Ejercicio 275

CAPITULO XXXIV

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES
DE SEGUNDO GRADO
Ejercicio 275
  1. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados 53. Hallar los números.
    x:  número mayor y:  número menor { x+y=9 x 2 + y 2 =53 { x=9y ( 1 ) x 2 + y 2 =53 ( 2 ) Reemplazo ( 1 )  en ( 2 ) x 2 + y 2 =53 (9y ) 2 + y 2 =53 8118y+ y 2 + y 2 53 =0 2 y 2 18y+28 =0 y 2 9y+14 =0 (y7 ) (y2 ) =0 y 1 7 =0 y 1 =7 y 2 2 =0 y 2 =2 Reemplazo el valor de  y 1 en ( 1 )  para obtener en valor de  x 1 x 1 =9 y 1 x 1 =97 x 1 =2 Reemplazo el valor de  y 2 en ( 1 )  para obtener en valor de  x 2 x 2 =9 y 2 x 2 =92 x 2 =7 Sol.{ x 1 =2 y 1 =7 x 2 =7 y 2 =2
  2. Un número positivo es los 3/5 de otro y su producto es 2160. Hallar los números.
    x:  primer número positivo y:  segundo número positivo { y= 3 5 x ( 1 ) xy=2160 ( 2 ) Reemplazo el valor de ( 1 )  en ( 2 ) xy =2160 x( 3 5 x ) =2160 3 5 x 2 =2160 x 2 = ( 5 ) 3 x 2 =3600 x = 3600 x =60 Reemplazo el valor de x en ( 1 ) y = 3 5 x y = 3 5 y =36 Sol.{ x=60 y=36
  3. A tiene 3 años más que B y el cuadrado de la edad de A aumentado en el cuadrado de la edad de B equivale a 317 años. Hallar ambas edades.
    x:  edad de A y:  edad de B { x+3=y ( 1 ) x 2 + y 2 =317 ( 2 ) Reemplazo el valor de ( 1 )  en ( 2 ) x 2 + y 2 =317 x 2 + (x+3 ) 2 =317 x 2 + x 2 +6x+9317 =0 2 x 2 +6x308 =0 x 2 +3x154 =0 (x11 ) (x+14 ) =0 x 1 +14 =0 x 1 =14 x 2 11 =0 x =11  este es el valor que tomo puesto que no hay edades negativas Reemplazo el valor de x en ( 1 )  para obtener el valor de y x+3 =y 11+3 =y y =14 Sol.{ x=11 edad de A y=14 edad de B
  4. Un número es el triplo de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los números.
    x:  número mayor y:  número menor { x=3y ( 1 ) x 2 y 2 =1800 ( 2 ) Reemplazo el valor de ( 1 )  en ( 2 ) (3y ) 2 y 2 =1800 9 y 2 y 2 =1800 8 y 2 =1800 y 2 = 8 y 2 =225 y = 225 y =15 Reemplazo el valor de y en ( 1 ) x =3y x =3( 15 ) x =45 Sol.{ x=45 y=15
  5. El cuadrado de un número disminuido es 9 equivale a 8 veces el exceso del número sobre 2. Hallar el número.
    x:  número buscado x 2 9 =8(x2 ) x 2 9 =8x16 x 2 98x+16 =0 x 2 8x+7 =0 (x1 ) (x7 ) =0 x 1 1 =0 x 1 =1 x 2 7 =0 x 2 =7 Sol.{ x 1 =1 x 2 =7
  6. Hallar dos números consecutivos tales que el cuadrado del mayor exceda en 57 al triplo del menor.
    x+1:  número mayor x:  número menor (x+1 ) 2 57 =3x x 2 +2x+157 =3x x 2 +2x3x+157 =0 x 2 x56 =0 (x8 ) (x+7 ) =0 x 1 +7 =0 x 1 =7 x 2 8 =0 x =8  tomo el número positivoo puesto que si fuese el negativo no cumple con el enuncuado del problema Reemplazo el valor de y en ( 1 ) x =8 x+1 =9 Sol.{ 8 número menor 9 número mayor
  7. La longitud de una sala excede a su ancho en 4m. si cada dimensión se aumenta en 4 m el área será doble. Hallar las dimensiones de la sala. x+4:  longitud de la sala x:  ancho de la sala Area =x(x+4 ) (x+8 )(x+4 ) =2x (x+4 ) x+8 =2x 8 =2xx x =8 x+4 =8+4=12 Sol.{ 8 ancho de la sala 12 largo de la sala
  8. Un comerciante compró cierto número de sacos de azúcar por 1000 bolívares. Si hubiera comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 5 bolívares menos, ¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno?
