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CAPITULO XXVII

Estudio elemental de la teoría coordinatoria

Ejercicio 204

¿Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar con los números 4, 5, 6, 7, 8 y 9?
$\begin{matrix} m = 6 & n = 3 \\ A_{6}^{3} & = 6.5… (6 - 3 + 1) \\ = 6.5.4 \\ = 120 \end{matrix}$
Con 5 jugadores, ¿de cuántos modos se puede disponer un team de basket de 5 hombres?
$\begin{matrix} P_{5} & = 5! \\ P_{5} & = 5.4.3.2 \\ P_{5} & = 120 \end{matrix}$
Con 7 personas, ¿cuántos comités distintos de 5 personas pueden formarse?
$\begin{matrix} m = 7 & n = 5 \\ C_{7}^{5} & = \frac{A_{7}^{5}}{P_{5}} \\ = \frac{7.6… (7 - 5 + 1)}{5!} \\ = \frac{7.6. 5.4.3}{5.4.3 .2.1} \\ = \frac{}{2} \\ = 21 \end{matrix}$
Entre Guaira y Liverpool hay 6 barcos haciendo los viajes. ¿De cuántos modos puede hacer el viaje de ida y de vuelta una persona si el viaje de vuelta debe hacerlo en un barco distinto del de ida?
$\begin{matrix} m = 6 & n = 5 \\ A_{6}^{2} & = 6 (6 - 2 + 1) \\ = 6 \times 5 \\ = 30 \end{matrix}$
De cuantos modos pueden sentarse 3 personas en 5 sillas?
$\begin{matrix} m = 5 & n = 3 \\ A_{5}^{3} & = 5.4.. (5 - 3 + 1) \\ = 5.4.3 \\ = 60 \end{matrix}$
De 12 libros, ¿cuántas selecciones de 5 libros puden hacerse?
$\begin{matrix} m = 12 & n = 5 \\ C_{5}^{12} & = \frac{A_{12}^{5}}{P_{5}} \\ = \frac{12.11… (12 - 5 + 1)}{5!} \\ = \frac{12 .11. 10 .9.8}{5.4.3.2 .1} \\ = 11.9.8 \\ = 792 \end{matrix}$
¿De cuántos modos puden disponerse las letras de la palabra Ecuador, entrando todas en cada grupo?
$\begin{matrix} P_{7} & = 7! \\ P_{7} & = 7.6.5.4.3.2 \\ P_{7} & = 5040 \end{matrix}$
¿Cuantas selecciones de 4 letras pueden hacerse con las letras de la palabra Alfredo
$\begin{matrix} m = 7 & n = 4 \\ C_{7}^{4} & = \frac{A_{7}^{4}}{P_{5}} \\ = \frac{7.6… (7 - 4 + 1)}{4!} \\ = \frac{7. 6 .5. 4}{4.3.2 .1} \\ = 7.5 \\ = 35 \end{matrix}$
Se tiene un libro de Aritmética, uno de Algebra, uno de Geometría uno de Física y uno de Química. ¿De cuántos modos pueden disponerse en un estante si el de Geometría siempre está en el medio?
$\begin{matrix} P_{5 - 1} & = P_{4} \\ P_{4} & = 4! \\ P_{4} & = 4.3.2 \\ P_{4} & = 24 \end{matrix}$
¿Cuántos números distintos de 6 cifras pueden formarse con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6?
$\begin{matrix} P_{6} & = 6! \\ P_{6} & = 6.5.4.3.2 \\ P_{6} & = 720 \end{matrix}$
¿De cuántos modos pueden disponerse en una fila un sargento y 6 soldados si el sargento siempre es el primero?, ¿si el sargento no ocupa un lugar fijo?
$\begin{matrix} S i e n d o e l p r i m e r o \\ P_{6} & = 6! \\ P_{6} & = 6.5.4.3.2.1 \\ P_{6} & = 720 \\ S i n l u g a r f i j o \\ P_{7} & = 7! \\ P_{7} & = 7.6.5.4.3.2.1 \\ P_{7} & = 5040 \end{matrix}$
