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CAPITULO X

Descomposición Factorial
Ejercicio 102
Factorar por el método anterior, si es posible, las expresiones siguientes, ordenándolas previamente:
Sabemos que en los productos notables que: (a+b ) 3 =( a 3 +3 a 2 b+3a b 2 + b 3 ) (a–b ) 3 =( a 3 –3 a 2 b+3a b 2 – b 3 )
  1. a 3 +3 a 2 +3a+1 Solución  La expresión tiene cuatro términos a  Es la raíz cúbica del primer término 1  Es la raíz cúbica del cuarto término 3( a 2 ) ( 1 ) =3 a 2  Segundo término cumple con el producto notable 3( a ) ( 1 2 ) =3a  Tercer término cumple con el producto notable  Todos los términos son positivos ⇒ a 3 +3 a 2 +3a+1= (a+1 ) 3
  2. 27–27x+9 x 2 – x 3 Solución  La expresión tiene cuatro términos 3  Es la raíz cúbica del primer término x  Es la raíz cúbica del cuarto término 3( 3 2 ) ( x ) =27 x 2  Segundo término cumple con el producto notable 3( 3 ) ( x 2 ) =9 x 2  Tercer término cumple con el producto notable  Los términos tienen signos alternados ⇒ 27–27x+9 x 2 – x 3 = (3–x ) 3
  3. m 3 +3 m 2 n+3m n 2 + n 3 Solución  La expresión tiene cuatro términos m  Es la raíz cúbica del primer término n  Es la raíz cúbica del cuarto término 3( m 2 ) ( n ) =3 m 2 n  Segundo término cumple con el producto notable 3( m ) ( n 2 ) =3m n 2  Tercer término cumple con el producto notable  Todos los términos son positivos ⇒ m 3 +3 m 2 n+3m n 2 + n 3 = (m+n ) 3
  4. 1+3 a 2 –3a– a 3 =1–3a+3 a 2 – a 3 Solución  La expresión tiene cuatro términos 1  Es la raíz cúbica del primer término a  Es la raíz cúbica del cuarto término 3( 1 2 ) ( a ) =3a  Segundo término cumple con el producto notable 3( 1 ) ( a 2 ) =3 a 2  Tercer término cumple con el producto notable  Los términos tienen signos alternados ⇒ 1–3a+3 a 2 – a 3 = (1–a ) 3
  5. 8+12 a 2 +6 a 4 + a 6 Solución  La expresión tiene cuatro términos 2  Es la raíz cúbica del primer término a 2  Es la raíz cúbica del cuarto término 3( 2 2 ) ( a 2 ) =12 a 2  Segundo término cumple con el producto notable 3( 2 ) ( a 2 ) 2 =6 a 4  Tercer término cumple con el producto notable  Todos los términos son positivos ⇒ 8+12 a 2 +6 a 4 + a 6 = (2+ a 2 ) 3
  6. 125 x 3 +1+75 x 2 +15x=125 x 3 +75 x 2 +15x+1 Solución  La expresión tiene cuatro términos 5x  Es la raíz cúbica del primer término 1  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 (5x ) 2 ( 1 ) =75 x 2  Segundo término cumple con el producto notable 3(5x ) ( 1 ) 2 =15x  Tercer término cumple con el producto notable  Todos los términos son positivos ⇒ 125 x 3 +75 x 2 +15x+1= (5x+1 ) 3
  7. 8 a 3 –36 a 2 b+54a b 2 –27 b 3 Solución  La expresión tiene cuatro términos 2a  Es la raíz cúbica del primer término 3b  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 (2a ) 2 (3b ) =36 a 2 b  Segundo término cumple con el producto notable 3(2a ) (3b ) 2 =54a b 2  Tercer término cumple con el producto notable  Los términos tienen signos alternados ⇒ 8 a 3 –36 a 2 b+54a b 2 –27 b 3 = (2a–3b ) 3