    x:  número de sacos de azúcar y:  precio de cada saco { xy=1000 (x+10 ) (y5 ) =1000 { x= 1000 y ( 1 ) (x+10 ) (y5 ) =1000 ( 2 ) Reemplazo el valor de ( 1 )  en ( 2 ) (x+10 ) (y5 ) =1000 ( 1000 y +10 ) (y5 ) =1000 1000 5000 y +10y50 = 1000 10 y 2 5000 y =50 10 y 2 50y5000 =0 y 2 5y500 =0 (y25 ) (y+20 ) =0 y 1 +20 =0 y 1 =20  descarto este valor puesto que no hay precios negativos en una compra y25 =0 y =25 Reemplazo el valor de y en ( 1 ) x = 1000 y x = 25 x =40 Sol.{ x=40 número de sacos de azúcar y=25 costo de cada saco
  9. Un caballo costó 4 veces lo que sus arreos y la suma de los cuadrados del precio del caballo y el precio de los arreos es 860625 sucres. ¿Cuánto costó el caballo y cuánto los arreos?
    x:  costo del caballo y:  costo de los arreros { x=4y ( 1 ) x 2 + y 2 =860625 ( 2 ) Reemplazo el valor de ( 1 )  en ( 2 ) x 2 + y 2 =860625 (4y ) 2 + y 2 =860625 16 y 2 + y 2 =860625 17 y 2 =860625 y 2 = 17 y 2 =50625 y = 50625 y =225 Reemplazo el valor de y en ( 1 ) x =4y x =4( 225 ) x =900 Sol.{ x=900 costo del caballo y=225 costo de los arrieros
  10. La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 184. Hallar los números.
    x:  número mayor y:  número menor { xy=7 (x+y ) y=184 { x=7+y ( 1 ) (x+y ) y=184 ( 2 ) Reemplazo ( 1 )  en ( 2 ) (x+y ) y =184 (7+y+y ) y =184 (7+2y ) y =184 7y+2 y 2 =184 2 y 2 +7y184 =0 2 y 2 16y+23y184 =0 2y(y8 ) +23(y8 ) =0 (2y+23 ) (y8 ) =0 2 y 1 +23 =0 y 1 = 23 2  descarto el número negativo puesto que cumpliria con la ecuación y8 =0 y =8 Reemplazo el valor de y en ( 1 ) x =7+y x =7+8 x =15 Sol.{ x=15 y=8
  11. La suma de las edades de A y B es 23 años y su producto 102. Hallar ambas edades.
    x:  edad de A y:  edad de B { x+y=23 xy=102 { x=23y ( 1 ) xy=102 ( 2 ) Reemplazo el valor de ( 1 )  en ( 2 ) xy =102 (23y ) y =102 23y y 2 =102 y 2 23y+102 =0 (y17 ) (y6 ) =0 y 1 17 =0 y 1 =17 y 2 6 =0 y 2 =6 Reemplazo los valores de  y 1 , y 2  en ( 1 )  para obtener sus respectivos valores de  x 1 , x 2 x 1 =23 y 1 x 1 =2317 x 1 =6 x 2 =23 y 2 x 2 =236 x 2 =17 Sol.{ x=17 y=6
  12. Una persona compró cierto número de libros por $180. Si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le habría costado $1 más. ¿Cuántos libros compró y cuánto le costó cada uno?
