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CAPITULO XXIII

Ecuaciones indeterminadas
Problemas sobre ecuaciones indeterminadas
Ejercicio 174
  1. ¿De cuántos modos se pueden tener $ 42 en billetes de $ 2 y de $ 5?
    x  Billetes de $2 y  Billetes de $5 2x+5y =42 2x =42–5y x = 42–5y 2 x = 40+2–3y–2y 2 x = 2 + 2 2 – 3y 2 – 2 y 2 x =20–y+ 2–3y 2 x–20+y = 2–3y 2 2–3y 2 ⇒ Entero 2–3y 2 = 2–2y–y 2 = 2 2 – 2 y 2 – y 2 =–y+ 2–y 2 2–y 2 =m 2–y =2m –y =2m–2 y =2–2m  Reemplazo en la ecuación inicial 2x+5(2–2m ) =42 2x+10–10m =42 2x =42–10+10m 2x =32+10m x = 2 (16+5m ) 2 x =5m+16 { y=2–2m x=5m+16 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=16 y=2 ⇒ 16 de $2 y 2 de $5 m=–1 x=11 y=4 ⇒ 11 de $2 y 4 de $5 m=–2 x=6 y=6 ⇒ 6 de $2 y 6 de $5 m=–3 x=1 y=8 ⇒ 1 de $2 y 8 de $5
  2. ¿De cuántos modos se pueden pagar $ 45 en monedas de $ 5 y de $ 10?
    x  Monedas de $5 y  Monedas de $10 5x+10y =45 5x =45–10y x = 45–10y 5 x = 40+5–5y–5y 5 x = 5 + 5 5 – 5 y 5 – 5 y 5 x =8–y+ 5–5y 5 x–8+y =1–y 1–y =m –y =m–1 y =1–m  Reemplazo en la ecuación inicial 5x+10(1–m ) =45 5x+10–10m =45 5x =45–10+10m 5x =35+10m x = 5 (7+2m ) 5 x =2m+7 { y=1–m x=2m+7 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=7 y=1 ⇒ 7 de $5 y 1 de $10 m=–1 x=5 y=2 ⇒ 5 de $5 y 2 de $10 m=–2 x=3 y=3 ⇒ 3 de $5 y 3 de $10 m=–3 x=1 y=4 ⇒ 1 de $5 y 4 de $10
  3. Hallar dos números tales que si uno se multiplica por 5 y el otro por 3, la suma de sus productos sea 62.
    x  número que se multiplica por 5 y  número que se multiplica por 3 5x+3y =62 3y =62–5x y = 62–5x 3 y = 60+2–3x–2x 3 y = 3 + 2 3 – 3 x 3 – 2x 3 y =20–x+ 2–2x 3 y–20+x = 2–2x 3 2–2x 3 ⇒ Entero Multiplico por 5 10–10x 3 = 9+1–9x–x 3 = 3 + 1 3 – x 3 – x 3 =3–3x+ 1–x 3 1–x 3 =m 1–x =3m –x =3m–1 x =1–3m  Reemplazo en la ecuanción inicial 5(1–3m ) +3y =62 5–15m+3y =62 3y =62–5+15m 3y =57+15m y = 3 (5m+19 ) 3 y =5m+19 { x=1–3m y=5m+19 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=1 y=19 ⇒ 1 y 19 m=–1 x=4 y=14 ⇒ 4 y 14 m=–2 x=7 y=9 ⇒ 7 y 9 m=–3 x=10 y=4 ⇒ 10 y 4
  4. Un hombre pagó 340 bolívares por sombreros a bs. 8 y pares de zapatos a bs. 15. ¿Cuántos sombreros y cuántos pares de zapatos compró?
    x  sombreros y  pares de zapatos 8x+15y =340 8x =340–15y x = 340–15y 8 x = 336+4–8y–7y 8 x = 8 + 4 8 – 8 y 8 – 7y 8 x =42–y+ 4–7y 8 x–42+y = 4–7y 8 4–7y 8 ⇒ Entero Multiplico por 7 28–49y 8 = 24+4–48y–y 8 = 8 + 4 8 – y 8 – y 8 =3–6y+ 4–y 8 4–y 8 =m 4–y =8m –y =8m–4 y =4–8m  Reemplazo en la ecuación inicial 8x+15(4–8m ) =340 8x+60–120m =340 8x =340–60+120m 8x =280+120m x = 8 (15m+35 ) 8 x =15m+35 { y=4–8m x=15m+35 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=35 y=4 ⇒ 35 sombreros y 4 pares de zapatos m=–1 x=20 y=12 ⇒ 20 sombreros y 12 pares de zapatos m=–2 x=5 y=20 ⇒ 5 sombreros y 20 pares de zapatos
  5. Un hombre pagó $ 42 por tela de lana a $ 1.50 el metro y de seda a $ 2.50 el metro. ¿Cuántos metros de lana y cuántos de seda compro?
