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CAPITULO XXXVII

Progresiones

Ejercicio 290

Hallar la suma de los 20 primeros múltiplos de 7.
$\begin{matrix} S e a : \\ a = 7, n = 20, r = 7 \\ u & = a + (n - 1) r \\ u & = 7 + (20 - 1) 7 \\ u & = 7 + (19) 7 \\ u & = 7 + 133 = 140 \\ S & = \frac{(a + u) n}{2} \\ S & = \frac{(7 + 140)}{2} \\ S & = 1470 \end{matrix}$
Hallar la suma de los 80 primeros múltiplos de 5.
$\begin{matrix} S e a : \\ a = 5, n = 80, r = 5 \\ u & = a + (n - 1) r \\ u & = 5 + (80 - 1) 5 \\ u & = 5 + (79) 5 \\ u & = 5 + 395 = 400 \\ S & = \frac{(a + u) n}{2} \\ S & = \frac{(5 + 400)}{2} \\ S & = 16200 \end{matrix}$
Hallar la suma de los 43 primeros números terminados en 9.
$\begin{matrix} S e a : \\ a = 9, n = 43, r = 10 \\ u & = a + (n - 1) r \\ u & = 9 + (43 - 1) 10 \\ u & = 9 + (42) 10 \\ u & = 9 + 420 = 429 \\ S & = \frac{(a + u) n}{2} \\ S & = \frac{(9 + 429) 43}{2} \\ S & = \frac{43}{2} \\ S & = 9417 \end{matrix}$
Hallar la suma de los 100 primeros números pares.
$\begin{matrix} S e a : \\ a = 2, n = 100, r = 2 \\ u & = a + (n - 1) r \\ u & = 2 + (100 - 1) 2 \\ u & = 2 + (99) 2 \\ u & = 2 + 198 = 200 \\ S & = \frac{(a + u) n}{2} \\ S & = \frac{(2 + 200)}{2} \\ S & = 10100 \end{matrix}$
Hallar la suma de los 100 primeros números impares mayores que 7.
$\begin{matrix} S e a : \\ a = 9, n = 100, r = 2 \\ u & = a + (n - 1) r \\ u & = 9 + (100 - 1) 2 \\ u & = 9 + (99) 2 \\ u & = 9 + 198 = 207 \\ S & = \frac{(a + u) n}{2} \\ S & = \frac{(9 + 207)}{2} \\ S & = 10800 \end{matrix}$
Compré 50 libros. Por el primero pagué 8 ctvs. y por cada uno de los demás 3 ctvs. más que por el anterior. Hallar el importe de la compra.
$\begin{matrix} S e a : \\ a = 8, n = 50, r = 3 \\ u & = a + (n - 1) r \\ u & = 8 + (50 - 1) 3 \\ u & = 8 + (49) 3 \\ u & = 8 + 147 = 155 \\ S & = \frac{(a + u) n}{2} \\ S & = \frac{(8 + 155)}{2} \\ S & = 4075 c t v s \end{matrix}$
Un destista arregló a un hombre todas las piezas de la boca que tenía completas. Por la primera le cobró $1 y por cada una de las demás 20 ctvs. más que por la anterior. ¿Cuánto cobró el dentista?
$\begin{matrix} S e a : \\ 32 s o n l a s p i e z a s d e n t a l e s q u e u n a p e r s o n a a d u l t a p o r l o g e n e r a l t i e n e \\ a = 1, n = 32, r = 0, 2 \leftrightarrow \frac{1}{5} \\ u & = a + (n - 1) r \\ u & = 1 + (32 - 1) \frac{1}{5} \\ u & = 1 + (31) \frac{1}{5} \\ u & = \frac{5 + 31}{5} = \frac{36}{5} \\ S & = \frac{(a + u) n}{2} \\ S & = \frac{(1 + \frac{36}{5})}{2} \\ S & = (\frac{41}{5}) 16 \\ S & = $ 131, 20 \end{matrix}$
Hallar la suma de los 72 primeros múltiplos de 11 que siguen a 66.