    x:  cantidad de libros y:  costo de cada libro { xy=180 (x6 ) (y+1 ) =180 { x= 180 y ( 1 ) (x6 ) (y+1 ) =180 ( 2 ) (x6 ) (y+1 ) =180 ( 180 y 6 ) (y+1 ) =180 180 + 180 y 6y6 = 180 1806 y 2 y =6 1806 y 2 =6y 1806 y 2 6y =0 y 2 +y30 =0 (y+6 ) (y5 ) =0 y 1 +6 =0 y 1 =6  descarto el valor negativo puesto que no hay precios negativos y5 =0 y =5 Reemplazo el valor de y en ( 1 ) x = 180 y x = 5 x =36 Sol.{ x=36 cantidad de libros y=5 costo de cada libro
  13. Una compañía de 180 hombres está dispuesta en filas. El número de soldados de cada fila es 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas hay y cuántos soldados en cada una?
    x:  número de filas 180 x :  número de soldados por fila 180 x 8 =x 1808x = x 2 x 2 +8x180 =0 (x+18 ) (x10 ) =0 x 1 +18 =0 x 1 =18  descarto el número negativo x10 =0 x =10 180 x = 18 0 1 0 =18 Sol.{ 10 filas 18 soldados por fila
  14. Se vende un reloj en 75 soles ganando un % sobre el costo igual al número de soles que costó el reloj. Hallar el costo del reloj.
    x:  costo del reloj x%dex = x 2 100 x 2 100 +x =75 x 2 +100x =7500 x 2 +100x7500 =0 (x+150 ) (x50 ) =0 x 1 +150 =0 x 1 =150  descarto este valor negativo x50 =0 x =50  costo del reloj
  15. Entre cierto número de personas compran un auto que vale $1200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántas personas compraron el auto?
    x:  número de personas que compraron el auto y:  cantidad de dinero que paga cada persona { xy=1200 ( 1 ) y+194=x ( 2 ) Reemplazo ( 2 )  en ( 1 ) xy =1200 (y+194 ) y =1200 y 2 +194y1200 =0 (y+200 ) (y6 ) =0 y 1 +200 =0 y 1 =200  descarto el valor negativo y6 =0 y =6 Reemplazo el valor de y en ( 2 ) y+194 =x 6+194 =x x =200  personas que compraron el auto
  16. Compré cierto número de relojes por $192. Si el precio de cada reloj es los ¾ del número de relojes, ¿Cuántos relojes compré y cuánto pagué por cada uno?
    x:  número de relojes y:  precio de cada reloj { xy=192 ( 1 ) y= 3 4 x ( 2 ) Reemplazo ( 2 )  en ( 1 ) xy =192 x( 3 4 x ) =192 3 4 x 2 =192 3 x 2 =768 x 2 = 3 x = 256 x =16 Reemplazo el valor de x en ( 2 ) y = 3 4 x y = 3 4 y =12 Sol.{ x=16 número de relojes y=12 precio de cada reloj
  17. Se ha comprado cierto número de libros por $150. Si cada libro hubiera costado $1 más, se habrían comprado 5 libros menos con los $150. ¿Cuántos libros se compraron y cuánto costó cada uno?
    x:  número de libros y:  costo de cada libro { xy=150 (x5 ) (y+1 ) =150 { x= 150 y ( 1 ) (x5 ) (y+1 ) =150 ( 2 ) Reemplazo ( 1 )  en ( 2 ) (x5 ) (y+1 ) =150 ( 150 y 5 ) (y+1 ) =150 150 + 150 y 5y5 = 150 1505 y 2 5y =0 y 2 +y30 =0 (y+6 ) (y5 ) =0 y 1 +6 =0 y 1 =6  descarto el valor negativo y5 =0 y =5 x = 150 y x = 5 x =30 Sol.{ x=30 número de libros y=5 costo de cada libro
  18. Por 200 lempiras compré cierto número de libros. Si cada libro me hubiera costado 10 lempiras menos, el precio de cada libro hubiera sido igual al número de libros que compré. ¿Cuántos libros compré?
