CAPITULO V
Miscelanea
Sobre resta, multiplicación y división
Ejercicio 61 Dividir
A
las 7 a.m. el termómetro marca +5° y de las 7 a.m. a las 10 a.m. baja a
razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 8 a.m., 9 a.m. y 10
a.m.
Tomando como escala 1 cm: 10 m, representar
gráficamente que un punto B está situado a + 40 m de A y otro punto C
está situado a – 35 m de B.
Sumar
x
2
– 3 x y
con
3 x y –
y
2
y el resultado restarlo de
x
2
¿Qué expresión hay que añadir a
3
x
2
– 5 x + 6
para que la suma sea
3 x
?
3
x
2
– 5 x + 6 + ψ
= 3 x
ψ
= 3 x – ( 3
x
2
– 5 x + 6
)
ψ
= 3 x – 3
x
2
+ 5 x – 6
ψ
= – 3
x
2
+ 8 x – 6
Restar
– 2
a
2
+ 3 a – 5
de 3 y sumar con
8 a + 5
3 – ( – 2
a
2
+ 3 a – 5
)
+ 8 a + 5
= 3 + 2
a
2
– 3 a + 5 + 8 a + 5
= 2
a
2
+ 5 a + 13
Simplificar
– 3
x
2
– { – [ 4
x
2
+ 5 x – (
x
2
–
x + 6
¯
) ] }
– 3
x
2
– { – [ 4
x
2
+ 5 x – (
x
2
–
x + 6
¯
) ] }
= – 3
x
2
– { – [ 4
x
2
+ 5 x – (
x
2
– x – 6
) ] }
= – 3
x
2
– { – [ 4
x
2
+ 5 x –
x
2
+ x + 6
] }
= – 3
x
2
– { – [ 3
x
2
+ 6 x + 6
] }
= – 3
x
2
– { – 3
x
2
– 6 x – 6
}
= –
3
x
2
+
3
x
2
+ 6 x + 6
= 6 x + 6
Simplificar
( x + y
)
( x – y
)
–
( x + y
) 2
( x + y
)
( x – y
)
–
( x + y
) 2
=
x
2
–
x y
+
x y
–
y
2
– ( x + y
)
( x + y
)
=
x
2
–
y
2
– (
x
2
+ x y + x y +
y
2
)
=
x
2
–
y
2
– (
x
2
+ 2 x y +
y
2
)
=
x
2
–
y
2
–
x
2
– 2 x y –
y
2
= – 2 x y – 2
y
2
Valor numérico de
3 ( a + b
)
– 4 ( c – b
)
+
c – b
– a
para
a = 2 , b = 3 , c = 1
3 ( a + b
)
– 4 ( c – b
)
+
c – b
– a
= 3 ( 2 + 3
)
– 4 ( 1 – 3
)
+
1 – 3
– 2
= 3 (
5
)
– 4 ( – 2
)
+
–
2
–
2
= 15 + 8 +
= 15 + 8 + 1
= 24
Restar
x
2
– 3 x y +
y
2
de
3
x
2
– 5
y
2
y sumar la diferencia con el resultado de restar
5 x y +
x
2
de
2
x
2
+ 5 x y + 6
y
2
Multiplicar
2
3
a
2
–
1
2
a b +
1
5
b
2
por
1
2
a
2
+
3
4
a b – 2
b
2
Dividir la suma de
x
5
–
x
3
+ 5
x
2
, – 2
x
4
+ 2
x
2
– 10 x , 6
x
3
– 6 x + 30
entre
x
2
– 2 x + 6
Restar el cociente de
1
4
a
3
–
1
90
a
b
2
+
1
15
b
3
entre
1
2
a +
1
3
b
de
1
2
a
2
+ a b +
1
5
b
2
Restar la suma de
– 3 a
b
2
–
b
3
y
2
a
2
b + 3 a
b
2
–
b
3
de
a
3
–
a
2
b +
b
3
y la diferencia multiplicarla por
a
2
– a b +
b
2
Restar la suma de
x
3
– 5
x
2
+ 4 x , – 6
x
2
– 6 x + 3 , – 8
x
2
+ 8 x – 3
de
2
x
3
– 16
x
2
+ 5 x + 12
y dividir esta diferencia entre
x
2
– x + 3
Probar que
( 2 + x
) 2
( 1 +
x
2
)
– (
x
2
– 2
)
(
x
2
+ x – 3
)
=
x
2
( 3 x + 10
)
+ 2 ( 3 x – 1
)
( 2 + x
) 2
( 1 +
x
2
)
– (
x
2
– 2
)
(
x
2
+ x – 3
)
=
x
2
( 3 x + 10
)
+ 2 ( 3 x – 1
)
( 2 + x
)
( 2 + x
)
( 1 +
x
2
)
– (
x
4
+
x
3
– 3
x
2
– 2
x
2
– 2 x + 6
)
= 3
x
3
+ 10
x
2
+ 6 x – 2
( 4 + 2 x + 2 x +
x
2
)
( 1 +
x
2
)
– (
x
4
+
x
3
– 5
x
2
– 2 x + 6
)
= 3
x
3
+ 10
x
2
+ 6 x – 2
( 4 + 4 x +
x
2
)
( 1 +
x
2
)
–
x
4
–
x
3
+ 5
x
2
+ 2 x – 6
= 3
x
3
+ 10
x
2
+ 6 x – 2
4 + 4 x +
x
2
+ 4
x
2
+ 4
x
3
+
x
4
–
x
4
–
x
3
+ 5
x
2
+ 2 x – 6
= 3
x
3
+ 10
x
2
+ 6 x – 2
∴ 3
x
3
+ 10
x
2
+ 6 x – 2
= 3
x
3
+ 10
x
2
+ 6 x – 2
Hallar el valor numérico de
( x + y
) 2
( x – y
) 2
+ 2 ( x + y
)
( x – y
)
para
x = – 2 , y = 1
( x + y
) 2
( x – y
) 2
+ 2 ( x + y
)
( x – y
)
=
( – 2 + 1
) 2
( – 2 – 1
) 2
+ 2 ( – 2 + 1
)
( – 2 – 1
)
=
( – 3
) 2
+ 2 ( – 1
)
( – 3
)
= 9 + 6
= 15
¿Qué expresión hay que sumar a la suma de
x + 4 , x – 6 y
x
2
+ 2 x + 8
para obtener
5
x
2
– 4 x + 3
?
