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Ejercicio 173

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CAPITULO XXIII

Ecuaciones indeterminadas
Resolución de una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Soluciones enteras y positivas
Ejercicio 173
Hallar todas las soluciones enteras y positivas de:
  1. x+y =5 y =5–x 5–x ⇒ Para que sea entero positivo  1 ≤ y ≤ 4  siendo «y« entero x=1 y=4 x=2 y=3 x=3 y=2 x=4 y=1
  2. 2x+3y =37 2x =37–3y x = 37–3y 2 x = 36+1–2y–y 2 x = 2 + 1 2 – 2 y 2 – y 2 x =18–y+ 1–y 2 x–18+y = 1–y 2 1–y 2 ⇒ Entero Multiplico por 3 3–3y 2 3–3y 2 = 2 2 + 1 2 – 2 y 2 – y 2 =1–y+ 1–y 2 ⇒ Entero 1–y 2 =m 1–y =2m –y =2m–1 y =1–2m Reemplazo en la ecuación original 2x+3( 1–2m ) =37 2x+3–6m =37 2x =37–3+6m x = 34–6m 2 x = 2 ( 17+3m ) 2 x =17+3m { y=1–2m x=17+3m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m,  tiene que tomar los siguientes valores m=0 y=1 x=17 m=–1 y=3 x=14 m=–2 y=5 x=11 m=–3 y=7 x=8 m=–4 y=9 x=5 m=–5 y=11 x=2
  3. 3x+5y =43 3x =43–5y x = 43–5y 3 43–5y 3 = 3 + 1 3 – 3 y 3 – 2y 3 x =14–y+ 1–2y 3 x–14+y = 1–2y 3 1–2y 3 ⇒ Entero Multiplico por 2 2–4y 3 = 2 3 – 3 y 3 – y 3 =–y+ 2–y 3 2–y 3 =m 2–y =3m –y =3m–2 y =2–3m  Reemplazo en la ecuacion original 3x+5( 2–3m ) =43 3x+10–15m =43 3x =43–10+15m 3x =33+15m x = 3 ( 11+5m ) 3 x =11+5m { x=11+5m y=2–3m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=11 y=2 m=–1 x=6 y=5 m=–2 x=1 y=8
  4. x+3y =9 x =9–3y 9–3y ⇒ Entero Divido para 3 3–y ⇒ Entero 3–y =m –y =m–3 y =3–m  Reemplazo en la ecuación original x+3( 3–m ) =9 x+ 9 –3m = 9 x =3m { y=3–m x=3m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=3 y=2 m=2 x=6 y=1
  5. 7x+8y =115 7x =115–8y x = 115–8y 7 x = 7 + 3 7 – 7 y 7 – y 7 x =16–y+ 3–y 7 3–y 7 ⇒ Entero Multiplico por 8 24–8y 7 = 24 7 – 7 y 7 – y 7 =–y+ 24–y 7 24–y 7 =m 24–y =7m –y =–24+7m y =24–7m  Reemplazo en la ecuación original 7x+8( 24–7m ) =115 7x+192–56m =115 7x–56m =–77 7x =56m–77 x = 7 ( 8m–11 ) 7 x =8m–11 { y=24–7m x=8m–11 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=2 x=5 y=10 m=3 x=13 y=3
  6. 15x+7y =136 7y =136–15x y = 136–15x 7 y = 7 + 3 7 – x 7 – x 7 y =19–2x+ 3–x 7 3–x 7 ⇒ Entero Multiplico por 8 24–8x 7 = 24 7 – 7 x 7 – x 7 =–x+ 24–x 7 24–x 7 =m 24–x =7m –x =7m–24 x =24–7m  Reemplazo en la ecuación inicial 15( 24–7m ) +7y =136 360–105m+7y =136 7y =136–360+105m 7y =–224+105m y = 7 ( 15m–32 ) 7 y =15m–32 { x=24–7m y=15m–32 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=3 x=3 y=13
  7. x+5y =24 x =24–5y x =24+1–1–5y x = 5 – 1 5 – 5 y 5 x+ 1 5 =5–y 5–y =m –y =m–5 y =5–m  Reemplazo en la ecuación inicial x+5( 5–m ) =24 x+25–5m =24 x =5m–1 { y=5–m x=5m–1 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=4 y=4 m=2 x=9 y=3 m=3 x=14 y=2 m=4 x=19 y=1