¿De cuántos modos pueden sentarse un padre, su esposa y sus cuatro hijos en un banco?, ¿en una mesa redonda, contando siempre a partir del padre?
$\begin{matrix} E n u n b a n c o \\ P_{6} & = 6! \\ P_{6} & = 6.5.4.3.2.1 \\ P_{6} & = 720 \\ E n u n a m e s a r e d o n d a \\ P_{6 - 1} & = P_{5} \\ P_{5} & = 5! \\ P_{5} & = 5.4.3.2.1 \\ P_{5} & = 120 \end{matrix}$
¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 9 banderas, izando 3 de cada vez?
$\begin{matrix} m = 9 & n = 3 \\ A_{9}^{3} & = 9.8… (9 - 3 + 1) \\ = 9.8.7 \\ = 504 \end{matrix}$
¿Cuántos números, mayores de 2000 y menores de 3000, se pueden formar con los números 2, 3, 5 y 6?
$\begin{matrix} P_{4 - 1} & = P_{3} \\ P_{3} & = 3! \\ P_{3} & = 3.2.1 \\ P_{3} & = 6 \end{matrix}$
¿Cuántas selecciones de 3 monedas pueden hacerse con una pieza de 5 centavos, una de 10, una de 20, una de 40 y un de a peso?
$\begin{matrix} m = 5 & n = 3 \\ C_{5}^{3} & = \frac{A_{5}^{3}}{P_{3}} \\ = \frac{5.4… (5 - 3 + 1)}{3!} \\ = \frac{5. . 3}{3.2 .1} \\ = 5.2 \\ = 10 \end{matrix}$
¿De cuántos modos puede disponerse una tripulación de 5, pero el timonel y el stroke son siempre los mismos?
$\begin{matrix} P_{5 - 2} & = P_{3} \\ P_{3} & = 3! \\ P_{3} & = 3.2.1 \\ P_{3} & = 6 \end{matrix}$
Hay 7 hombres para formar una tripulación de 5, pero el timonel y el stroke son siempre los mismos. ¿De cuántos modos se puede disponer la tripulación?
$\begin{matrix} m = 5 & n = 3 \\ A_{5}^{3} & = 5.4… (5 - 3 + 1) \\ = 5.4.3 \\ = 60 \end{matrix}$
¿De cuántos modos pueden disponerse 11 muchachos para formar una rueda?
$\begin{matrix} P_{11 - 1} & = P_{10} \\ P_{10} & = 10! \\ P_{10} & = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 \\ P_{10} & = 3628800 \end{matrix}$
De entre 8 candidatos, ¿Cuántas ternas se puede escoger?
$\begin{matrix} m = 8 & n = 3 \\ C_{8}^{3} & = \frac{A_{8}^{3}}{P_{3}} \\ = \frac{8.7… (8 - 3 + 1)}{3!} \\ = \frac{8.7. 6}{3.2 .1} \\ = 8.7 \\ = 56 \end{matrix}$
¿Cuántos números de 5 cifras que empiecen por 1 y acaben por 8 se pueden formar con los números 1,2,3,4,5,6,7,8?
$\begin{matrix} m = 6 & n = 3 \\ A_{6}^{3} & = 6.5… (6 - 3 + 1) \\ = 6.5.4 \\ = 120 \end{matrix}$
Con 5 consonantes y tres vocales ¿Cuántas palabras distintas de 8 letras pueden formarse?¿Cuántas si las vocales son fijas?
$\begin{matrix} P a l a b r a s D i s t i n t a s \\ P_{8} & = 8! \\ P_{8} & = 8.7.6.5.4.3.2.1 \\ P_{8} & = 40320 \\ V o c a l e s f i j a s \\ P_{5} & = 5! \\ P_{5} & = 5.4.3.2.1 \\ P_{5} & = 120 \end{matrix}$
¿De cuántos modos se puede disponer un team de basket de 5 hombres con 5 jugadores si el centre es fijo?
$\begin{matrix} P_{5 - 1} & = P_{4} \\ P_{4} & = 4! \\ P_{4} & = 4.3.2.1 \\ P_{4} & = 24 \end{matrix}$