    x:  número de libros y:  costo de cada libro { xy=200 ( 1 ) y10=x ( 2 ) Reemplazo ( 2 )  en ( 1 ) xy =200 (y10 ) y =200 y 2 10y =200 y 2 10y200 =0 (y20 ) (y+10 ) =0 y 1 +10 =0 y 1 =10  descarto el valor negativo y20 =0 y =20 Reemplazo el valor de y en ( 2 ) y10 =x 2010 =x x =10 Sol.{ x=10 número de libros y=20 costo de cada libro
  19. Compré cierto número de plumas por $24. Si cada pluma me hubiera costado $1 menos, podía haber comprado 4 plumas más por el mismo dinero. ¿Cuántas plumas compré y a qué precio?
    x:  número de plumas y:  costo de cada pluma { xy=24 (x+4 ) (y1 ) =24 { x= 24 y ( 1 ) (x+4 ) (y1 ) =24 ( 2 ) Reemplazo ( 1 )  en ( 2 ) (x+4 ) (y1 ) =24 ( 24 y +4 ) (y1 ) =24 24 24 y +4y4 = 24 24 y +4y4 =0 24+4 y 2 4y =0 y 2 y6 =0 (y3 ) (y+2 ) =0 y 1 +2 =0 y 1 =2  descarto el valor negativo y3 =0 y =3 Reemplazo el valor de y en ( 1 ) x = 24 y x = 3 x =8 Sol.{ x=8 plumas y=3 costo de cada pluma
  20. Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240 km. si la velocidad hubiera sido 20 km. por hora más que la que llevaba hubiera tardado 2 horas menos en recorrer dicha distancia. ¿En qué tiempo recorrió los 240 Km.?
    t:  tiempo en recorrer 240 km Sabemos que la ecuacion de la velocidad en un movimiento rectilineo uniforme es: v= d t { v 1 = 240 t ( 1 ) v 1 +20= 240 t2 ( 2 ) Reemplazo ( 1 )  en ( 2 ) v 1 +20 = 240 t2 240 t +20 = 240 t2 240(t2 ) +20t(t2 ) =240t 240t 480+20 t 2 40t = 240t t 2 2t24 =0 (t6 ) (t+4 ) =0 t 1 +4 =0 t 1 =4  descarto el resultado negativo ya que no hay tiempos con ese valor t6 =0 t =6  horas
  21. Un hombre compró cierto número de caballos por $2000. Se le murieron dos caballos y vendiendo cada uno de los restantes a $60 más de lo que le costó cada uno, ganó en total $ 80. ¿Cuántos caballos compró y cuánto le costó cada uno?
    x:  número de caballos y:  costo de cada caballo { xy=2000 (x2 ) (y+60 ) =2080 { x= 2000 y ( 1 ) (x2 ) (y+60 ) =2080 ( 2 ) Reemplazo ( 1 )  en ( 2 ) (x2 ) (y+60 ) =2080 ( 2000 y 2 ) (y+60 ) =2080 20002y+ 120000 y 120 =2080 2y+ 120000 y +18802080 =0 2y+ 120000 y 200 =0 2 y 2 +120000200y =0 y 2 +100y60000 =0 (y200 ) (y+300 ) =0 y 1 +300 =0 y 1 =2  descarto el valor negativo y200 =0 y =200 Reemplazo el valor de y en ( 1 ) x = 2000 y x = 200 x =10 Sol.{ x=10 caballos y=200 costo de cada caballo
  22. Hallar tres números consecutivos tales que el cociente del mayor entre el menor equivale a los 3/10 del número intermedio.
    x+2:  número mayor x+1:  número intermedio x:  número menor x+2 x = 3 10 (x+1 ) 10(x+2 ) =3x(x+1 ) 10x+20 =3 x 2 +3x 0 =3 x 2 +3x10x20 3 x 2 7x20 =0 3 x 2 12x+5x20 =0 3x(x4 ) +5(x4 ) =0 (3x+5 ) (x4 ) =0 3 x 1 +5 =0 x 1 = 5 3  descarto el número negativo x4 =0 x =4 x+1 =4+1=5 x+2 =4+2=6 Sol.{ 4 5 6
  23. El producto de dos números es 180 y su cociente 1¼ . Hallar los números.
    x:  número mayor y:  número menor { xy=180 x y =1 1 4 { y= 180 x ( 1 ) x y = 5 4 ( 2 ) Reemplazo ( 1 )  en ( 2 ) x y = 5 4 x 180 x = 5 4 x 2 180 = 5 4 x 2 = 5 4 x 2 =225 x = 225 x =15 Reemplazo el valor de x en ( 1 ) y = 180 x y = 15 y =12 Sol.{ x=15 y=12
  24. Un hombre compró cierto número de naranjas por $1.50. Se comió 5 naranjas y vendiendo las restantes a 1ctvo. más de lo que le costó cada una recuperó lo que había gastado. ¿Cuántas naranjas compró y a qué precio?