  8. 9x+11y =203 9x =203–11y x = 203–11y 9 x = 9 + 5 9 – 9 y 9 – 2y 9 x =22–y+ 5–2y 9 5–2y 9 ⇒ Entero Multiplico por 5 25–10y 9 = 9 + 7 9 – 9 y 9 – y 9 =2–y+ 7–y 9 7–y 9 =m 7–y =9m –y =9m–7 y =7–9m  Reemplazo en la ecuación inicial 9x+11( 7–9m ) =203 9x+77–99m =203 9x =203–77+99m 9x =126+99m x = 9 ( 14+11m ) 9 x =14+11m { y=7–9m x=14+11m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=14 y=7 m=–1 x=3 y=16
  9. 5x+2y =73 2y =73–5x y = 73–5x 2 y = 2 + 1 2 – x 2 – x 2 y =36–2x+ 1–x 2 y–36+2x = 1–x 2 1–x 2 =m 1–x =2m –x =2m–1 x =1–2m  Reemplazo en la ecuación inicial 5( 1–2m ) +2y =73 5–10m+2y =73 2y =73–5+10m 2y =68+10m y = 2 ( 34+5m ) 2 y =34+5m { x=1–2m y=34+5m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=1 y=34 m=–1 x=3 y=29 m=–2 x=5 y=24 m=–3 x=7 y=19 m=–4 x=9 y=14 m=–5 x=11 y=9 m=–6 x=13 y=4
  10. 8x+13y =162 8x =162–13y x = 162–13y 8 x = 8 + 2 – 8 y 8 – 5y 8 x =20–y+ 2–5y 8 x–20+y = 2–5y 8 2–5y 8 ⇒ Entero Multiplico por 5 10–25y 8 = 10 8 – y 8 – y 8 =–3y+ 10–y 8 10–y 8 =m 10–y =8m –y =8m–10 y =10–8m  Reemplazamos en la ecuación inicial 8x+13( 10–8m ) =162 8x+130–104m =162 8x =162–130+104m 8x =32+104m x = 8 ( 4+13m ) 8 x =4+13m { y=10–8m x=4+13m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=4 y=10 m=1 x=17 y=2
  11. 7x+5y =104 5y =104–7x y = 104–7x 5 y = 5 + 4 5 – 5 x 5 – 2x 5 y =20–x+ 4–2x 5 y–20+x = 4–2x 5 4–2x 5 ⇒ Entero Multiplico por 3 12–6x 5 = 5 + 2 5 – 5 x 5 – x 5 =2–x+ 2–x 5 2–x 5 =m 2–x =5m –x =5m–2 x =2–5m  Reemplazo en la ecuación inicial 7( 2–5m ) +5y =104 14–35m+5y =104 5y =104–14+35m 5y =90+35m y = 5 ( 18+7m ) 5 y =18+7m { x=12–5m y=18+7m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=2 y=18 m=–1 x=7 y=11 m=–2 x=12 y=4
  12. 10x+y =32 y =32–10x y =32+2–2–10x y = 3 0 1 0 + 2 – 10 x 10 y =3+ 1 5 –x y– 1 5 =3–x 3–x =m –x =m–3 x =3–m  Reemplazo en la ecuación original 10( 3–m ) +y =32 30–10m+y =32 y =32–30+10m y =2+10m { x=3–m y=2+10m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=3 y=2 m=1 x=2 y=12 m=2 x=1 y=22
  13. 9x+4y =86 4y =86–9x y = 86–9x 4 y = 4 + 2 4 – x 4 – x 4 y =21–2x+ 2–x 4 y–21+2x = 2–x 4 2–x 4 =m 2–x =4m –x =4m–2 x =2–4m  Reemplazo en la ecuación inicial 9( 2–4m ) +4y =86 18–36m+4y =86 4y =86–18+36m 4y =68+36 y = 4 ( 17+9m ) 4 y =17+9m { x=2–4m y=17+9m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=2 y=17 m=–1 x=6 y=8
  14. 9x+11y =207 9x =207–11y x = 207–11y 9 x = 9 + 9 9 – 9 y 9 – 2y 9 x =22–y+ 9–2y 9 x–22+y = 9–2y 9 9–2y 9 ⇒ Entero Multiplico por 5 45–10y 9 = 45–9y–y 9 = 45 9 – 9y 9 – y 9 = 45–y 9 –y 45–y 9 =m 45–y =9m –y =9m–45 y =45–9m  Reemplazo en la ecuación inicial 9x+11( 45–9m ) =207 9x+495–99m =207 9x =207–495+99m 9x =99m–288 x = 9 ( 11m–32 ) 9 x =11m–32 { y=45–9m x=11m–32 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=3 x=1 y=18 m=4 x=12 y=9
