CAPITULO V
Miscelanea
Sobre resta, multiplicación y división
- Ejercicio 61
Dividir
- A
las 7 a.m. el termómetro marca +5° y de las 7 a.m. a las 10 a.m. baja a
razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 8 a.m., 9 a.m. y 10
a.m.
5 – 3 = 2: a las 8 a.m. la temperatura es de +2°
2 – 3 = -1: a las 9 a.m. la temperatura es de -1°
-1 – 3 = -4: a las 10 a.m. la temperatura es de -4°.
- Tomando como escala 1 cm: 10 m, representar
gráficamente que un punto B está situado a + 40 m de A y otro punto C
está situado a – 35 m de B.
- Sumar
x
2
–3xy
con
3xy–
y
2
y el resultado restarlo de
x
2
- ¿Qué expresión hay que añadir a
3
x
2
–5x+6
para que la suma sea
3x
?
3 x 2 –5x+6+ ψ =3x ψ =3x–( 3 x 2 –5x+6 ) ψ =3x–3 x 2 +5x–6 ψ =–3 x 2 +8x–6 - Restar
–2
a
2
+3a–5
de 3 y sumar con
8a+5
3–( –2 a 2 +3a–5 ) +8a+5 =3+2 a 2 –3a+5+8a+5 =2 a 2 +5a+13 - Simplificar
–3
x
2
–{
–[
4
x
2
+5x–(
x
2
–
x+6
¯
)
]
}
–3 x 2 –{ –[ 4 x 2 +5x–( x 2 – x+6 ¯ ) ] } =–3 x 2 –{ –[ 4 x 2 +5x–( x 2 –x–6 ) ] } =–3 x 2 –{ –[ 4 x 2 +5x– x 2 +x+6 ] } =–3 x 2 –{ –[ 3 x 2 +6x+6 ] } =–3 x 2 –{ –3 x 2 –6x–6 } =– 3 x 2 + 3 x 2 +6x+6 =6x+6 - Simplificar
(
x+y
)
(
x–y
)
–
(
x+y
)
2
( x+y ) ( x–y ) – ( x+y ) 2 = x 2 – xy + xy – y 2 –( x+y ) ( x+y ) = x 2 – y 2 –( x 2 +xy+xy+ y 2 ) = x 2 – y 2 –( x 2 +2xy+ y 2 ) = x 2 – y 2 – x 2 –2xy– y 2 =–2xy–2 y 2 - Valor numérico de
3(
a+b
)
–4(
c–b
)
+
c–b
–a
para
a=2,b=3,c=1
3( a+b ) –4( c–b ) + c–b –a =3( 2+3 ) –4( 1–3 ) + 1–3 –2 =3( 5 ) –4( –2 ) + – 2 – 2 =15+8+ =15+8+1 =24 - Restar
x
2
–3xy+
y
2
de
3
x
2
–5
y
2
y sumar la diferencia con el resultado de restar
5xy+
x
2
de
2
x
2
+5xy+6
y
2
- Multiplicar
2
3
a
2
–
1
2
ab+
1
5
b
2
por
1
2
a
2
+
3
4
ab–2
b
2
- Dividir la suma de
x
5
–
x
3
+5
x
2
,–2
x
4
+2
x
2
–10x,6
x
3
–6x+30
entre
x
2
–2x+6
- Restar el cociente de
1
4
a
3
–
1
90
a
b
2
+
1
15
b
3
entre
1
2
a+
1
3
b
de
1
2
a
2
+ab+
1
5
b
2
- Restar la suma de
–3a
b
2
–
b
3
y
2
a
2
b+3a
b
2
–
b
3
de
a
3
–
a
2
b+
b
3
y la diferencia multiplicarla por
a
2
–ab+
b
2
- Restar la suma de
x
3
–5
x
2
+4x,–6
x
2
–6x+3,–8
x
2
+8x–3
de
2
x
3
–16
x
2
+5x+12
y dividir esta diferencia entre
x
2
–x+3
- Probar que
(
2+x
)
2
(
1+
x
2
)
–(
x
2
–2
)
(
x
2
+x–3
)
=
x
2
(
3x+10
)
+2(
3x–1
)
( 2+x ) 2 ( 1+ x 2 ) –( x 2 –2 ) ( x 2 +x–3 ) = x 2 ( 3x+10 ) +2( 3x–1 ) ( 2+x ) ( 2+x ) ( 1+ x 2 ) –( x 4 + x 3 –3 x 2 –2 x 2 –2x+6 ) =3 x 3 +10 x 2 +6x–2 ( 4+2x+2x+ x 2 ) ( 1+ x 2 ) –( x 4 + x 3 –5 x 2 –2x+6 ) =3 x 3 +10 x 2 +6x–2 ( 4+4x+ x 2 ) ( 1+ x 2 ) – x 4 – x 3 +5 x 2 +2x–6 =3 x 3 +10 x 2 +6x–2 4+4x+ x 2 +4 x 2 +4 x 3 + x 4 – x 4 – x 3 +5 x 2 +2x–6 =3 x 3 +10 x 2 +6x–2 ∴ 3 x 3 +10 x 2 +6x–2 =3 x 3 +10 x 2 +6x–2 - Hallar el valor numérico de
(
x+y
)
2
(
x–y
)
2
+2(
x+y
)
(
x–y
)
para
x=–2,y=1
( x+y ) 2 ( x–y ) 2 +2( x+y ) ( x–y ) = ( –2+1 ) 2 ( –2–1 ) 2 +2( –2+1 ) ( –2–1 ) = ( –3 ) 2 +2( –1 ) ( –3 ) =9+6 =15 - ¿Qué expresión hay que sumar a la suma de
x+4,x–6y
x
2
+2x+8
para obtener
5
x
2
–4x+3
?
