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CAPITULO XXXIII

Ecuaciones con radicales que se reducen a segundo grado (soluciones extrañas)
Ejercicio 273
Resolver las ecuaciones siguientes haciendo la verificación con ambas raíces:
  1. x+ 4x+1 =5 ( 4x+1 ) 2 = (5x ) 2 4x+1 =2510x+ x 2 0 =4x1+2510x+ x 2 x 2 14x+24 =0 (x12 ) (x2 ) =0 x2 =0 x 1 =2 x12 =0 x 2 =12 Verificación : Sea x=2 2+ 4( 2 ) +1 =5 2+ 9 =5 2+3 =5 5 =5x=2  si satisface la ecuación dada Sea x=12 12+ 4( 12 ) +1 =5 12+ 25 =5 12+5 =5 17 5x=12  no satisface la ecuación, por tanto es una solución extraña
  2. 2x x1 =3x7 x1 =3x2x7 ( x1 ) 2 = (x7 ) 2 x1 = x 2 14x+49 0 = x 2 14xx+1+49 x 2 15x+50 =0 (x10 ) (x5 ) =0 x5 =0 x 1 =5 x10 =0 x 2 =10 Verificación : Sea x=5 2( 5 ) 51 =3( 5 ) 7 10 4 =157 102 =8 8 =8x=5  si satisface la ecuación dada Sea x=10 2( 10 ) 101 =3( 10 ) 7 20 9 =307 203 =23 17 23x=10  no satisface la ecuación, por tanto es una solución extraña
  3. 5x1 + x+3 =4 ( 5x1 ) 2 = (4 x+3 ) 2 5x1 =168 x+3 +x+3 5x1x316 =8 x+3 4x20 =8 x+3 Dividiendo la ecuación para 4 (x5 ) 2 = (2 x+3 ) 2 x 2 10x+25 =4(x+3 ) x 2 10x+25 =4x+12 x 2 10x+254x12 =0 x 2 14x+13 =0 (x13 ) (x1 ) =0 x1 =0 x 1 =1 x13 =0 x 2 =13 Verificación : Sea x=1 5( 1 ) 1 + 1+3 =4 4 + 4 =4 2+2 =4 4 =4x=1  si satisface la ecuación dada Sea x=13 5( 13 ) 1 + 13+3 =4 64 + 16 =4 8+4 =4 12 4x=12  no satisface la ecuación, por tanto es una solución extraña
  4. 2 x x+5 =1 (2 x 1 ) 2 = ( x+5 ) 2 4x4 x +1 =x+5 4xx5+1 =4 x (3x4 ) 2 = (4 x ) 2 9 x 2 24x+16 =16x 9 x 2 24x+1616x =0 9 x 2 40x+16 =0 9 x 2 36x4x+16 =0 9x(x4 ) 4(x4 ) =0 (x4 ) (9x4 ) =0 x4 =0 x 1 =4 9x4 =0 9x =4 x 2 = 4 9 Verificación : Sea x=4 2 4 4+5 =1 2( 2 ) 9 =1 43 =1 1 =1x=4  si satisface la ecuación dada Sea x= 4 9 2 4 9 4 9 +5 =1 2( 2 3 ) 4+45 9 =1 4 3 49 9 =1 4 3 7 3 =1 47 3 =1 1 1x= 4 9  no satisface la ecuación, por tanto es una solución extraña
  5. 2x1 + x+3 =3 ( 2x1 ) 2 = (3 x+3 ) 2 2x1 =96 x+3 +x+3 2x112x =6 x+3 (x13 ) 2 = (6 x+3 ) 2 x 2 26x+169 =36(x+3 ) x 2 26x+169 =36x+108 x 2 26x+16936x108 =0 x 2 62x+61 =0 (x61 ) (x1 ) =0 x1 =0 x 1 =1 x61 =0 x 2 =61 Verificación : Sea x=1 2( 1 ) 1 + 1+3 =3 21 + 4 =3 1+2 =3 3 =3x=1  si satisface la ecuación dada Sea x=61 2( 61 ) 1 + 61+3 =3 1221 + 64 =3 121 +8 =3 11+8 =3 18 3x=61  no satisface la ecuación, por tanto es una solución extraña
