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CAPITULO XXXVII

Progresiones

Ejercicio 289

Interpolar:

3 medios aritméticos entre 3 y 11
$\begin{matrix} \div 3………11 \\ S e a : u = 11, a = 3, n = 5 \\ E n c o n t r a m o s l a r a z ó n d e l a s e r i e \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{11 - 3}{5 - 1} \\ r & = \frac{}{4} = 2 \\ S u m a m o s l a r a z ó n p a r a o b t e n e r l o s t é r m i n o s d e l a s e r i e \\ 2 ° & = 3 + 2 = 5 \\ 3 ° & = 5 + 2 = 7 \\ 4 ° & = 7 + 2 = 9 \\ \div 3, 5, 7, 9, 11 \end{matrix}$
7 medios aritméticos entre 19 y -5
$\begin{matrix} \div 19……… - 5 \\ S e a : u = - 5, a = 19, n = 9 \\ E n c o n t r a m o s l a r a z ó n d e l a s e r i e \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{- 5 - 19}{9 - 1} \\ r & = \frac{-}{8} = - 3 \\ S u m a m o s l a r a z ó n p a r a o b t e n e r l o s t é r m i n o s d e l a s e r i e \\ 2 ° & = 19 - 3 = 16 \\ 3 ° & = 16 - 3 = 13 \\ 4 ° & = 13 - 3 = 10 \\ 5 ° & = 10 - 3 = 7 \\ 6 ° & = 7 - 3 = 4 \\ 7 ° & = 4 - 3 = 1 \\ 8 ° & = 1 - 3 = - 2 \\ \div 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1, - 2, - 5 \end{matrix}$
5 medios aritméticos entre -13 y -73
$\begin{matrix} \div - 13……… - 73 \\ S e a : u = - 73, a = - 13, n = 7 \\ E n c o n t r a m o s l a r a z ó n d e l a s e r i e \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{- 73 - (- 13)}{7 - 1} \\ r & = \frac{- 73 + 13}{6} \\ r & = \frac{-}{6} = - 10 \\ S u m a m o s l a r a z ó n p a r a o b t e n e r l o s t é r m i n o s d e l a s e r i e \\ 2 ° & = - 13 - 10 = - 23 \\ 3 ° & = - 23 - 10 = - 33 \\ 4 ° & = - 33 - 10 = - 43 \\ 5 ° & = - 43 - 10 = - 53 \\ 6 ° & = - 53 - 10 = - 63 \\ \div - 13, - 23, - 33, - 43, - 53, - 63, - 73 \end{matrix}$
4 medios aritméticos entre -42 y 53
$\begin{matrix} \div - 42………53 \\ S e a : u = 53, a = - 42, n = 6 \\ E n c o n t r a m o s l a r a z ó n d e l a s e r i e \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{53 - (- 42)}{6 - 1} \\ r & = \frac{53 + 42}{5} \\ r & = \frac{}{5} = 19 \\ S u m a m o s l a r a z ó n p a r a o b t e n e r l o s t é r m i n o s d e l a s e r i e \\ 2 ° & = - 42 + 19 = - 23 \\ 3 ° & = - 23 + 19 = - 4 \\ 4 ° & = - 4 + 19 = 15 \\ 5 ° & = 15 + 19 = 34 \\ \div - 42, - 23, - 4, 15, 34 \end{matrix}$
5 medios aritméticos entre -81 y -9
$\begin{matrix} \div - 81……… - 9 \\ S e a : u = - 9, a = - 81, n = 7 \\ E n c o n t r a m o s l a r a z ó n d e l a s e r i e \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{- 9 - (- 81)}{7 - 1} \\ r & = \frac{- 9 + 81}{6} \\ r & = \frac{}{6} = 12 \\ S u m a m o s l a r a z ó n p a r a o b t e n e r l o s t é r m i n o s d e l a s e r i e \\ 2 ° & = - 81 + 12 = - 69 \\ 3 ° & = - 69 + 12 = - 57 \\ 4 ° & = - 57 + 12 = - 45 \\ 5 ° & = - 45 + 12 = - 33 \\ 6 ° & = - 33 + 12 = - 21 \\ \div - 81, - 69, - 57, - 45, - 33, - 21, - 9 \end{matrix}$
3 medios aritméticos entre 1 y 3
$\begin{matrix} \div 1………3 \\ S e a : u = 3, a = 1, n = 5 \\ E n c o n t r a m o s l a r a z ó n d e l a s e r i e \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{3 - 1}{5 - 1} \\ r & = \frac{2}{} = \frac{1}{2} \\ S u m a m o s l a r a z ó n p a r a o b t e n e r l o s t é r m i n o s d e l a s e r i e \\ 2 ° & = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \\ 3 ° & = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \\ 4 ° & = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \\ \div 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, 3 \leftrightarrow \div 1, 1 \frac{1}{2}, 2, 2 \frac{1}{2}, 3 \end{matrix}$