x+4+x–6+ x 2 +2x+8+ ψ =5 x 2 –4x+3 x 2 +4x+6+ ψ =5 x 2 –4x+3 ψ =5 x 2 –4x+3–( x 2 +4x+6 ) ψ =5 x 2 –4x+3– x 2 –4x–6 ψ =4 x 2 –8x–3 - Restar
–{
3a+(
–b+a
)
–2(
a+b
)
}
de
–2[
(
a+b
)
–(
a–b
)
]
–2[ ( a+b ) –( a–b ) ] –[ –{ 3a+( –b+a ) –2( a+b ) } ] =–2[ a +b– a +b ] –[ –{ 3a–b+a–2a–2b } ] =–2[ 2b ] –[ –{ 2a–3b } ] =–4b–[ –2a+3b ] =–4b+2a–3b =2a–7b - Multiplicar
5x+[
–(
3x–
x–y
¯
)
]
por
8x+[
–2x+(
–x+y
)
]
{ 5x+[ –( 3x– x–y ¯ ) ] } { 8x+[ –2x+( –x+y ) ] } ={ 5x+[ –( 3x–x+y ) ] } { 8x+[ –2x–x+y ] } ={ 5x+[ –( 2x+y ) ] } { 8x+[ –3x+y ] } ={ 5x+[ –2x–y ] } { 8x–3x+y } ={ 5x–2x–y } { 5x+y } ={ 3x–y } { 5x+y } =15 x 2 +3xy–5xy– y 2 =15 x 2 –2xy– y 2 - Restar el cociente de
1
4
x
3
+
1
24
x
2
y+
5
12
x
y
2
+
1
3
y
3
entre
1
2
x
2
–
1
4
xy+
y
2
de
2x+[
–5x–(
x–y
)
]
2x+[ –5x–( x–y ) ] –[ 1 2 x+ 1 3 y ] =2x+[ –5x–x+y ] – 1 2 x– 1 3 y =2x+[ –6x+y ] – 1 2 x– 1 3 y =2x–6x+y– 1 2 x– 1 3 y = 4x–12x–x 2 + 3y–y 3 =– 9 2 x+ 2 3 y - Probar que
[
x
2
–(
3x+2
)
]
[
x
2
+(
–x+3
)
]
=
x
2
(
x
2
–4x+4
)
–(
7x+6
)
[ x 2 –( 3x+2 ) ] [ x 2 +( –x+3 ) ] = x 2 ( x 2 –4x+4 ) –( 7x+6 ) [ x 2 –3x–2 ] [ x 2 –x+3 ] = x 4 –4 x 3 +4 x 2 –7x–6 x 4 – x 3 +3 x 2 –3 x 3 +3 x 2 –9x–2 x 2 +2x–6 = x 4 –4 x 3 +4 x 2 –7x–6 ∴ x 4 –4 x 3 +4 x 2 –7x–6 = x 4 –4 x 3 +4 x 2 –7x–6 - ¿Qué expresión hay que sumar al producto de
[
x(
x+y
)
–x(
x–y
)
]
[
2(
x
2
+
y
2
)
–3(
x
2
–
y
2
)
]
para obtener
2
x
3
y+3x
y
3
?
