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CAPITULO XXXVII

Progresiones Geométricas

Ejercicio 292

La razón de una progresión geométrica es $\frac{1}{2}$ y el 7° término $\frac{1}{64}$ . Hallar el primer término.
$\begin{matrix} S e a : \\ r = \frac{1}{2}, u = \frac{1}{64}, n = 7 \\ a & = \frac{u}{r^{n - 1}} \\ a & = \frac{\frac{1}{64}}{{(\frac{1}{2})}^{7 - 1}} \\ a & = \frac{\frac{1}{64}}{{(\frac{1}{2})}^{7 - 1}} \\ a & = \frac{\frac{1}{63}}{\frac{1}{2^{6}}} \\ a & = \\ a & = 1 \end{matrix}$
El 9° término de una progresión geométrica es $\frac{64}{2187}$ y la razón es $\frac{2}{3}$ . Hallar el primer término.
$\begin{matrix} S e a : \\ r = \frac{2}{3}, u = \frac{64}{2187}, n = 9 \\ a & = \frac{u}{r^{n - 1}} \\ a & = \frac{\frac{64}{2187}}{{(\frac{2}{3})}^{9 - 1}} \\ a & = \frac{\frac{64}{2187}}{{(\frac{2}{3})}^{8}} \\ a & = \frac{\frac{2^{6}}{3^{7}}}{\frac{2^{8}}{3^{8}}} \\ a & = \frac{2^{6} . 3^{8}}{2^{} . 3^{7}} \\ a & = \frac{3}{2^{2}} \\ a & = \frac{3}{4} \end{matrix}$
El 5° término de una progresión geométrica es $\frac{16}{125}$ y el 6° término $\frac{32}{625}$ . Hallar el 1° término.
$\begin{matrix} S e a : \\ r = \frac{}{} . \frac{125}{16} = \frac{2}{5} \\ u = \frac{32}{625} \\ n = 6 \\ a & = \frac{u}{r^{n - 1}} \\ a & = \frac{\frac{32}{625}}{{(\frac{2}{5})}^{6 - 1}} \\ a & = \frac{\frac{2^{5}}{5^{4}}}{{(\frac{2}{5})}^{5}} \\ a & = \frac{\frac{2^{5}}{5^{4}}}{\frac{2^{5}}{5^{5}}} \\ a & = \frac{2^{5} . 5^{5}}{5^{4} . 2^{5}} \\ a & = 5 \end{matrix}$
Hallar la razón de $\div \div 2 : ……. : 64$ de 6 términos.
$\begin{matrix} S e a : \\ a = 2, u = 64, n = 6 \\ r & = \sqrt[n - 1]{\frac{u}{a}} \\ r & = \sqrt[6 - 1]{\frac{}{2}} \\ r & = \sqrt[5]{\frac{}{2}} \\ r & = \sqrt[5]{2^{5}} \\ r & = 2 \end{matrix}$
Hallar la razón de $\div \div \frac{1}{3} : ……. : 243$ de 7 términos.
$\begin{matrix} S e a : \\ a = \frac{1}{3}, u = 243, n = 7 \\ r & = \sqrt[n - 1]{\frac{u}{a}} \\ r & = \sqrt[7 - 1]{\frac{243}{\frac{1}{3}}} \\ r & = \sqrt[6]{729} \\ r & = \sqrt[6]{3^{6}} \\ r & = \pm 3 \end{matrix}$
Hallar la razón de $\div \div - 5 : ……. : 640$ de 8 términos.
$\begin{matrix} S e a : \\ a = - 5, u = 640, n = 8 \\ r & = \sqrt[n - 1]{\frac{u}{a}} \\ r & = \sqrt[8 - 1]{\frac{}{- 5}} \\ r & = \sqrt[7]{- 128} \\ r & = \sqrt[7]{- 2^{7}} \\ r & = - 2 \end{matrix}$
Hallar la razón de $\div \div \frac{729}{2} : ……. : \frac{3}{2}$ de 6 términos.
$\begin{matrix} S e a : \\ a = \frac{729}{2}, u = \frac{3}{2}, n = 6 \\ r & = \sqrt[n - 1]{\frac{u}{a}} \\ r & = \sqrt[6 - 1]{\frac{\frac{3}{2}}{\frac{}{2}}} \\ r & = \sqrt[5]{\frac{1}{243}} \\ r & = \sqrt[5]{\frac{1}{3^{5}}} \\ r & = \frac{1}{3} \end{matrix}$
Hallar la razón de $\div \div 8 : ……. : \frac{1}{512}$ de 7 términos.
$\begin{matrix} S e a : \\ a = 8, u = \frac{1}{512}, n = 7 \\ r & = \sqrt[n - 1]{\frac{u}{a}} \\ r & = \sqrt[7 - 1]{\frac{\frac{1}{512}}{8}} \\ r & = \sqrt[6]{\frac{1}{4096}} \\ r & = \sqrt[6]{\frac{1}{4^{6}}} \\ r & = \pm \frac{1}{4} \end{matrix}$
Hallar la razón de $\div \div \frac{625}{16} : ……. : 1$ de 5 términos.
$\begin{matrix} S e a : \\ a = \frac{625}{16}, u = 1, n = 5 \\ r & = \sqrt[n - 1]{\frac{u}{a}} \\ r & = \sqrt[5 - 1]{\frac{1}{\frac{625}{16}}} \\ r & = \sqrt[4]{\frac{16}{625}} \\ r & = \sqrt[4]{\frac{2^{4}}{5^{4}}} \\ r & = \pm \frac{2}{5} \end{matrix}$
El 8° término de una progresión geométrica es $- \frac{2}{81}$ y el 1° término es $\frac{27}{64}$ . Hallar la razón.
$\begin{matrix} S e a : \\ a = \frac{27}{64}, u = - \frac{2}{81}, n = 8 \\ r & = \sqrt[n - 1]{\frac{u}{a}} \\ r & = \sqrt[8 - 1]{\frac{- \frac{2}{81}}{\frac{27}{64}}} \\ r & = \sqrt[7]{- \frac{2. 2^{6}}{3^{4} . 3^{3}}} \\ r & = \sqrt[7]{- \frac{2^{7}}{3^{7}}} \\ r & = - \frac{2}{3} \end{matrix}$