Ejercicio 297

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CAPITULO XXXVII

Progresiones Geométricas
Ejercicio 297
  1. El lunes gané 2 lempiras y cada día después gané el doble de lo que gané el día anterior. ¿Cuánto gané el sábado y cuánto de lunes a sábado?
    Sea a=2  valor inicial que gana el lunes r=2  cantidad de dinero que se duplica respecto al anterior n=6  cantidad de días de lunes a sábado Para calcular lo que ganó el sabado hay que calcular el valor de u u =a r n1 u =2 ( 2 ) 61 u =2. 2 5 = 2 6 u =64  lempiras ganó el sábado Para calcular el total realizo la suma de la serie S = ura r1 S = 64( 2 ) 2 21 S =1282=126  lempiras gano de lunes a sábado
  2. Un dentista arregla 20 piezas a una persona cobrándole un centavo por la primera, 2ctvs. por la segunda, 4 ctvs. por la tercera, 8 ctvs. por la cuarta y así sucesivamente. ¿Cuáles serán los honorarios del dentista?
    Sea: 1:2:4:8:……. a=1,r= 2 =2,n=20 u =a r n1 u =1. 2 201 u = 2 19 S = ura r1 S = 2 19 .21 21 S = 2 20 1 S =1048575ctvs$10.485,75
  3. Un hombre jugó durante 8 días y cada día ganó 1 3 de lo que ganó el día enterior. Si el 8° día ganó 1 balboa. ¿Cuánto ganó el primer día?
    Sea n=8  días que jugó r= 1 3  ganancia por día u=1  ganancia del 8° día a = u r n1 a = 1 ( 1 3 ) 81 a = 1 1 3 7 a = 3 7 a =2187  balboas
  4. El producto del 3° y el 7° término de una progresión geométrica de 9 términos es 1 216 . ¿Cuál es el producto del primer término por el último término?
    n =9impar Como es una progresión geométrica impar, quiere decir que los términos son equidistantes de sus extremos, por tanto se cumple que el producto  del 3° y 7° terminos es igual al producto del primero por el último es decir: u × a= 1 216
  5. En una progresión geométrica de 5 términos el cuadrado del 3° término es 4 81 . Si el último término es 8 81 , ¿cuál es el primero?
    Sea n=5, a 5 = 8 81 ( a 3 ) 2 = 4 81 a 3 = 2 9 Tenemos que encontra el cuarto termino de la serie igulando las razones de los términos que conocemos r= a 5 a 4 ( 1 ) r= a 4 a 3 ( 2 ) Igualo las ecuaciones ( 1 )  y ( 2 ) a 5 a 4 = a 4 a 3 ( a 4 ) 2 = a 3 . a 5 a 4 = a 3 . a 5 a 4 = 2 9 × 8 81 a 4 = 2 3 2 × 2 3 3 4 a 4 = 2 2 3 3 = 4 27  Reemplazo este valor en ( 1 ) r= a 5 a 4 r= 4 27 = 2 3 Ahora se encuentra el primer término a = u r n1 a = 8 81 ( 2 3 ) 51 a = 2 3 3 4 2 4 3 4 = 1 2  es el primer término
  6. El 4° término de una progresión geométrica es 1 4 y el 7° término es 1 32 . Hallar el 6° término.
    Sea a 4 = 1 4 , a 7 = 1 32 Tenemos que encontra el sexto termino de la serie igulando las razones de los términos que conocemos a 4 = a 1 r 41 a 4 = a 1 r 3 a 4 r 3 = a 1 ( 1 ) a 7 = a 1 r 71 a 7 = a 1 r 6 a 7 r 6 = a 1 ( 2 ) Igualo las ecuaciones ( 1 )  y ( 2 ) a 4 r 3 = a 7 r r 3 = a 7 a 4 r = a 7 a 4 3 r = 1 1 4 3 r = 1 8 3 r = 1 2 Con la razón puedo completar la serie a 5 = a 4 .r= 1 4 × 1 2 = 1 8 a 6 = a 5 .r= 1 8 × 1 2 = 1 16 a 6 = 1 16
  7. Un hombre que ahorra cada año los 2 3 de lo que ahorró el año anterior, ahorró el 5° año $160. ¿Cuánto ha ahorrado en los 5 años?
    Sea: r= 2 3 ,n=5,u=160 u =a r n1 a = u r n1 a = 160 ( 2 3 ) 51 a = 2 5 .5 2 4 3 4 a =810 S = ura r1 S = 160( 2 3 ) 180 2 3 1 S = 2110 3 1 3 S =$2110
  8. La población de una ciudad ha aumnetado en progresión geométrica de 59049 almas que eran en 1953 a 100000 almas en 1958. ¿Cuál es la razón de crecimiento por año?
    Sea: n=6 a 1 =59049 a 5 =100000 a 5 = a 1 r n1 100000 =59049 r 61 r 5 = 100000 59049 r = 1 0 5 9 5 5 r = 10 9
  9. Una persona ha ganado en cada año 1 3 de lo que ganó el año anterior. Si el primer año ganó 24300 bolívares, ¿cuánto ha ganado en 6 años?
    Sea: r= 1 3 ,a=24300,n=6 u =a r n1 u =24300 ( 1 3 ) 61 u = 3 5 .100 1 3 5 u =100 S = ura r1 S = 100( 1 3 ) 24300 1 3 1 S = 10072900 3 2 3 S = 3 2 3 S =36400  bolívares
  10. Se compra una finca de 2000 hectáreas a pagar en 15 años de este modo: $1 el primer año, $3 el 2° año, $9 el 3° año, y así sucesivamente. ¿Cuál es el importe de la finca?
    Sea: ÷ ÷ 1:3:9……… a=1,r=3,n=15 u =a r n1 u =1 ( 3 ) 151 u = 3 14 S = ura r1 S = 3 14 .31 31 S = 3 15 1 2 S = 2 S =$7174453