  15. 11x+12y =354 11x =354–12y x = 354–12y 11 x = 11 + 2 11 – 11 y 11 – y 11 x =32–y+ 2–y 11 x–32+y = 2–y 11 2–y 11 =m 2–y =11m –y =11m–2 y =2–11m  Reemplazamos en la ecuación inicial 11x+12( 2–11m ) =354 11x+24–132m =354 11x =354–24+132m 11x =330+132m x = 11 ( 30+12m ) 11 x =30+12m { y=2–11m x=30+12m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=30 y=2 m=–1 x=18 y=13 m=–2 x=6 y=24
  16. 10x+13y =294 10x =294–13y x = 294–13y 10 x = 29 0 1 0 + 4 10 – 10 y 10 – 3y 10 x–29+y = 4–3y 10 4–3y 10 ⇒ Entero Multiplico por 7 28–21y 10 = 28 10 – 2 0 y 1 0 – y 10 =–2y+ 28–y 10 28–y 10 =m 28–y =10m –y =10m–28 y =28–10m  Reemplazo en la ecuación inicial 10x+13( 28–10m ) =294 10x+364–130m =294 10x =294–364+130m 10x =130m–70 x = 10 ( 13m–7 ) 10 x =13m–7 { y=28–10m x=13m–7 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=6 y=18 m=2 x=19 y=8
  17. 11x+8y =300 8y =300–11x y = 300–11x 8 y = 8 + 4 8 – 3x 8 – 8 x 8 y =37–x+ 4–3x 8 y–37+x = 4–3x 8 4–3x 8 ⇒ Entero Multiplico por 3 12–9x 8 = 12 8 – 8 x 8 – x 8 = 12–x 8 –x 12–x 8 =m 12–x =8m –x =8m–12 x =12–8m  Reemplazo en la ecuación inicial 11( 12–8m ) +8y =300 132–88m+8y =300 8y =300–132+88m 8y =168+88m y = 8 ( 21+11m ) 8 y =21+11m { x=12–8m y=21+11m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=0 x=12 y=21 m=1 x=4 y=32 m=–1 x=20 y=10
  18. 21x+25y =705 21x =705–25y x = 705–25y 21 x = 21 + 12 21 – 21 y 21 – 4y 21 x =33–y+ 12–4y 21 12–4y 21 ⇒ Entero Multiplico por 16 192–64y 21 = 192 21 – 21 – y 21 =–3y+ 192–y 21 192–y 21 =m 192–y =21m –y =21m–192 y =192–21m  Reemplazo en la ecuación 21x+25( 192–21m ) =705 21x+4800–525m =705 21x =705–4800+525m 21x =4095+525m x = 21 ( 25m–195 ) 21 x =25m–195 { y=192–21m x=25m–195 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=8 x=5 y=24 m=9 x=30 y=3
    Hallar la solución general y los tres menores pares de valores enteros positivos x e y que satisfacen las ecuaciones siguientes:
  19. 3x–4y =5 3x =5+4y x = 5+4y 3 x = 2+3+3y+y 3 x = 2 3 + 3 3 + 3 y 3 + y 3 x =1+y+ 2+y 3 2+y 3 =m 2+y =3m y =3m–2  Reemplazo en la ecuación inicial 3x–4( 3m–2 ) =5 3x–12m+8 =5 3x =5–8+12m 3x =12m–3 x = 3 ( 4m–1 ) 3 x =4m–1 { y=3m–2 x=4m–1 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=3 y=1 m=2 x=7 y=4 m=3 x=11 y=7
  20. 5x–8y =1 5x =1+8y x = 1+8y 5 1+8y 5 ⇒ Entero Multiplico por 2 2+16y 5 = 2 5 + y 5 + y 5 =3y+ 2+y 5 2+y 5 =m 2+y =5m y =5m–2  Reemplazo en la ecuación inicial 5x–8( 5m–2 ) =1 5x–40m+16 =1 5x =1–16+40m 5x =40m–15 x = 5 ( 8m–3 ) 5 x =8m–3 { y=5m–2 x=8m–3 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=5 y=3 m=2 x=13 y=8 m=3 x=21 y=13
  21. 7x–13y =43 7x =43+13y x = 43+13y 7 x = 7 + 1 7 + 7 y 7 + 6y 7 x =6+y+ 1+6y 7 x–6–y = 1+6y 7 1+6y 7 ⇒ Entero Multiplico por 6 6+36y 7 = 6+35y+y 7 = 6 7 + y 7 + y 7 =5y+ 6+y 7 6+y 7 =m 6+y =7m y =7m–6  Reemplazo en la ecuación original 7x–13( 7m–6 ) =43 7x–91m+78 =43 7x =43–78+91m 7x =91m–35 x = 7 ( 13m–5 ) 7 x =13m–5 { y=7m–6 x=13m–5 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=8 y=1 m=2 x=21 y=8 m=3 x=34 y=15