[ x( x+y ) –x( x–y ) ] [ 2( x 2 + y 2 ) –3( x 2 – y 2 ) ] + ψ =2 x 3 y+3x y 3 [ x 2 +xy– x 2 +xy ] [ 2 x 2 +2 y 2 –3 x 2 +3 y 2 ] + ψ =2 x 3 y+3x y 3 [ 2xy ] [ – x 2 +5 y 2 ] + ψ =2 x 3 y+3x y 3 –2 x 3 y+10x y 3 + ψ =2 x 3 y+3x y 3 ψ =2 x 3 y+3x y 3 –( –2 x 3 y+10x y 3 ) ψ =2 x 3 y+3x y 3 +2 x 3 y–10x y 3 ψ =4 x 3 y–7x y 3 - Restar
–
x
2
–3xy+
y
2
de cero y multiplicar la diferencia por el cociente de dividir
x
3
–
y
3
entre
x–y
0–( – x 2 –3xy+ y 2 ) = x 2 +3xy– y 2
- Simplificar
(
x–y
)
(
x
2
+xy+
y
2
)
–(
x+y
)
(
x
2
–xy+
y
2
)
( x–y ) ( x 2 +xy+ y 2 ) –( x+y ) ( x 2 –xy+ y 2 ) = x 3 + x 2 y+x y 2 – x 2 y–x y 2 – y 3 –( x 3 – x 2 y+x y 2 + x 2 y–x y 2 + y 3 ) = x 3 + x 2 y + x y 2 – x 2 y – x y 2 – y 3 – x 3 + x 2 y – x y 2 – x 2 y + x y 2 – y 3 =–2 y 3 - Hallar el valor numérico de
ab
c
+2(
b–a
)
9b
a
2
–3(
c–b
)
c
b
para
a=4,b=9,c=25
ab c +2( b–a ) 9b a 2 –3( c–b ) c b = 4( 9 ) 25 +2( 9–4 ) 9( 9 ) 4 2 –3( 25–9 ) 25 9 = 2 2 × 3 2 5 2 +2( 5 ) 9 2 4 2 –3( 16 ) 5 2 3 2 = 2( 3 ) 5 + 9 – 3 ( 16 ) 5 3 = 6 5 + 45 2 –80 = 12+225–800 10 =– 563 10 =–56 3 10 - ¿Por cuál expresión hay que dividir el cociente de
x
3
+3
x
2
–4x–12
entre
x+3
para obtener
x–2
x 2 –4 ψ =x–2 x 2 –4 = ψ ( x–2 ) ψ = x 2 –4 x–2
- Simplificar
4
x
2
–{
3x–(
x
2
–
4+x
¯
)
}
+[
x
2
–{
x+(
–3
)
}
]
y hallar su valor para
x=–2
4 x 2 –{ 3x–( x 2 – 4+x ¯ ) } +[ x 2 –{ x+( –3 ) } ] =4 x 2 –{ 3x–( x 2 –4–x ) } +[ x 2 –{ x–3 } ] =4 x 2 –{ 3x– x 2 +4+x } +[ x 2 –x+3 ] =4 x 2 –4x+ x 2 –4+ x 2 –x+3 =6 x 2 –5x–1 =6 ( –2 ) 2 –5( –2 ) –1 =6( 4 ) +10–1 =24+9 =33 - ¿De cuál expresión hay que restar
–18
x
3
+14
x
2
+84x–45
para que la diferencia dividida entre
x
2
+7x–5
de como cociente
x
2
–9
?
ψ –( –18 x 3 +14 x 2 +84x–45 ) =diferencia Ocupamos la siguiente ecuación de la división dividendo=divisor*cociente+resto Reemplazamos del dividendo puesto que el problema nos dice que es la diferencia de la resta diferencia=divisor*cociente+resto ψ –( –18 x 3 +14 x 2 +84x–45 ) =( x 2 +7x–5 ) ( x 2 –9 ) + (asuminos que es una división exacta de lo contrario no tendría solución) ψ –( –18 x 3 +14 x 2 +84x–45 ) =( x 2 +7x–5 ) ( x 2 –9 ) ψ –( –18 x 3 +14 x 2 +84x–45 ) = x 4 +7 x 3 –5 x 2 –9 x 2 –63x+45 ψ –( –18 x 3 +14 x 2 +84x–45 ) = x 4 +7 x 3 –14 x 2 –63x+45 ψ = x 4 +7 x 3 –14 x 2 –63x+45+( –18 x 3 +14 x 2 +84x–45 ) ψ = x 4 +7 x 3 – 14 x 2 –63x+ 45 –18 x 3 + 14 x 2 +84x– 45 ψ = x 4 –11 x 3 +21x - Probar que
(
a
2
+
b
2
)
(
a+b
)
(
a–b
)
=
a
4
–[
3a+2(
a+2
)
–4(
a+1
)
–a+
b
4
]
( a 2 + b 2 ) ( a+b ) ( a–b ) = a 4 –[ 3a+2( a+2 ) –4( a+1 ) –a+ b 4 ] ( a 2 + b 2 ) ( a 2 – ab + ab – b 2 ) = a 4 –[ 3a+2a+4–4a–4–a+ b 4 ] ( a 2 + b 2 ) ( a 2 – b 2 ) = a 4 –[ 3a + 2a + 4 – 4a – 4 – a + b 4 ] a 4 – a 2 b 2 + a 2 b 2 – b 4 = a 4 –[ + b 4 ] ∴ a 4 – b 4 = a 4 – b 4 - Restar
–
x
3
–5
x
2
+6
de 3 y sumar la diferencia con la suma de
x
2
–x+2
y
–[
x
2
+(
–3x+4
)
–(
–x+3
)
]