  8. 27 m 3 +108 m 2 n+144m n 2 +64 n 3 Solución  La expresión tiene cuatro términos 3m  Es la raíz cúbica del primer término 4n  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 (3m ) 2 (4n ) =108 m 2 n  Segundo término cumple con el producto notable 3(3m ) (4n ) 2 =144m n 2  Tercer término cumple con el producto notable  Todos los términos son positivos ⇒ 27 m 3 +108 m 2 n+144m n 2 +64 n 3 = (3m+4n ) 3
  9. x 3 –3 x 2 +3x+1 Solución  La expresión tiene cuatro términos x  Es la raíz cúbica del primer término 1  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 ( x ) 2 ( 1 ) =3 x 2  Segundo término cumple con el producto notable 3( x ) ( 1 ) 2 =3x  Tercer término cumple con el producto notable  Los términos no tienen signos alternados ⇒ x 3 –3 x 2 +3x+1  no es un cubo perfecto
  10. 1+12 a 2 b–6ab–8 a 3 b 3 =1–6ab+12 a 2 b–8 a 3 b 3 Solución  La expresión tiene cuatro términos 1  Es la raíz cúbica del primer término 2ab  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 ( 1 ) 2 (2ab ) =6ab  Segundo término cumple con el producto notable 3( 1 ) (2ab ) 2 =12 a 2 b 2  Tercer término no cumple con el producto notable ⇒ 1–6ab+12 a 2 b–8 a 3 b 3  no es un cubo perfecto
  11. 125 a 3 +150 a 2 b+60a b 2 +8 b 3 Solución  La expresión tiene cuatro términos 5a  Es la raíz cúbica del primer término 2b  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 (5a ) 2 (2b ) =150 a 2 b  Segundo término cumple con el producto notable 3(5a ) (2b ) 2 =60a b 2  Tercer término cumple con el producto notable  Todos los términos son positivos ⇒ 125 a 3 +150 a 2 b+60a b 2 +8 b 3 = (5a+2b ) 3
  12. 8+36x+54 x 3 +27 x 3 Solución  La expresión tiene cuatro términos 2  Es la raíz cúbica del primer término 3x  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 ( 2 ) 2 (3x ) =36x  Segundo término cumple con el producto notable 3( 2 ) (3x ) 2 =54 x 3  Tercer término cumple con el producto notable  Todos los términos son positivos ⇒ 8+36x+54 x 3 +27 x 3 = (2+3x ) 3
  13. 8–12 a 2 –6 a 4 – a 6 Solución La expresión tiene tres términos negativos y uno positivo ⇒ 8–12 a 2 –6 a 4 – a 6  no es un cubo perfecto
  14. a 6 +3 a 4 b 3 +3 a 2 b 6 + b 9 Solución  La expresión tiene cuatro términos a 2  Es la raíz cúbica del primer término b 3  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 ( a 2 ) 2 ( b 3 ) =3 a 4 b 3  Segundo término cumple con el producto notable 3( a 2 ) ( b 3 ) 2 =3 a 2 b 6  Tercer término cumple con el producto notable  Todos los términos son positivos ⇒ a 6 +3 a 4 b 3 +3 a 2 b 6 + b 9 = ( a 2 + b 3 ) 3
  15. x 9 –9 x 6 y 4 +27 x 3 y 8 –27 y 12 Solución  La expresión tiene cuatro términos x 3  Es la raíz cúbica del primer término 3 y 4  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 ( x 3 ) 2 (3 y 4 ) =9 x 6 y 4  Segundo término cumple con el producto notable 3( x 3 ) (3 y 4 ) 2 =27 x 3 y 8  Tercer término cumple con el producto notable  Los términos tienen signos alternados ⇒ x 9 –9 x 6 y 4 +27 x 3 y 8 –27 y 12 = ( x 3 –3 y 4 ) 3
