Ejercicio 174

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CAPITULO XXIII

Ecuaciones indeterminadas
Problemas sobre ecuaciones indeterminadas
Ejercicio 174
  1. ¿De cuántos modos se pueden tener $ 42 en billetes de $ 2 y de $ 5?
    x  Billetes de $2 y  Billetes de $5 2x+5y =42 2x =425y x = 425y 2 x = 40+23y2y 2 x = 2 + 2 2 3y 2 2 y 2 x =20y+ 23y 2 x20+y = 23y 2 23y 2 Entero 23y 2 = 22yy 2 = 2 2 2 y 2 y 2 =y+ 2y 2 2y 2 =m 2y =2m y =2m2 y =22m  Reemplazo en la ecuación inicial 2x+5(22m ) =42 2x+1010m =42 2x =4210+10m 2x =32+10m x = 2 (16+5m ) 2 x =5m+16 { y=22m x=5m+16 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=16 y=2 16 de $2 y 2 de $5 m=1 x=11 y=4 11 de $2 y 4 de $5 m=2 x=6 y=6 6 de $2 y 6 de $5 m=3 x=1 y=8 1 de $2 y 8 de $5
  2. ¿De cuántos modos se pueden pagar $ 45 en monedas de $ 5 y de $ 10?
    x  Monedas de $5 y  Monedas de $10 5x+10y =45 5x =4510y x = 4510y 5 x = 40+55y5y 5 x = 5 + 5 5 5 y 5 5 y 5 x =8y+ 55y 5 x8+y =1y 1y =m y =m1 y =1m  Reemplazo en la ecuación inicial 5x+10(1m ) =45 5x+1010m =45 5x =4510+10m 5x =35+10m x = 5 (7+2m ) 5 x =2m+7 { y=1m x=2m+7 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=7 y=1 7 de $5 y 1 de $10 m=1 x=5 y=2 5 de $5 y 2 de $10 m=2 x=3 y=3 3 de $5 y 3 de $10 m=3 x=1 y=4 1 de $5 y 4 de $10
  3. Hallar dos números tales que si uno se multiplica por 5 y el otro por 3, la suma de sus productos sea 62.
    x  número que se multiplica por 5 y  número que se multiplica por 3 5x+3y =62 3y =625x y = 625x 3 y = 60+23x2x 3 y = 3 + 2 3 3 x 3 2x 3 y =20x+ 22x 3 y20+x = 22x 3 22x 3 Entero Multiplico por 5 1010x 3 = 9+19xx 3 = 3 + 1 3 x 3 x 3 =33x+ 1x 3 1x 3 =m 1x =3m x =3m1 x =13m  Reemplazo en la ecuanción inicial 5(13m ) +3y =62 515m+3y =62 3y =625+15m 3y =57+15m y = 3 (5m+19 ) 3 y =5m+19 { x=13m y=5m+19 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=1 y=19 1 y 19 m=1 x=4 y=14 4 y 14 m=2 x=7 y=9 7 y 9 m=3 x=10 y=4 10 y 4
  4. Un hombre pagó 340 bolívares por sombreros a bs. 8 y pares de zapatos a bs. 15. ¿Cuántos sombreros y cuántos pares de zapatos compró?
    x  sombreros y  pares de zapatos 8x+15y =340 8x =34015y x = 34015y 8 x = 336+48y7y 8 x = 8 + 4 8 8 y 8 7y 8 x =42y+ 47y 8 x42+y = 47y 8 47y 8 Entero Multiplico por 7 2849y 8 = 24+448yy 8 = 8 + 4 8 y 8 y 8 =36y+ 4y 8 4y 8 =m 4y =8m y =8m4 y =48m  Reemplazo en la ecuación inicial 8x+15(48m ) =340 8x+60120m =340 8x =34060+120m 8x =280+120m x = 8 (15m+35 ) 8 x =15m+35 { y=48m x=15m+35 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=35 y=4 35 sombreros y 4 pares de zapatos m=1 x=20 y=12 20 sombreros y 12 pares de zapatos m=2 x=5 y=20 5 sombreros y 20 pares de zapatos
  5. Un hombre pagó $ 42 por tela de lana a $ 1.50 el metro y de seda a $ 2.50 el metro. ¿Cuántos metros de lana y cuántos de seda compro?
