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CAPITULO XXXVII

Progresiones
Ejercicio 290
  1. Hallar la suma de los 20 primeros múltiplos de 7.
    Sea: a=7,n=20,r=7 u =a+(n1 ) r u =7+(201 ) 7 u =7+( 19 ) 7 u =7+133=140 S = (a+u ) n 2 S = (7+140 ) 2 S =1470
  2. Hallar la suma de los 80 primeros múltiplos de 5.
    Sea: a=5,n=80,r=5 u =a+(n1 ) r u =5+(801 ) 5 u =5+( 79 ) 5 u =5+395=400 S = (a+u ) n 2 S = (5+400 ) 2 S =16200
  3. Hallar la suma de los 43 primeros números terminados en 9.
    Sea: a=9,n=43,r=10 u =a+(n1 ) r u =9+(431 ) 10 u =9+( 42 ) 10 u =9+420=429 S = (a+u ) n 2 S = (9+429 ) 43 2 S = 43 2 S =9417
  4. Hallar la suma de los 100 primeros números pares.
    Sea: a=2,n=100,r=2 u =a+(n1 ) r u =2+(1001 ) 2 u =2+( 99 ) 2 u =2+198=200 S = (a+u ) n 2 S = (2+200 ) 2 S =10100
  5. Hallar la suma de los 100 primeros números impares mayores que 7.
    Sea: a=9,n=100,r=2 u =a+(n1 ) r u =9+(1001 ) 2 u =9+( 99 ) 2 u =9+198=207 S = (a+u ) n 2 S = (9+207 ) 2 S =10800
  6. Compré 50 libros. Por el primero pagué 8 ctvs. y por cada uno de los demás 3 ctvs. más que por el anterior. Hallar el importe de la compra.
    Sea: a=8,n=50,r=3 u =a+(n1 ) r u =8+(501 ) 3 u =8+( 49 ) 3 u =8+147=155 S = (a+u ) n 2 S = (8+155 ) 2 S =4075ctvs
  7. Un destista arregló a un hombre todas las piezas de la boca que tenía completas. Por la primera le cobró $1 y por cada una de las demás 20 ctvs. más que por la anterior. ¿Cuánto cobró el dentista?
    Sea: 32 son las piezas dentales que una persona adulta por lo general tiene a=1,n=32,r=0,2 1 5 u =a+(n1 ) r u =1+(321 ) 1 5 u =1+( 31 ) 1 5 u = 5+31 5 = 36 5 S = (a+u ) n 2 S = (1+ 36 5 ) 2 S =( 41 5 ) 16 S =$131,20
  8. Hallar la suma de los 72 primeros múltiplos de 11 que siguen a 66.
    Sea: a=77,n=72,r=11 u =a+(n1 ) r u =77+(721 ) 11 u =77+( 71 ) 11 u =77+781=858 S = (a+u ) n 2 S = (77+858 ) 2 S =( 935 ) 36 S =33660
  9. ¿Cuánto ha ahorrado un hombre en 5 años si en enero del primer año ahorro bs. 2 y en cada mes posterior ahorró bs. 3 más que en el precedente?
    Sea: a=2,n=12 × 5=60,r=3 u =a+(n1 ) r u =2+(601 ) 3 u =2+( 59 ) 3 u =2+177=179 S = (a+u ) n 2 S = (2+179 ) 2 S =( 181 ) 30 S =5430bs
  10. Un hombre avanza en el primer segundo de su carrera 6 m y en cada segundo posterior avanza 25 cm más que en el anterior. ¿Cuánto avanzó en el 8° segundo y que distancia habrá recorrido en 8 segs.?
    Sea: a=6,n=8,r=0,25 1 4 u =a+(n1 ) r u =6+(81 ) 1 4 u =6+( 7 ) 1 4 u =6+ 7 4 = 31 4 7,75 m es la distancia que avanzo en el octavo segundo S = (a+u ) n 2 S = (6+ 31 4 ) 2 S =( 55 4 )4 S =55m distancia recorrida en 8 segundos
  11. Los ahorros de 3 años de un hombre están en progresión aritmética. Si los tres años ha ahorrado 2400 sucres, y el primer año ahorró la mitad de lo que ahorró el segundo. ¿Cúanto ahorró cada año?
    Sea: S=2400,n=3 x = a 2  valor ahorrado el segundo año x 2 = a 1  valor ahorrado el primer año  sea la serie a 1 , a 2 , a 3 r = a 2 a 1 ( 1 ) r = a 3 a 2 ( 2 ) Sumando las ecuaciones 1 y2 2r = a 3 a 1 r = a 3 a 1 2 ( 3 ) Sacando la razon entre el primer año y el segundo r = a 2 a 1 r =x x 2 = x 2 ( 4 ) Igualando las ecuaciones 3 y 4 a 3 a 1 2 = x 2 a 3 a 1 =x a 3 =x+ a 1 a 3 =x+ x 2 a 3 = 3x 2 a 1 + a 2 + a 3 =S x+ x 2 + 3x 2 =2400 2x+x+3x 2 =2400 x 2 =2400 x = 3 x =800  valor ahorrado el segundo año x 2 = 2 =400  valor ahorrado el primer año 3x 2 = 3 2 =1200  valor ahorrado el terce año
  12. El 2° y el 4° términos de una progresión aritmética suman 22 y el 3° y el 7° términos suman 34. ¿Cuáles son esos cuatro términos? a 2 + a 4 =22( 1 ) a 3 + a 7 =34( 2 ) La progresión es a 1 , a 2 ,….. a 7 r = a 3 a 2 ( 3 ) r = a 4 a 3 ( 4 ) Igualando ( 3 )  y ( 4 ) a 3 a 2 = a 4 a 3 2 a 3 = a 2 + a 4 2 a 3 =22 a 3 = 2 a 3 =11 Reemplazo el valor de  a 3  en ( 2 ) a 3 + a 7 =34 11+ a 7 =34 a 7 =3411 a 7 =23 23 es el 7° término, interpolación para conocer el cuarto término  ÷ 11…….23 n=5,a=11,u=23 r = ua n1 = 2311 51 = 4 =3 a 4 = a 3 +r a 4 =11+3 a 4 =14 Reemplazo el valor de  a 4  en ( 1 ) a 2 +14 =22 a 2 =2214 a 2 =8
  13. Una deuda puede ser pagada en 32 semanas pagando $5 la primera semana, $8 la segunda semana y así sucesivamente. Hallar el importe de la deuda.