  6. x3 + 2x+1 2 x =0 ( x3 + 2x+1 ) 2 = (2 x ) 2 x3+2 (x3 ) (2x+1 ) +2x+1 =4x 2 2 x 2 +x6x3 =4x3x+2 (2 2 x 2 5x3 ) 2 = (x+2 ) 2 4(2 x 2 5x3 ) = x 2 +4x+4 8 x 2 20x12 x 2 4x4 =0 7 x 2 24x16 =0 7 x 2 28x+4x16 =0 7x(x4 ) +4(x4 ) =0 (7x+4 ) (x4 ) =0 x4 =0 x 1 =4 7x+4 =0 7x =4 x 2 = 4 7 Verificación : Sea x=4 43 + 2( 4 ) +1 2 4 =0 1 + 8+1 2( 2 ) =0 1+34 =0 0 =0x=4  si satisface la ecuación dada Sea x= 4 7 4 7 3 + 2( 4 7 ) +1 2 4 7 =0 421 7 + 8 7 +1 2 4 7 =0 25 7 + 8+7 7 2 2 7 i =0 5 7 i + 1 7 i 2 2 7 i =0 5 7 i + 1 7 i 4 7 i 0x= 4 7  no satisface la ecuación, por tanto es una solución extraña
  7. 5x1 3x = 2x ( 5x1 3x ) 2 = ( 2x ) 2 5x12 (5x1 ) (3x ) +3x =2x 2 (5x1 ) (3x ) =2x4x2 2 15x5 x 2 3+x =2x2 Dividiendo la ecuación para 2 ( 16x5 x 2 3 ) 2 = (x+1 ) 2 16x5 x 2 3 = x 2 +2x+1 16x5 x 2 3 x 2 2x1 =0 6 x 2 +14x4 =0 Dividiendo la ecuación para 2 3 x 2 7x+2 =0 3 x 2 6xx+2 =0 3x(x2 ) (x2 ) =0 (3x1 ) (x2 ) =0 x2 =0 x 1 =2 3x1 =0 3x =1 x 2 = 1 3 Verificación : Sea x=2 5( 2 ) 1 32 = 2( 2 ) 101 1 = 2 2 9 1 =2 31 =2 2 =2x=2  si satisface la ecuación dada Sea x= 1 3 5( 1 3 ) 1 3 1 3 = 2( 1 3 ) 5 3 1 91 3 = 2 3 53 3 8 3 = 2 3 2 3 8 3 = 2 3 8 3 0x= 1 3  no satisface la ecuación, por tanto es una solución extraña
  8. 3x+1 + 5x = 16x+1 ( 3x+1 + 5x ) 2 = ( 16x+1 ) 2 3x+ 1 +2 5x(3x+1 ) +5x =16x+ 1 2 15 x 2 +5x =16x8x 2 15 x 2 +5x =8x Dividiendo la ecuación para 2 ( 15 x 2 +5x ) 2 = (4x ) 2 15 x 2 +5x =16 x 2 0 =16 x 2 15 x 2 5x x 2 5x =0 x(x5 ) =0 x 1 =0 x5 =0 x 2 =5 Verificación : Sea x=0 3( 0 ) +1 + 5( 0 ) = 16( 0 ) +1 1 +0 = 0+1 1 =1x=0  si satisface la ecuación dada Sea x=5 3( 5 ) +1 + 5( 5 ) = 16( 5 ) +1 15+1 + 5 2 = 80+1 16 +5 = 81 4+5 =9 9 =9x=5  si satisface la ecuación
  9. 2x+ 4x3 =3 ( 2x+ 4x3 ) 2 = 3 2 2x+ 4x3 =9 ( 4x3 ) 2 = (92x ) 2 4x3 =8136x+4 x 2 0 =8136x4x+3+4 x 2 4 x 2 40x+84 =0 Dividiendo la ecuación para 4 x 2 10x+21 =0 (x7 ) (x3 ) =0 x7 =0 x 1 =7 x3 =0 x 2 =3 Verificación : Sea x=3 2( 3 ) + 4( 3 ) 3 =3 6+ 123 =3 6+ 9 =3 6+3 =3 9 =3 3 =3x=3  si satisface la ecuación dada Sea x=7 2( 7 ) + 4( 7 ) 3 =3 14+ 283 =3 14+ 25 =3 14+5 =3 19 3x=7  no satisface la ecuación, por tanto es una solución extraña
  10. x+3 + 6 x+3 =5 ( x+3 ) 2 +6 x+3 =5 x+3+6 x+3 =5 (x+9 ) 2 = (5 x+3 ) 2 x 2 +18x+81 =25(x+3 ) x 2 +18x+81 =25x+75 x 2 +18x+8125x75 =0 x 2 7x+6 =0 (x6 ) (x1 ) =0 x6 =0 x 1 =6 x1 =0 x 2 =1 Verificación : Sea x=6 6+3 + 6 6+3 =5 9 + 6 9 =5 3+ 3 =5 3+2 =5 5 =5x=6  si satisface la ecuación dada Sea x=1 1+3 + 6 1+3 =5 4 + 6 4 =5 2+ 2 =5 2+3 =5 5 =5x=1  si satisface la ecuación dada