    x  metros de tela de lana y  metros de tela de ceda 1,50x+2,50y =42 Multiplico por 2 la ecuación para obtener valores enteros 3x+5y =84 3x =845y x = 845y 3 x = 81+33y2y 3 x = 3 + 3 3 3 y 3 2y 3 x =27y+ 32y 3 x27+y = 32y 3 32y 3 Entero Multiplico por 5 1510y 3 = 12+39yy 3 = 3 + 3 3 y 3 y 3 =43y+ 3y 3 3y 3 =m 3y =3m y =3m3 y =33m  Reemplazo en la ecuacion inicial 3x+5(33m ) =84 3x+1515m =84 3x =8415+15m 3x =69+15m x = 3 (5m+23 ) 3 x =5m+23 { y=33m x=5m+23 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=23 y=3 23 m. de tela de lana y 3 m. de tela de seda m=1 x=18 y=6 18 m. de tela de lana y 6 m. de tela de seda m=2 x=13 y=9 13 m. de tela de lana y 9 m. de tela de seda m=3 x=8 y=12 8 m. de tela de lana y 12 m. de tela de seda m=4 x=3 y=15 3 m. de tela de lana y 15 m. de tela de seda
  6. En una excursión cada niño pagaba 45 cts. y cada adulto $ 1. Si el gasto total fue de $ 17, ¿Cuántos adultos y niños iban?
    x  niños y  adultos 0,45x+y =17 Multiplico la ecuación por 20 9x+20y =340 9x =34020y x = 34020y 9 x = 333+718y2y 9 x = 9 + 7 9 y 9 2y 9 x =372y+ 72y 9 x37+2y = 72y 9 72y 9 Entero Multiplico por 14 9828y 9 = 90+827yy 9 = 9 + 8 9 y 9 y 9 =103y+ 8y 9 8y 9 =m 8y =9m y =9m8 y =89m  Reemplazo en la ecuación inicial 9x+20(89m ) =340 9x+160180m =340 9x =340160+180m 9x =180m+180 x = 9 (20m+20 ) 9 x =20m+20 { y=89m x=20m+20 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=20 y=8 20 niños y 8 adultos
  7. Un ganadero compró caballos y vacas por 41.000 sucres. Cada caballo le costó 460 sucres y cada vaca 440 sucres. ¿Cuántos caballos y vacas compro?
    x  número de caballos y  número de vacas 460x+440y =41000 Multiplico la ecuación por  1 20 23x+22y =2050 22y =205023x y = 205023x 22 y = 2046+422xx 22 y = 22 + 4 22 22 x 22 x 22 y =93x+ 4x 22 4x 22 =m 4x =22m x =22m4 x =422m  Reemplazo en la ecuación inicial 23(422m ) +22y =2050 92506m+22y =2050 22y =205092+506m 22y =1958+506m y = 22 (89+23m ) 22 y =23m+89 { x=422m y=23m+89 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=4 y=89 4 vacas y 89 caballos m=1 x=26 y=66 26 vacas y 66 caballos m=2 x=48 y=43 48 vacas y 43 caballos m=3 x=70 y=20 70 vacas y 20 caballos
  8. El triplo de un número aumentado en 3 equivale al quíntuplo de otro aumentado en 5. Hallar los menores números positivos que cumplen esta condición.
    x  un número natural y  otro número natural 3x+3 =5y+5 3x =5y+53 3x =5y+2 x = 5y+2 3 5y+2 3 Entero Multiplico por 2 10y+4 3 = 9y+y+3+1 3 = y 3 + y 3 + 3 3 + 1 3 =1+3y+ 1+y 3 1+y 3 =m 1+y =3m y =3m1  Reemplazo en la ecuación inicial 3x5(3m1 ) =2 3x15m+5 =2 3x =25+15m 3x =15m3 x = 3 (5m1 ) 3 x =5m1 { y=3m1 x=5m1 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=1 x=4 y=2 4 y 2
  9. ¿De cuántos modos se pueden pagar $ 2.10 con monedas de 25 cts. y de 10 cts.?
    x  monedas de 25 ctvs. y  monedas de 10 ctvs. 0,25x+0,10y =2,10 Multiplico la ecuación por 100 25x+10y =210 10y =21025x y = 21025x 10 y = 200+1020x5x 10 y = 20 0 1 0 + 10 10 2 0 x 1 0 5x 10 y =202x+ 105x 10 y20 +2x= 2x 2 2x 2 =m 2x =2m x =2m2 x =22m  Reemplazo en la ecuación inicial 25(22m ) +10y =210 5050m+10y =210 10y =21050+50m 10y =50m+160 y = 1 0 (5m+16 ) 1 0 y =5m+16 { x=22m y=5m+16 Reemplazo m, en el sistema para obtener soluciones enteras positivas m=0 x=2 y=16 2 monedas de 25 ctvs. y 16 monedas de 10 ctvs. m=1 x=4 y=11 4 monedas de 25 ctvs. y 11 monedas de 10 ctvs. m=2 x=6 y=6 6 monedas de 25 ctvs. y 6 monedas de 10 ctvs. m=3 x=8 y=1 8 monedas de 25 ctvs. y 1 monedas de 10 ctvs.