4 medios aritméticos entre 5 y 12
$\begin{matrix} \div 5………12 \\ S e a : u = 12, a = 5, n = 6 \\ E n c o n t r a m o s l a r a z ó n d e l a s e r i e \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{12 - 5}{6 - 1} \\ r & = \frac{7}{5} \\ S u m a m o s l a r a z ó n p a r a o b t e n e r l o s t é r m i n o s d e l a s e r i e \\ 2 ° & = 5 + \frac{7}{5} = \frac{32}{5} \\ 3 ° & = \frac{32}{5} + \frac{7}{5} = \frac{39}{5} \\ 4 ° & = \frac{39}{5} + \frac{7}{5} = \frac{46}{5} \\ 5 ° & = \frac{46}{5} + \frac{7}{5} = \frac{53}{5} \\ \div 5, \frac{32}{5}, \frac{39}{5}, \frac{46}{5}, \frac{53}{5}, 12 \leftrightarrow \div 5, 6 \frac{2}{5}, 7 \frac{4}{5}, 9 \frac{1}{5}, 10 \frac{3}{5}, 12 \end{matrix}$
5 medios aritméticos entre -4 y 3
$\begin{matrix} \div - 4………3 \\ S e a : u = 3, a = - 4, n = 7 \\ E n c o n t r a m o s l a r a z ó n d e l a s e r i e \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{3 - (- 4)}{7 - 1} \\ r & = \frac{3 + 4}{6} \\ r & = \frac{7}{6} \\ S u m a m o s l a r a z ó n p a r a o b t e n e r l o s t é r m i n o s d e l a s e r i e \\ 2 ° & = - 4 + \frac{7}{6} = - \frac{17}{6} \\ 3 ° & = - \frac{17}{6} + \frac{7}{6} = - \frac{5}{3} \\ 4 ° & = - \frac{5}{3} + \frac{7}{6} = - \frac{1}{2} \\ 5 ° & = - \frac{1}{2} + \frac{7}{6} = \frac{2}{3} \\ 6 ° & = \frac{2}{3} + \frac{7}{6} = \frac{11}{6} \\ \div - 4, - \frac{17}{6}, - \frac{5}{3}, - \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{11}{6}, 3 \leftrightarrow \div - 4, - 2 \frac{5}{6}, - 1 \frac{2}{3}, - \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 1 \frac{5}{6}, 3 \end{matrix}$
5 medios aritméticos entre $\frac{3}{4} y \frac{1}{8}$
$\begin{matrix} \div \frac{3}{4} ……… \frac{1}{8} \\ S e a : u = \frac{1}{8}, a = \frac{3}{4}, n = 7 \\ E n c o n t r a m o s l a r a z ó n d e l a s e r i e \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{\frac{1}{8} - \frac{3}{4}}{7 - 1} \\ r & = \frac{- \frac{5}{8}}{6} \\ r & = - \frac{5}{48} \\ S u m a m o s l a r a z ó n p a r a o b t e n e r l o s t é r m i n o s d e l a s e r i e \\ 2 ° & = \frac{3}{4} - \frac{5}{48} = \frac{31}{48} \\ 3 ° & = \frac{31}{48} - \frac{5}{48} = \frac{13}{24} \\ 4 ° & = \frac{13}{24} - \frac{5}{48} = \frac{7}{16} \\ 5 ° & = \frac{7}{16} - \frac{5}{48} = \frac{1}{3} \\ 6 ° & = \frac{1}{3} - \frac{5}{48} = \frac{11}{48} \\ \div \frac{3}{4}, \frac{31}{48}, \frac{13}{24}, \frac{7}{16}, \frac{1}{3}, \frac{11}{38}, \frac{1}{8} \end{matrix}$
6 medios aritméticos entre -1 y 3
$\begin{matrix} \div - 1………3 \\ S e a : u = 3, a = - 1, n = 8 \\ E n c o n t r a m o s l a r a z ó n d e l a s e r i e \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{3 - (- 1)}{8 - 1} \\ r & = \frac{3 + 1}{7} \\ r & = \frac{4}{7} \\ S u m a m o s l a r a z ó n p a r a o b t e n e r l o s t é r m i n o s d e l a s e r i e \\ 2 ° & = - 1 + \frac{4}{7} = - \frac{3}{7} \\ 3 ° & = - \frac{3}{7} + \frac{4}{7} = \frac{1}{7} \\ 4 ° & = \frac{1}{7} + \frac{4}{7} = \frac{5}{7} \\ 5 ° & = \frac{5}{7} + \frac{4}{7} = \frac{9}{7} \\ 6 ° & = \frac{9}{7} + \frac{4}{7} = \frac{13}{7} \\ 7 ° & = \frac{13}{7} + \frac{4}{7} = \frac{17}{7} \\ \div - 1, - \frac{3}{7}, \frac{1}{7}, \frac{5}{7}, \frac{9}{7}, \frac{13}{7}, \frac{17}{7}, 3 \leftrightarrow \div - 1, - \frac{3}{7}, \frac{1}{7}, \frac{5}{7}, 1 \frac{2}{7}, 1 \frac{6}{7}, 2 \frac{3}{7}, 3 \end{matrix}$