  22. 11x–12y =0 11x =12y x = 12y 11 x = 11y+y 11 x = 11 y 11 + y 11 x–y = y 11 y 11 =m y =11m  Reemplazo en la ecuación inicial 11x–12( 11m ) =0 11x–132m =0 11x =132m x = m 11 x =12m { x=12m y=11m Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=12 y=11 m=2 x=24 y=22 m=3 x=36 y=33
  23. 14x–17y =32 14x =32+17y x = 32+17y 14 x = 28+4+14y+3y 14 x = 14 + 4 14 + 14 y 14 + 3y 14 x =2+y+ 4+3y 14 4+3y 14 ⇒ Entero Multiplico por 5 20+15y 14 = 14+6+14y+y 14 = 14 14 + 6 14 + 14 y 14 + y 14 =1+y+ 6+y 14 6+y 14 =m 6+y =14m y =14m–6  Reemplazo en la ecuación inicial 14x–17( 14m–6 ) =32 14x–238m+102 =32 14x =32–102+238m 14x =238m–70 x = 14 ( 17m–5 ) 14 x =17m–5 { y=14m–6 x=17m–5 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=12 y=8 m=2 x=29 y=22 m=3 x=46 y=36
  24. 7x–11y =83 7x =83+11y x = 83+11y 7 x = 77+6+7y+4y 7 x = 7 + 6 7 + 7 y 7 + 4y 7 x =11+y+ 6+4y 7 x–11–y = 6+4y 7 6+4y 7 ⇒ Entero Multiplico por 2 12+8y 7 = 7+5+7y+y 7 = 7 7 + 5 7 + 7 y 7 + y 7 =1+y+ 5+y 7 5+y 7 =m 5+y =7m y =7m–5  Reemplazo en la ecuación inicial 7x–11( 7m–5 ) =83 7x–77m+55 =83 7x =83–55+77m 7x =28+77m x = 7 ( 4+11m ) 7 x =11m+4 { y=7m–5 x=11m+4 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=15 y=2 m=2 x=26 y=9 m=3 x=37 y=16
  25. 8x–13y =407 8x =407+13y x = 407+13y 8 x = 400+7+8y+5y 8 x = 8 + 7 8 + 8 y 8 + 5y 8 x =50+y+ 7+5y 8 x–50–y = 7+5y 8 7+5y 8 ⇒ Entero Multiplico por 5 35+25y 8 = 32+3+24y+y 8 = 8 + 3 8 + y 8 + y 8 =4+3y+ 3+y 8 3+y 8 =m 3+y =8m y =8m–3  Reemplazo en la ecuación inicial 8x–13( 8m–3 ) =407 8x–104m+39 =407 8x =407–39+104m 8x =368+104m x = 8 ( 13m+46 ) 8 x =13m+46 { y=8m–3 x=13m+46 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=59 y=5 m=2 x=72 y=13 m=3 x=85 y=21
  26. 20y–23x =411 20y =23x+411 y = 23x+411 20 y = 20x+3x+400+11 20 y = 20 x 20 + 3x 20 + x 20 + 3x 20 y =20+x+ 11+3x 20 y–20–x = 11+3x 20 11+3x 20 ⇒ Entero Multiplico por 7 77+21x 20 = 60+17+20x+x 20 = 20 + 17 20 + 20 x 20 + x 20 =3+x+ 17+x 20 17+x 20 =m 17+x =20m x =20m–17  Reemplazo en la ecuación inicial 20y–23( 20m–17 ) =411 20y–460m+391 =411 20y =411–391+460m 20y =20+460m y = 20 ( 1+23m ) 20 y =23m+1 { x=20m–17 y=23m+1 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=3 y=24 m=2 x=23 y=47 m=3 x=43 y=70
  27. 5y–7x =312 5y =312+7x y = 312+7x 5 y = 310+2+5x+2x 5 y = 5 + 2 5 + 5 x 5 + 2x 5 y =62+x+ 2+2x 5 y–62–x = 2+2x 5 2+2x 5 ⇒ Entero Multiplico por 3 6+6x 5 = 5+1+5x+x 5 = 5 5 + 1 5 + 5 x 5 + x 5 =1+x+ 1+x 5 1+x 5 =m 1+x =5m x =5m–1  Reemplazo en la ecuación inicial 5y–7( 5m–1 ) =312 5y–35m+7 =312 5y =312–7+35m 5y =305+35m y = 5 ( 7m+61 ) 5 y =7m+61 { x=5m–1 y=7m+61 Para que el sistema de ecuaciones sea entero positivo m, tiene que tomar los siguientes valores m=1 x=4 y=68 m=2 x=9 y=75 m=3 x=14 y=82
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