & = 3 \pm \sqrt{6} {\begin{matrix} x_{1} = 3 + \sqrt{6} \\ x_{2} = 3 - \sqrt{6} & E l t r i n o m i o e s 0 c u a n d o x t o m a e s t o s v a l o r e s \end{matrix} \\ L a p a r á b o l a c o r t a a l e j e y e n c = 3, c u n a d o x = 0 \end{matrix}$
x
y
0
3
$3 - \sqrt{6}$
0
3
-6
$3 + \sqrt{6}$
0
6
3
Descarga
$\begin{matrix} 2 x^{2} + x - 6 \\ a = 2, b = 1, c = - 6 \\ a > 0 & \Rightarrow E s p o s i t i v a t i e n e u n v a l o r m í n i m o \\ x & = - \frac{b}{2 a} \\ x & = - \frac{1}{2 (2)} \\ x & = - \frac{1}{4} v a l o r m í n i m o p a r a x \\ y & = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \\ y & = \frac{4 (2) (- 6) - {(1)}^{2}}{4 (2)} \\ y & = \frac{- 48 - 1}{8} \\ y & = - \frac{49}{8} \Rightarrow (- \frac{1}{4}, - \frac{49}{8}) v a l o r m í n i m o \\ b^{2} - 4 a c & = {(1)}^{2} - 4 (2) (- 6) = 49 \Rightarrow E s p o s i t i v a l a s r a í c e s s o n r e a l e s y d e s i g u a l e s \\ 2 x^{2} + x - 6 & = 0 \\ 2 x^{2} + 4 x - 3 x - 6 & = 0 \\ 2 x (x + 2) - 3 (x + 2) & = 0 \\ (x + 2) (2 x - 3) & = 0 {\begin{matrix} x_{1} = - 2 \\ x_{2} = \frac{3}{2} & E l t r i n o m i o e s 0 c u a n d o x t o m a e s t o s v a l o r e s \end{matrix} \\ L a p a r á b o l a c o r t a a l e j e y e n c = - 6, c u n a d o x = 0 \end{matrix}$
x
y
$- \frac{5}{2}$
4
-2
0
$- \frac{1}{4}$
$- \frac{49}{8}$
$\frac{3}{2}$
0
2
4
Descarga
$\begin{matrix} - x^{2} + 2 x + 15 \\ a = - 1, b = 2, c = 15 \\ a < 0 & \Rightarrow E s n e g a t i v a t i e n e u n v a l o r m á x i m o, l a p a r á b o l a s e a b r e h a c i a a b a j o \\ x & = - \frac{b}{2 a} \\ x & = - \frac{2}{2 (- 1)} \\ x & = 1 v a l o r m á x i m o p a r a x \\ y & = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \\ y & = \frac{4 (- 1) (15) - {(2)}^{2}}{4 (- 1)} \\ y & = \frac{- 60 - 4}{- 4} \\ y & = 16 \Rightarrow (1, 16) v a l o r m á x i m o \\ b^{2} - 4 a c & = {(2)}^{2} - 4 (- 1) (15) = 64 \Rightarrow E s p o s i t i v a l a s r a í c e s s o n r e a l e s y d e s i g u a l e s \\ - x^{2} + 2 x + 15 & = 0 \\ x^{2} - 2 x - 15 & = 0 \\ x^{2} + 3 x - 5 x - 15 & = 0 \\ x (x + 3) - 5 (x + 3) & = 0 \\ (x + 3) (x - 5) & = 0 {\begin{matrix} x_{1} = - 3 \\ x_{2} = 5 & E l t r i n o m i o e s 0 c u a n d o x t o m a e s t o s v a l o r e s \end{matrix} \\ L a p a r á b o l a c o r t a a l e j e y e n c = 15, c u n a d o x = 0 \end{matrix}$
x
y
-4
9
-3
0
1
16
5
0
6
9
Descarga