    x:  número de naranjas y:  costo de cada naranja $1.50 150ctvs { xy=150 (x5 ) (y+1 ) =150 { x= 150 y ( 1 ) (x5 ) (y+1 ) =150 ( 2 ) Reemplazo ( 1 )  en ( 2 ) (x5 ) (y+1 ) =150 ( 150 y 5 ) (y+1 ) =150 150 + 150 y 5y5 = 150 150 y 5y5 =0 1505 y 2 5y =0 y 2 +y30 =0 (y+6 ) (y5 ) =0 y 1 +6 =0 y 1 =6  descarto el valor negativo y5 =0 y =5 Reemplazo el valor de y en ( 1 ) x = 150 y x = 5 x =30 Sol.{ x=30 naranjas y=5ctvs costo de cada naranja
  25. Cuando vendo un caballo en 171 quetzales gano un % sobre el costo igual al número de quetzales que me costó el caballo. ¿Cuánto costó el caballo?
    x:  costo del caballo x 2 100 :  porcentaje ganado x+ x 2 100 =171 100x+ x 2 =17100 x 2 +100x17100 =0 (x+190 ) (x90 ) =0 x 1 +190 =0 x 1 =190  descarto el valor negativo x90 =0 x =90  costo del caballo
  26. El producto de dos números es 352, y si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 10. Hallar los números.
    x:  número mayor y:  número menor { xy=352 ( 1 ) x=2y+10 ( 2 ) Reemplazo ( 2 )  en ( 1 ) xy =352 (2y+10 ) y352 =0 2 y 2 +10y352 =0 y 2 +5y176 =0 (y+16 ) (y11 ) =0 y 1 +16 =0 y 1 =16  descarto este valor negativo y11 =0 y =11 Reemplazo el valor de x en ( 2 ) x =2y+10 x =2( 11 ) +10 x =22+10 x =32 Sol.{ x=32 y=11
  27. Se han comprado 2 piezas de tela que juntas miden 20 m. El metro de cada pieza costó un número de pesos igual al número de metros de la pieza. Si una pieza costó 9 veces lo que la otra, ¿Cuál era la longitud de cada pieza?
    x:  longitud de la primera pieza y:  longitud de la primera pieza { x+y=20 x 2 =9 y 2 { x=20y ( 1 ) x 2 =9 y 2 ( 2 ) Reemplazo ( 1 )  en ( 2 ) x 2 =9 y 2 (20y ) 2 =9 y 2 40040y+ y 2 =9 y 2 8 y 2 +40y400 =0 y 2 +5y50 =0 (y+10 ) (y5 ) =0 y 1 +10 =0 y 1 =10  descarto el valor negativo y5 =0 y =5 Reemplazo el valor de y en ( 1 ) x =20y x =205 x =15 Sol.{ x=15 longitud de la primera pieza y=5 longitud de la segunda pieza
  28. Un tren ha recorrido 200 km. en cierto tiempo. Para haber recorrido esa distancia en 1 hora menos, la velocidad debía haber sido 10 km por hora más. Hallar la velocidad del tren.