$\begin{matrix} S e a : \\ a = 77, n = 72, r = 11 \\ u & = a + (n - 1) r \\ u & = 77 + (72 - 1) 11 \\ u & = 77 + (71) 11 \\ u & = 77 + 781 = 858 \\ S & = \frac{(a + u) n}{2} \\ S & = \frac{(77 + 858)}{2} \\ S & = (935) 36 \\ S & = 33660 \end{matrix}$
¿Cuánto ha ahorrado un hombre en 5 años si en enero del primer año ahorro bs. 2 y en cada mes posterior ahorró bs. 3 más que en el precedente?
$\begin{matrix} S e a : \\ a = 2, n = 12 \times 5 = 60, r = 3 \\ u & = a + (n - 1) r \\ u & = 2 + (60 - 1) 3 \\ u & = 2 + (59) 3 \\ u & = 2 + 177 = 179 \\ S & = \frac{(a + u) n}{2} \\ S & = \frac{(2 + 179)}{2} \\ S & = (181) 30 \\ S & = 5430 b s \end{matrix}$
Un hombre avanza en el primer segundo de su carrera 6 m y en cada segundo posterior avanza 25 cm más que en el anterior. ¿Cuánto avanzó en el 8° segundo y que distancia habrá recorrido en 8 segs.?
$\begin{matrix} S e a : \\ a = 6, n = 8, r = 0, 25 \leftrightarrow \frac{1}{4} \\ u & = a + (n - 1) r \\ u & = 6 + (8 - 1) \frac{1}{4} \\ u & = 6 + (7) \frac{1}{4} \\ u & = 6 + \frac{7}{4} = \frac{31}{4} \leftrightarrow 7, 75 m e s l a d i s t a n c i a q u e a v a n z o e n e l o c t a v o s e g u n d o \\ S & = \frac{(a + u) n}{2} \\ S & = \frac{(6 + \frac{31}{4})}{2} \\ S & = (\frac{55}{4}) 4 \\ S & = 55 m d i s t a n c i a r e c o r r i d a e n 8 s e g u n d o s \end{matrix}$
Los ahorros de 3 años de un hombre están en progresión aritmética. Si los tres años ha ahorrado 2400 sucres, y el primer año ahorró la mitad de lo que ahorró el segundo. ¿Cúanto ahorró cada año?
$\begin{matrix} S e a : \\ S = 2400, n = 3 \\ x & = a_{2} v a l o r a h o r r a d o e l s e g u n d o a ñ o \\ \frac{x}{2} & = a_{1} v a l o r a h o r r a d o e l p r i m e r a ñ o \\ s e a l a s e r i e \\ a_{1}, a_{2}, a_{3} \\ r & = a_{2} - a_{1} (1) \\ r & = a_{3} - a_{2} (2) \\ S u m a n d o l a s e c u a c i o n e s 1 y 2 \\ 2 r & = a_{3} - a_{1} \\ r & = \frac{a_{3} - a_{1}}{2} (3) \\ S a c a n d o l a r a z o n e n t r e e l p r i m e r a ñ o y e l s e g u n d o \\ r & = a_{2} - a_{1} \\ r & = x - \frac{x}{2} = \frac{x}{2} (4) \\ I g u a l a n d o l a s e c u a c i o n e s 3 y 4 \\ \frac{a_{3} - a_{1}}{2} & = \frac{x}{2} \\ a_{3} - a_{1} & = x \\ a_{3} & = x + a_{1} \\ a_{3} & = x + \frac{x}{2} \\ a_{3} & = \frac{3 x}{2} \\ a_{1} + a_{2} + a_{3} & = S \\ x + \frac{x}{2} + \frac{3 x}{2} & = 2400 \\ \frac{2 x + x + 3 x}{2} & = 2400 \\ \frac{x}{2} & = 2400 \\ x & = \frac{}{3} \\ x & = 800 v a l o r a h o r r a d o e l s e g u n d o a ñ o \\ \frac{x}{2} & = \frac{}{2} = 400 v a l o r a h o r r a d o e l p r i m e r a ñ o \\ \frac{3 x}{2} & = \frac{3}{2} = 1200 v a l o r a h o r r a d o e l t e r c e a ñ o \end{matrix}$