5 medios aritméticos entre $\frac{2}{3} y - \frac{1}{8}$
$\begin{matrix} \div \frac{2}{3} ……… - \frac{1}{8} \\ S e a : u = - \frac{1}{8}, a = \frac{2}{3}, n = 7 \\ E n c o n t r a m o s l a r a z ó n d e l a s e r i e \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{- \frac{1}{8} - \frac{2}{3}}{7 - 1} \\ r & = \frac{- \frac{19}{24}}{6} \\ r & = - \frac{19}{144} \\ S u m a m o s l a r a z ó n p a r a o b t e n e r l o s t é r m i n o s d e l a s e r i e \\ 2 ° & = \frac{2}{3} - \frac{19}{144} = \frac{77}{144} \\ 3 ° & = \frac{77}{144} - \frac{19}{144} = \frac{29}{72} \\ 4 ° & = \frac{29}{72} - \frac{19}{144} = \frac{13}{48} \\ 5 ° & = \frac{13}{48} - \frac{19}{144} = \frac{5}{36} \\ 6 ° & = \frac{5}{36} - \frac{19}{144} = \frac{1}{144} \\ \div \frac{2}{3}, \frac{77}{144}, \frac{29}{72}, \frac{13}{48}, \frac{5}{36}, \frac{1}{144}, - \frac{1}{8} \end{matrix}$
7 medios aritméticos entre -2 y -5
$\begin{matrix} \div - 2……… - 5 \\ S e a : u = - 5, a = - 2, n = 9 \\ E n c o n t r a m o s l a r a z ó n d e l a s e r i e \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{- 5 - (- 2)}{9 - 1} \\ r & = \frac{- 5 + 2}{8} \\ r & = - \frac{3}{8} \\ S u m a m o s l a r a z ó n p a r a o b t e n e r l o s t é r m i n o s d e l a s e r i e \\ 2 ° & = - 2 - \frac{3}{8} = - \frac{19}{8} \\ 3 ° & = - \frac{19}{8} - \frac{3}{8} = - \frac{11}{4} \\ 4 ° & = - \frac{11}{4} - \frac{3}{8} = - \frac{25}{8} \\ 5 ° & = - \frac{25}{8} - \frac{3}{8} = - \frac{7}{2} \\ 6 ° & = - \frac{7}{2} - \frac{3}{8} = - \frac{31}{8} \\ 7 ° & = - \frac{31}{8} - \frac{3}{8} = - \frac{17}{4} \\ 8 ° & = - \frac{17}{4} - \frac{3}{8} = - \frac{37}{8} \\ \div - 2, - \frac{19}{8}, - \frac{11}{4}, - \frac{25}{8}, - \frac{7}{2}, - \frac{31}{8}, - \frac{17}{4}, - \frac{37}{8}, - 5 \\ ⇕ \\ \div - 2, - 2 \frac{3}{8}, - 2 \frac{3}{4}, - 3 \frac{1}{8}, - 3 \frac{1}{2}, - 3 \frac{7}{8}, - 4 \frac{1}{4}, - 4 \frac{5}{8}, - 5 \end{matrix}$
5 medios aritméticos entre $\frac{1}{2} y - \frac{7}{10}$
$\begin{matrix} \div \frac{1}{2} ……… - \frac{7}{10} \\ S e a : u = - \frac{7}{10}, a = \frac{1}{2}, n = 7 \\ E n c o n t r a m o s l a r a z ó n d e l a s e r i e \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{- \frac{7}{10} - \frac{1}{2}}{7 - 1} \\ r & = \frac{- \frac{6}{5}}{6} \\ r & = - \frac{1}{5} \\ S u m a m o s l a r a z ó n p a r a o b t e n e r l o s t é r m i n o s d e l a s e r i e \\ 2 ° & = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10} \\ 3 ° & = \frac{3}{10} - \frac{1}{5} = \frac{1}{10} \\ 4 ° & = \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = - \frac{1}{10} \\ 5 ° & = - \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = - \frac{3}{10} \\ 6 ° & = - \frac{3}{10} - \frac{1}{5} = - \frac{1}{2} \\ \div \frac{1}{2}, \frac{3}{10}, \frac{1}{10}, - \frac{1}{10}, - \frac{3}{10}, - \frac{1}{2}, - \frac{7}{10} \end{matrix}$

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