    x  metros de tela de lana y  metros de tela de ceda 1,50x+2,50y =42 Multiplico por 2 la ecuación para obtener valores enteros 3x+5y =84 3x =84–5y x = 84–5y 3 x = 81+3–3y–2y 3 x = 3 + 3 3 – 3 y 3 – 2y 3 x =27–y+ 3–2y 3 x–27+y = 3–2y 3 3–2y 3 ⇒ Entero Multiplico por 5 15–10y 3 = 12+3–9y–y 3 = 3 + 3 3 – y 3 – y 3 =4–3y+ 3–y 3 3–y 3 =m 3–y =3m –y =3m–3 y =3–3m  Reemplazo en la ecuacion inicial 3x+5(3–3m ) =84 3x+15–15m =84 3x =84–15+15m 3x =69+15m x = 3 (5m+23 ) 3 x =5m+23 { y=3–3m x=5m+23 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=23 y=3 ⇒ 23 m. de tela de lana y 3 m. de tela de seda m=–1 x=18 y=6 ⇒ 18 m. de tela de lana y 6 m. de tela de seda m=–2 x=13 y=9 ⇒ 13 m. de tela de lana y 9 m. de tela de seda m=–3 x=8 y=12 ⇒ 8 m. de tela de lana y 12 m. de tela de seda m=–4 x=3 y=15 ⇒ 3 m. de tela de lana y 15 m. de tela de seda
  6. En una excursión cada niño pagaba 45 cts. y cada adulto $ 1. Si el gasto total fue de $ 17, ¿Cuántos adultos y niños iban?
    x  niños y  adultos 0,45x+y =17 Multiplico la ecuación por 20 9x+20y =340 9x =340–20y x = 340–20y 9 x = 333+7–18y–2y 9 x = 9 + 7 9 – y 9 – 2y 9 x =37–2y+ 7–2y 9 x–37+2y = 7–2y 9 7–2y 9 ⇒ Entero Multiplico por 14 98–28y 9 = 90+8–27y–y 9 = 9 + 8 9 – y 9 – y 9 =10–3y+ 8–y 9 8–y 9 =m 8–y =9m –y =9m–8 y =8–9m  Reemplazo en la ecuación inicial 9x+20(8–9m ) =340 9x+160–180m =340 9x =340–160+180m 9x =180m+180 x = 9 (20m+20 ) 9 x =20m+20 { y=8–9m x=20m+20 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=20 y=8 ⇒ 20 niños y 8 adultos
  7. Un ganadero compró caballos y vacas por 41.000 sucres. Cada caballo le costó 460 sucres y cada vaca 440 sucres. ¿Cuántos caballos y vacas compro?
    x  número de caballos y  número de vacas 460x+440y =41000 Multiplico la ecuación por  1 20 23x+22y =2050 22y =2050–23x y = 2050–23x 22 y = 2046+4–22x–x 22 y = 22 + 4 22 – 22 x 22 – x 22 y =93–x+ 4–x 22 4–x 22 =m 4–x =22m –x =22m–4 x =4–22m  Reemplazo en la ecuación inicial 23(4–22m ) +22y =2050 92–506m+22y =2050 22y =2050–92+506m 22y =1958+506m y = 22 (89+23m ) 22 y =23m+89 { x=4–22m y=23m+89 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=4 y=89 ⇒ 4 vacas y 89 caballos m=–1 x=26 y=66 ⇒ 26 vacas y 66 caballos m=–2 x=48 y=43 ⇒ 48 vacas y 43 caballos m=–3 x=70 y=20 ⇒ 70 vacas y 20 caballos
  8. El triplo de un número aumentado en 3 equivale al quíntuplo de otro aumentado en 5. Hallar los menores números positivos que cumplen esta condición.
    x  un número natural y  otro número natural 3x+3 =5y+5 3x =5y+5–3 3x =5y+2 x = 5y+2 3 5y+2 3 ⇒ Entero Multiplico por 2 10y+4 3 = 9y+y+3+1 3 = y 3 + y 3 + 3 3 + 1 3 =1+3y+ 1+y 3 1+y 3 =m 1+y =3m y =3m–1  Reemplazo en la ecuación inicial 3x–5(3m–1 ) =2 3x–15m+5 =2 3x =2–5+15m 3x =15m–3 x = 3 (5m–1 ) 3 x =5m–1 { y=3m–1 x=5m–1 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=1 x=4 y=2 ⇒ 4 y 2
  9. ¿De cuántos modos se pueden pagar $ 2.10 con monedas de 25 cts. y de 10 cts.?
    x  monedas de 25 ctvs. y  monedas de 10 ctvs. 0,25x+0,10y =2,10 Multiplico la ecuación por 100 25x+10y =210 10y =210–25x y = 210–25x 10 y = 200+10–20x–5x 10 y = 20 0 1 0 + 10 10 – 2 0 x 1 0 – 5x 10 y =20–2x+ 10–5x 10 y–20 +2x= 2–x 2 2–x 2 =m 2–x =2m –x =2m–2 x =2–2m  Reemplazo en la ecuación inicial 25(2–2m ) +10y =210 50–50m+10y =210 10y =210–50+50m 10y =50m+160 y = 1 0 (5m+16 ) 1 0 y =5m+16 { x=2–2m y=5m+16 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=2 y=16 ⇒ 2 monedas de 25 ctvs. y 16 monedas de 10 ctvs. m=–1 x=4 y=11 ⇒ 4 monedas de 25 ctvs. y 11 monedas de 10 ctvs. m=–2 x=6 y=6 ⇒ 6 monedas de 25 ctvs. y 6 monedas de 10 ctvs. m=–3 x=8 y=1 ⇒ 8 monedas de 25 ctvs. y 1 monedas de 10 ctvs.
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