El 2° y el 4° términos de una progresión aritmética suman 22 y el 3° y el 7° términos suman 34. ¿Cuáles son esos cuatro términos? $\begin{matrix} a_{2} + a_{4} & = 22 (1) \\ a_{3} + a_{7} & = 34 (2) \\ L a p r o g r e s i ó n e s \\ a_{1}, a_{2}, ….. a_{7} \\ r & = a_{3} - a_{2} (3) \\ r & = a_{4} - a_{3} (4) \\ I g u a l a n d o (3) y (4) \\ a_{3} - a_{2} & = a_{4} - a_{3} \\ 2 a_{3} & = a_{2} + a_{4} \\ 2 a_{3} & = 22 \\ a_{3} & = \frac{}{2} \\ a_{3} & = 11 \\ R e e m p l a z o e l v a l o r d e a_{3} e n (2) \\ a_{3} + a_{7} & = 34 \\ 11 + a_{7} & = 34 \\ a_{7} & = 34 - 11 \\ a_{7} & = 23 \\ 23 e s e l 7 ° t é r m i n o, i n t e r p o l a c i ó n p a r a c o n o c e r \\ e l c u a r t o t é r m i n o \\ \div 11…….23 \\ n = 5, a = 11, u = 23 \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} = \frac{23 - 11}{5 - 1} = \frac{}{4} = 3 \\ a_{4} & = a_{3} + r \\ a_{4} & = 11 + 3 \\ a_{4} & = 14 \\ R e e m p l a z o e l v a l o r d e a_{4} e n (1) \\ a_{2} + 14 & = 22 \\ a_{2} & = 22 - 14 \\ a_{2} & = 8 \end{matrix}$
Una deuda puede ser pagada en 32 semanas pagando $5 la primera semana, $8 la segunda semana y así sucesivamente. Hallar el importe de la deuda.
$\begin{matrix} S e a : \\ a = 5, n = 32, r = 8 - 5 = 3 \\ u & = a + (n - 1) r \\ u & = 5 + (32 - 1) 3 \\ u & = 5 + (31) 3 \\ u & = 5 + 93 = 98 \\ S & = \frac{(a + u) n}{2} \\ S & = \frac{(5 + 98)}{2} \\ S & = (103) 16 \\ S & = 1648 \end{matrix}$
Una persona viaja 50 kilómetros el primer día y en cada día posterior $5 \frac{1}{2}$ kilómetros menos de lo que recorrió el día anterior. ¿Cúanto habrá recorrido al cabo de 8 días?
$\begin{matrix} S e a : \\ a = 50, n = 8, r = - 5 \frac{1}{2} \leftrightarrow - \frac{11}{2} \\ u & = a + (n - 1) r \\ u & = 50 + (8 - 1) (- \frac{11}{2}) \\ u & = 50 + (7) (- \frac{11}{2}) \\ u & = 50 - \frac{77}{2} = \frac{23}{2} \\ S & = \frac{(a + u) n}{2} \\ S & = \frac{(50 + \frac{23}{2})}{2} \\ S & = (\frac{123}{2}) \\ S & = 246 K m d i s t a n c i a r e c o r r i d a e n 8 s e g u n d o s \end{matrix}$
En una progresión aritmética de 12 términos el 1° y el 12° término suman $53 \frac{1}{2}$ . ¿Cuál es la suma del 3° y el 10° término?
$\begin{matrix} 3 ° y 10 ° s o n t é r m i n o s e q u i d i s t a n t e s, a l o s e x t r e m o s \\ 1 ° y 12 °, y p o r t e o r e m a l a s u m a d e l o s e x t r e m o s e s i g u a l \\ a l a s u m a d e l o s t é r m i n o s e q u i d i s t a n t e s \\ a_{1} + a_{12} & = a_{3} + a_{10} \\ a_{3} + a_{10} & = 53 \frac{1}{2} \end{matrix}$
¿Cuál es el 6° término de una progresión aritmética de 11 términos si su primer término es -2 y el último es -52?
$\begin{matrix} S e a \\ n = 11, a = - 2, u = - 52 \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{- 52 - (- 2)}{11 - 1} \\ r & = \frac{- 52 + 2}{10} = - \frac{50}{10} \\ r & = - 5 \\ a_{2} & = - 2 - 5 = - 7 \\ a_{3} & = - 7 - 5 = - 12 \\ a_{4} & = - 12 - 5 = - 17 \\ a_{5} & = - 17 - 5 = - 22 \\ a_{6} & = - 22 - 5 = - 27 \end{matrix}$
En el primer año de negocios de un hombre ganó $500 y en el último ganó $1900. Si en cada año ganó $200 más que en el año anterior, ¿cuántos años tuvo el negocio?