$\begin{matrix} 2 x^{2} - x - 15 \\ a = 2, b = - 1, c = - 15 \\ a > 0 & \Rightarrow E s p o s i t i v a t i e n e u n v a l o r m í n i m o \\ x & = - \frac{b}{2 a} \\ x & = - \frac{- 1}{2 (2)} \\ x & = \frac{1}{4} v a l o r m í n i m o p a r a x \\ y & = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \\ y & = \frac{4 (2) (- 15) - {(- 1)}^{2}}{4 (2)} \\ y & = \frac{- 120 - 1}{8} \\ y & = - \frac{1}{4} \Rightarrow (- \frac{1}{4}, - \frac{121}{8}) v a l o r m í n i m o \\ b^{2} - 4 a c & = {(- 1)}^{2} - 4 (2) (- 15) = 121 \Rightarrow E s p o s i t i v a l a s r a í c e s s o n r e a l e s y d e s i g u a l e s \\ 2 x^{2} - x - 15 & = 0 \\ 2 x^{2} - 6 x + 5 x - 15 & = 0 \\ 2 x (x - 3) + 5 (x - 3) & = 0 \\ (x - 3) (2 x + 5) & = 0 {\begin{matrix} x_{1} = 3 \\ x_{2} = - \frac{5}{2} & E l t r i n o m i o e s 0 c u a n d o x t o m a e s t o s v a l o r e s \end{matrix} \\ L a p a r á b o l a c o r t a a l e j e y e n c = 15, c u n a d o x = 0 \end{matrix}$
x
y
-3
6
$- \frac{5}{2}$
0
$- \frac{1}{4}$
$- \frac{121}{8}$
3
0
$\frac{7}{2}$
6
Descarga
$\begin{matrix} - 3 x^{2} + 7 x + 20 \\ a = - 3, b = 7, c = 22 \\ a < 0 & \Rightarrow E s n e g a t i v a t i e n e u n v a l o r m á x i m o, e s d e c i r l a p a r á b o l a s e a b r e h a c i a a b a j o \\ x & = - \frac{b}{2 a} \\ x & = - \frac{7}{2 (- 3)} \\ x & = \frac{7}{6} v a l o r m í n i m o p a r a x \\ y & = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \\ y & = \frac{4 (- 3) (22) - {(7)}^{2}}{4 (- 3)} \\ y & = \frac{- 264 - 49}{- 12} \\ y & = \frac{313}{12} \Rightarrow (\frac{7}{6}, \frac{313}{12}) v a l o r m í n i m o \\ b^{2} - 4 a c & = {(7)}^{2} - 4 (- 3) (22) = 313 \Rightarrow E s p o s i t i v a l a s r a í c e s s o n r e a l e s y d e s i g u a l e s \\ - 3 x^{2} + 7 x + 20 & = 0 \\ 3 x^{2} - 7 x - 20 & = 0 \\ 3 x^{2} - 12 x + 5 x - 20 & = 0 \\ 3 x (x - 4) + 5 (x - 4) & = 0 \\ (x - 4) (3 x + 5) & = 0 {\begin{matrix} x_{1} = 4 \\ x_{2} = - \frac{5}{3} & E l t r i n o m i o e s 0 c u a n d o x t o m a e s t o s v a l o r e s \end{matrix} \\ L a p a r á b o l a c o r t a a l e j e y e n c = 20, c u n a d o x = 0 \end{matrix}$
x
y
-2
-6
$- \frac{5}{3}$
0
$\frac{7}{6}$
$\frac{313}{12}$
4
0
$\frac{39}{9}$
-6
Descarga

x	y
0	2
1	0
$\frac{3}{2}$	$- \frac{1}{4}$
2	0
3	2

x	y
-3	2
-2	0
$- \frac{3}{2}$	$- \frac{1}{4}$
-1	0
0	2

x	y
-5	0
-4	-6
$- \frac{3}{2}$	$- \frac{49}{4}$
1	-6
2	0

x	y
-5	8
-4	0
$- \frac{1}{2}$	$- \frac{49}{4}$
3	0
4	8