    v:  velocidad del tren Sabemos que la ecuacion de la velocidad en un movimiento rectilineo uniforme es: v= d t { v 1 = 200 t ( 1 ) v 1 +10= 200 t1 ( 2 ) Reemplazo ( 1 )  en ( 2 ) v 1 +10 = 200 t1 200 t +10 = 200 t1 200(t1 ) +10t(t1 ) =200t 200t 200+10 t 2 10t = 200t t 2 t20 =0 (t5 ) (t+4 ) =0 t 1 +4 =0 t 1 =4  descarto el resultado negativo ya que no hay tiempos con ese valor t5 =0 t =5  horas v = d t v = 200 5 v =40 km h
  29. Un hombre ha ganado 84 colones trabajando cierto número de días. Si su jornal diario hubiera sido 1 colón menos, tendría que haber trabajado 2 días más para ganar 84 colones. ¿Cuántos días trabajó y cuál es su jornal?
    x:  días trabajados y:  dinero ganado por día { xy=84 (x+2 ) (y1 ) =84 { x= 84 y ( 1 ) (x+2 ) (y1 ) =84 ( 2 ) Reemplazo el valor de ( 1 )  en ( 2 ) (x+2 ) (y1 ) =84 ( 84 y +2 ) (y1 ) =84 84 84 y +2y2 = 84 84+2 y 2 2y =0 y 2 y42 =0 (y7 ) (y+6 ) =0 y 1 +6 =0 y 1 =6  descarto el valor negativo y7 =0 y =7 Reemplazo el valor de y en ( 1 ) x = 84 y x = 7 x =12 Sol.{ x=12 días trabajados y=7 salario diario
  30. Los gastos de una excursión son $90. Si desisten de ir 3 personas, cada una de las restantes tendría que pagar $ 1 más. ¿Cuántas personas van en la excursión y cuánto paga cada una?
    x:  número de personas que van de excursión y:  costo por persona { xy=90 (x3 ) (y+1 ) =90 { x= 90 y ( 1 ) (x3 ) (y+1 ) =90 ( 2 ) (x3 ) (y+1 ) =90 ( 90 y 3 ) (y+1 ) =90 90 + 90 y 3y3 = 90 903 y 2 3y =0 y 2 +y30 =0 (y+6 ) (y5 ) =0 y 1 +6 =0 y 1 =6 y5 =0 y =5 Reemplazo el valor de y en ( 1 ) x = 90 y x = 5 x =18 Sol.{ x=18 personas y=5 dólares por cada una
  31. El cociente de dividir 84 entre cierto número excede en 5 a este número. Hallar el número?
    x:  divisor 84 x =x+5 84 =x(x+5 ) 84 = x 2 +5x x 2 +5x84 =0 (x+12 ) (x7 ) =0 x 1 +12 =0 x 1 =0  descarto el valor negativo x7 =0 x =7
  32. La edad de A hace 6 años era la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años. Hallar la edad actual.
    x:  edad de A x6:  edad de A hace 6 años x+6:  edad de A en 6 años x6 = x+6 (x6 ) 2 = ( x+6 ) 2 x 2 12x+36 =x+6 x 2 13x+30 =0 (x10 ) (x3 ) =0 x 1 10 =0 x 1 =10 x 2 3 =0 x 2 =3   descartamos el valor  x 2  puesto que no cumple la segunda condición x6=36=3  implica una edad negativa la cual no existe Sol.{ x=10 La edad actual es 10 años
  33. Compré cierto número de libros por $ 40 y cierto número de plumas por $ 40. Cada pluma me costó $1 más que cada libro. ¿Cuántos libros compré y a qué precio si el número de libros excede al de plumas en 2?
    x:  número de libros y:  número de plumas a:  costo de cada libro b:  costo de cada pluma { ax=40 by=40 { a(y+2 ) =40 (a+1 ) y=40 { a(y+2 ) =40 ( 1 ) y= 40 a+1 ( 2 ) a(y+2 ) =40 a( 40 a+1 +2 ) =40 a( 40+2a+2 a+1 ) =40 a( 42+2a a+1 ) =40 a(42+2a ) =40(a+1 ) 2 a(a+21 ) =(a+1 ) a 2 +21a =20a+20 a 2 +a20 =0 (a+5 ) (a4 ) =0 a 1 +5 =0 a 1 =5  descarto el valor negativo a4 =0 a =4 Reemplazo el valor de a en la ecuación: ax =40 4x =40 x = 4 x =10 Sol.{ x=10 número de libros a=4 dólares por libro