$\begin{matrix} S e a \\ a = 500, u = 1900, r = 200 \\ n = & \frac{u - a + r}{r} \\ n = & \frac{1900 - 500 + 200}{200} \\ n = & \frac{}{200} \\ n = & 8 a ñ o s \end{matrix}$
Las ganancias anuales de un comerciante durante 11 años están en progresión aritmética. El primer año ganó $1180 y el último $6180. ¿Cuánto más ganó en cada año a contar del segundo año, que en el anterior?
$\begin{matrix} S e a \\ n = 11, a = 1180, u = 6180 \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{6180 - 1180}{11 - 1} \\ r & = \frac{5000}{10} \\ r & = $ 500 \end{matrix}$
Las pérdidas de 5 años de una casa de comercio están en progresión aritmética. El último año perdió 3000 soles, y la pérdida de cada año fue de 300 soles menos que el año anterior. ¿Cúanto perdió el primer año?
$\begin{matrix} S e a \\ n = 5, u = 3000, r = - 300 \\ a & = u - (n - 1) r \\ a & = 3000 - (5 - 1) (- 300) \\ a & = 3000 - (4) (- 300) \\ a & = 3000 + 1200 \\ a & = 4200 s o l e s \end{matrix}$
Una piedra dejada caer libremente desde la azotea de un edificio recorre 16.1 pies en el primer segundo, y en cada segundo posterior recorre 32.2 pies más que el segundo anterior. Si la piedra tarda 5 segundos en llegar al suelo, ¿cuál es la altura del edificio?
$\begin{matrix} S e a : \\ a = 16.1, n = 5, r = 32.2 \\ u & = a + (n - 1) r \\ u & = 16.1 + (5 - 1) (32.2) \\ u & = 16.1 + (4) (32.2) \\ u & = 16.1 + 128.8 = 144.9 \\ S & = \frac{(a + u) n}{2} \\ S & = \frac{(16.1 + 144.9) 5}{2} \\ S & = \frac{(161) 5}{2} \\ S & = 402.5 p i e s d i s t a n c i a r e c o r r i d a e n 8 s e g u n d o s \end{matrix}$
Hallar la suma de los números impares del 51 al 813
$\begin{matrix} S e a : \\ a = 51, r = 2, u = 813 \\ n & = \frac{u - a + r}{r} \\ n & = \frac{813 - 51 + 2}{2} \\ n & = \frac{}{2} \\ n & = 382 \\ S & = \frac{(a + u) n}{2} \\ S & = \frac{(51 + 813)}{2} \\ S & = 864 (191) \\ S & = 165024 \end{matrix}$
El 5° término de una progresión aritmética es 31 el 9° término es 59. Hallar el 12° término.
$\begin{matrix} a_{5} & = 31 \\ a_{9} & = 59 \\ I n t e r p o l a n d o \\ a = 31, u = 59, n = 5 \\ r & = \frac{u - a}{n - 1} \\ r & = \frac{59 - 31}{5 - 1} \\ r & = \frac{}{4} \\ a_{10} & = a_{9} + r \\ a_{10} & = 59 + 7 = 66 \\ a_{11} & = 66 + 7 = 73 \\ a_{12} & = 73 + 7 = 80 \end{matrix}$
Las ganancias de 3 años de un almacén están en progresión aritmética el primer año ganó 12500 colones y el tercero 20500. ¿Cuál fue la ganacia del 2° año?
$\begin{matrix} S e a \\ a_{1} = 12500 \\ a_{3} = 20500 \\ r & = a_{2} - a_{1} (1) \\ r & = a_{3} - a_{2} (2) \\ I g u a l a n d o l a s e c u a c i o n e s (1) y (2) \\ a_{2} - a_{1} & = a_{3} - a_{2} \\ 2 a_{2} & = a_{1} + a_{3} \\ a_{2} & = \frac{a_{1} + a_{3}}{2} \\ a_{2} & = \frac{12500 + 20500}{2} \\ a_{2} & = \frac{33000}{2} \\ a_{2} & = 16500 c o l o n e s \end{matrix}$