  11. x + 4 x =5 x+4 x =5 (x+4 ) 2 = (5 x ) 2 x 2 +8x+16 =25x x 2 +8x+1625x =0 x 2 17x+16 =0 (x16 ) (x1 ) =0 x1 =0 x 1 =1 x16 =0 x 2 =16 Verificación : Sea x=1 1 + 4 1 =5 1+4 =5 5 =5x=1  si satisface la ecuación dada Sea x=16 16 + 4 16 =5 4+ 4 4 =5 4+1 =5 5 =5x=1  si satisface la ecuación dada
  12. 2 x = x+7 + 8 x+7 2 x = ( x+7 ) 2 +8 x+7 2 x = x+7+8 x+7 (2 x(x+7 ) ) 2 = (x+15 ) 2 4( x 2 +7x ) = x 2 +30x+225 4 x 2 +28x = x 2 +30x+225 4 x 2 +28x x 2 30x225 =0 3 x 2 2x225 =0 3 x 2 27x+25x225 =0 3x(x9 ) +25(x9 ) =0 (3x+25 ) (x9 ) =0 x9 =0 x 1 =9 3x+25 =0 3x =25 x 2 = 25 3 Verificación : Sea x=9 2 9 = 9+7 + 8 9+7 2( 3 ) = 16 + 8 16 6 =4+ 4 6 =4+2 6 =6x=9  si satisface la ecuación dada Sea x= 25 3 2 25 3 = 25 3 +7 + 8 25 3 +7 2 5 3 i = 25+21 3 + 8 25+21 3 2 5 3 i = 4 3 + 8 4 3 2 5 3 i = 2 3 i + 8 2 3 i 2 5 3 i 2 3 i + 8 3 i 2 x= 25 3  no satisface la ecuación, por tanto es una solución extraña
  13. x+ x+8 =2 x ( x+ x+8 ) 2 = (2 x ) 2 x+ x+8 =4x x+8 =4xx ( x+8 ) 2 = (3x ) 2 x+8 =9 x 2 9 x 2 x8 =0 9 x 2 9x+8x8 =0 9x(x1 ) +8(x1 ) =0 (9x+8 ) (x1 ) =0 x1 =0 x 1 =1 9x+8 =0 9x =8 x 2 = 8 9 Verificación : Sea x=1 1+ 1+8 =2 1 1+ 9 =2 1+3 =2 4 =2 2 =2x=1  si satisface la ecuación dada Sea x= 8 9 8 9 + 8 9 +8 =2 8 9 8 9 + 8+72 9 =2 8 3 i 8 9 + 64 9 =2 8 3 i 8 9 + 8 3 =2 8 3 i 8+24 9 =2 8 3 i 16 9 =2 8 3 i 4 5 2 8 3 ix= 8 9  no satisface la ecuación, por tanto es una solución extraña
  14. 6x + x+7 12x+1 =0 ( 6x + x+7 ) 2 = ( 12x+1 ) 2 6 x +2 (6x ) (x+7 ) + x +7 =12x+1 2 6x+42 x 2 7x =12x+113 2 42 x 2 x =12x12 Dividiendo la ecuación para 2 ( 42 x 2 x ) 2 = (6x6 ) 2 42 x 2 x =36 x 2 72x+36 42 x 2 x36 x 2 +72x36 =0 37 x 2 +71x+6 =0 37 x 2 71x6 =0 37 x 2 74x+3x6 =0 37x(x2 ) +3(x2 ) =0 (37x+3 ) (x2 ) =0 x2 =0 x 1 =2 37x+3 =0 37x =3 x 2 = 3 37 Verificación : Sea x=2 62 + 2+7 12( 2 ) +1 =0 4 + 9 24+1 =0 2+3 25 =0 55 =0 0 =0x=2  si satisface la ecuación dada Sea x= 3 37 6( 3 37 ) + 3 37 +7 12( 3 37 ) +1 =0 6+ 3 37 + 3+259 37 36 37 +1 =0 222+3 37 + 256 37 36+37 37 =0 225 37 + 16 37 37 1 37 =0 15 37 37 + 16 37 37 37 37 =0 37 37 (15+161 ) =0 30 37 37 0x= 3 37  no satisface la ecuación, por tanto es una solución extraña
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