  16. 64 x 3 +240 x 2 y+300x y 2 +125 y 3 Solución  La expresión tiene cuatro términos 4x  Es la raíz cúbica del primer término 5y  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 (4x ) 2 (5y ) =240 x 2 y  Segundo término cumple con el producto notable 3(4x ) (5y ) 2 =300x y 2  Tercer término cumple con el producto notable  Todos los términos son positivos ⇒ 64 x 3 +240 x 2 y+300x y 2 +125 y 3 = (4x+5y ) 3
  17. 216–756 a 2 +882 a 4 –343 a 6 Solución  La expresión tiene cuatro términos 6  Es la raíz cúbica del primer término 7 a 2  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 ( 6 ) 2 (7 a 2 ) =756 a 2  Segundo término cumple con el producto notable 3( 6 ) (7 a 2 ) 2 =882 a 4  Tercer término cumple con el producto notable  Los términos tienen signos alternados ⇒ 216–756 a 2 +882 a 4 –343 a 6 = (6–7 a 2 ) 3
  18. 125 x 12 +600 x 8 y 5 +960 x 4 y 10 +512 y 15 Solución  La expresión tiene cuatro términos 25 x 4  Es la raíz cúbica del primer término 8 y 5  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 (25 x 4 ) 2 (8 y 5 ) =600 x 8 y 5  Segundo término cumple con el producto notable 3(25 x 4 ) (8 y 5 ) 2 =960 x 4 y 10  Tercer término cumple con el producto notable  Todos los términos son positivos ⇒ 125 x 12 +600 x 8 y 5 +960 x 4 y 10 +512 y 15 = (25 x 4 +8 y 5 ) 3
  19. 3 a 12 +1+3 a 6 + a 18 =1+3 a 6 +3 a 12 + a 18 Solución  La expresión tiene cuatro términos 1  Es la raíz cúbica del primer término a 6  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 ( 1 ) 2 ( a 6 ) =3 a 6  Segundo término cumple con el producto notable 3( 1 ) ( a 6 ) 2 =3 a 12  Tercer término cumple con el producto notable  Todos los términos son positivos ⇒ 1+3 a 6 +3 a 12 + a 18 = (1+ a 6 ) 3
  20. m 3 –3a m 2 n+3 a 2 m n 2 – a 3 n 3 Solución  La expresión tiene cuatro términos m  Es la raíz cúbica del primer término an  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 ( m ) 2 (an ) =3a m 2 n  Segundo término cumple con el producto notable 3( m ) (an ) 2 =3 a 2 m n 2  Tercer término cumple con el producto notable  Los términos tienen signos alternados ⇒ m 3 –3a m 2 n+3 a 2 m n 2 – a 3 n 3 = (m–an ) 3
  21. 1+18 a 2 b 3 +108 a 4 b 6 +216 a 6 b 9 Solución  La expresión tiene cuatro términos 1  Es la raíz cúbica del primer término 6 a 2 b 3  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 ( 1 ) 2 (6 a 2 b 3 ) =186 a 2 b 3  Segundo término cumple con el producto notable 3( 1 ) (6 a 2 b 3 ) 2 =108 a 4 b 6  Tercer término cumple con el producto notable  Todos los términos son positivos ⇒ 1+18 a 2 b 3 +108 a 4 b 6 +216 a 6 b 9 = (1+6 a 2 b 3 ) 3
  22. 64 x 9 –240 x 6 y 4 +300 x 3 y 8 –125 y 12 Solución  La expresión tiene cuatro términos 4 x 3  Es la raíz cúbica del primer término 5 y 4  Es la raíz cúbica del cuarto término 3 (4 x 3 ) 2 (5 y 4 ) =240 x 6 y 4  Segundo término cumple con el producto notable 3(4 x 3 ) (5 y 4 ) 2 =300 x 3 y 8  Tercer término cumple con el producto notable  Los términos tienen signos alternados ⇒ 64 x 9 –240 x 6 y 4 +300 x 3 y 8 –125 y 12 = (4 x 3 –5 y 4 ) 3
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