    Sea: a=5,n=32,r=85=3 u =a+(n1 ) r u =5+(321 ) 3 u =5+( 31 ) 3 u =5+93=98 S = (a+u ) n 2 S = (5+98 ) 2 S =( 103 ) 16 S =1648
  14. Una persona viaja 50 kilómetros el primer día y en cada día posterior 5 1 2 kilómetros menos de lo que recorrió el día anterior. ¿Cúanto habrá recorrido al cabo de 8 días?
    Sea: a=50,n=8,r=5 1 2 11 2 u =a+(n1 ) r u =50+(81 ) ( 11 2 ) u =50+( 7 ) ( 11 2 ) u =50 77 2 = 23 2 S = (a+u ) n 2 S = (50+ 23 2 ) 2 S =( 123 2 ) S =246Km distancia recorrida en 8 segundos
  15. En una progresión aritmética de 12 términos el 1° y el 12° término suman 53 1 2 . ¿Cuál es la suma del 3° y el 10° término?
    3° y 10° son términos equidistantes, a los extremos 1° y 12°, y por teorema la suma de los extremos es igual a la suma de los términos equidistantes a 1 + a 12 = a 3 + a 10 a 3 + a 10 =53 1 2
  16. ¿Cuál es el 6° término de una progresión aritmética de 11 términos si su primer término es -2 y el último es -52?
    Sea n=11,a=2,u=52 r = ua n1 r = 52(2 ) 111 r = 52+2 10 = 5 0 1 0 r =5 a 2 =25=7 a 3 =75=12 a 4 =125=17 a 5 =175=22 a 6 =225=27
  17. En el primer año de negocios de un hombre ganó $500 y en el último ganó $1900. Si en cada año ganó $200 más que en el año anterior, ¿cuántos años tuvo el negocio?
    Sea a=500,u=1900,r=200 n= ua+r r n= 1900500+200 200 n= 200 n= 8  años
  18. Las ganancias anuales de un comerciante durante 11 años están en progresión aritmética. El primer año ganó $1180 y el último $6180. ¿Cuánto más ganó en cada año a contar del segundo año, que en el anterior?
    Sea n=11,a=1180,u=6180 r = ua n1 r = 61801180 111 r = 500 0 1 0 r =$500  
  19. Las pérdidas de 5 años de una casa de comercio están en progresión aritmética. El último año perdió 3000 soles, y la pérdida de cada año fue de 300 soles menos que el año anterior. ¿Cúanto perdió el primer año?
    Sea n=5,u=3000,r=300 a =u(n1 ) r a =3000(51 ) (300 ) a =3000( 4 ) (300 ) a =3000+1200 a =4200  soles
  20. Una piedra dejada caer libremente desde la azotea de un edificio recorre 16.1 pies en el primer segundo, y en cada segundo posterior recorre 32.2 pies más que el segundo anterior. Si la piedra tarda 5 segundos en llegar al suelo, ¿cuál es la altura del edificio?
    Sea: a=16.1,n=5,r=32.2 u =a+(n1 ) r u =16.1+(51 ) ( 32.2 ) u =16.1+( 4 ) ( 32.2 ) u =16.1+128.8=144.9 S = (a+u ) n 2 S = (16.1+144.9 ) 5 2 S = ( 161 ) 5 2 S =402.5pies distancia recorrida en 8 segundos
  21. Hallar la suma de los números impares del 51 al 813
    Sea: a=51,r=2,u=813 n = ua+r r n = 81351+2 2 n = 2 n =382 S = (a+u ) n 2 S = (51+813 ) 2 S =864( 191 ) S =165024
  22. El 5° término de una progresión aritmética es 31 el 9° término es 59. Hallar el 12° término.
    a 5 =31 a 9 =59 Interpolando a=31,u=59,n=5 r = ua n1 r = 5931 51 r = 4 a 10 = a 9 +r a 10 =59+7=66 a 11 =66+7=73 a 12 =73+7=80
  23. Las ganancias de 3 años de un almacén están en progresión aritmética el primer año ganó 12500 colones y el tercero 20500. ¿Cuál fue la ganacia del 2° año?
    Sea a 1 =12500 a 3 =20500 r = a 2 a 1 ( 1 ) r = a 3 a 2 ( 2 ) Igualando las ecuaciones ( 1 )  y ( 2 ) a 2 a 1 = a 3 a 2 2 a 2 = a 1 + a 3 a 2 = a 1 + a 3 2 a 2 = 12500+20500 2 a 2 = 33000 2 a 2 =16500  colones