x + 4 + x – 6 +
x
2
+ 2 x + 8 + ψ
= 5
x
2
– 4 x + 3
x
2
+ 4 x + 6 + ψ
= 5
x
2
– 4 x + 3
ψ
= 5
x
2
– 4 x + 3 – (
x
2
+ 4 x + 6
)
ψ
= 5
x
2
– 4 x + 3 –
x
2
– 4 x – 6
ψ
= 4
x
2
– 8 x – 3
Restar
– { 3 a + ( – b + a
)
– 2 ( a + b
) } de
– 2 [ ( a + b
)
– ( a – b
) ]
– 2 [ ( a + b
)
– ( a – b
) ]
– [ – { 3 a + ( – b + a
)
– 2 ( a + b
) } ]
= – 2 [
a
+ b –
a
+ b
]
– [ – { 3 a – b + a – 2 a – 2 b
} ]
= – 2 [ 2 b
]
– [ – { 2 a – 3 b
} ]
= – 4 b – [ – 2 a + 3 b
]
= – 4 b + 2 a – 3 b
= 2 a – 7 b
Multiplicar
5 x + [ – ( 3 x –
x – y
¯
) ] por
8 x + [ – 2 x + ( – x + y
) ]
{ 5 x + [ – ( 3 x –
x – y
¯
) ] }
{ 8 x + [ – 2 x + ( – x + y
) ] }
= { 5 x + [ – ( 3 x – x + y
) ] }
{ 8 x + [ – 2 x – x + y
] }
= { 5 x + [ – ( 2 x + y
) ] }
{ 8 x + [ – 3 x + y
] }
= { 5 x + [ – 2 x – y
] }
{ 8 x – 3 x + y
}
= { 5 x – 2 x – y
}
{ 5 x + y
}
= { 3 x – y
}
{ 5 x + y
}
= 15
x
2
+ 3 x y – 5 x y –
y
2
= 15
x
2
– 2 x y –
y
2
Restar el cociente de
1
4
x
3
+
1
24
x
2
y +
5
12
x
y
2
+
1
3
y
3
entre
1
2
x
2
–
1
4
x y +
y
2
de
2 x + [ – 5 x – ( x – y
) ]
2 x + [ – 5 x – ( x – y
) ]
– [
1
2
x +
1
3
y
]
= 2 x + [ – 5 x – x + y
]
–
1
2
x –
1
3
y
= 2 x + [ – 6 x + y
]
–
1
2
x –
1
3
y
= 2 x – 6 x + y –
1
2
x –
1
3
y
=
4 x – 12 x – x
2
+
3 y – y
3
= –
9
2
x +
2
3
y
Probar que
[
x
2
– ( 3 x + 2
)
]
[
x
2
+ ( – x + 3
)
]
=
x
2
(
x
2
– 4 x + 4
)
– ( 7 x + 6
)
[
x
2
– ( 3 x + 2
)
]
[
x
2
+ ( – x + 3
)
]
=
x
2
(
x
2
– 4 x + 4
)
– ( 7 x + 6
)
[
x
2
– 3 x – 2
]
[
x
2
– x + 3
]
=
x
4
– 4
x
3
+ 4
x
2
– 7 x – 6
x
4
–
x
3
+ 3
x
2
– 3
x
3
+ 3
x
2
– 9 x – 2
x
2
+ 2 x – 6
=
x
4
– 4
x
3
+ 4
x
2
– 7 x – 6
∴
x
4
– 4
x
3
+ 4
x
2
– 7 x – 6
=
x
4
– 4
x
3
+ 4
x
2
– 7 x – 6
¿Qué expresión hay que sumar al producto de
[ x ( x + y
)
– x ( x – y
) ]
[ 2 (
x
2
+
y
2
)
– 3 (
x
2
–
y
2
) ] para obtener
2
x
3
y + 3 x
y
3
?
[ x ( x + y
)
– x ( x – y
) ]
[ 2 (
x
2
+
y
2
)
– 3 (
x
2
–
y
2
) ]
+ ψ
= 2
x
3
y + 3 x
y
3
[
x
2
+ x y –
x
2
+ x y
]
[ 2
x
2
+ 2
y
2
– 3
x
2
+ 3
y
2
]
+ ψ
= 2
x
3
y + 3 x
y
3
[ 2 x y
]
[ –
x
2
+ 5
y
2
]
+ ψ
= 2
x
3
y + 3 x
y
3
– 2
x
3
y + 10 x
y
3
+ ψ
= 2
x
3
y + 3 x
y
3
ψ
= 2
x
3
y + 3 x
y
3
– ( – 2
x
3
y + 10 x
y
3
)
ψ
= 2
x
3
y + 3 x
y
3
+ 2
x
3
y – 10 x
y
3
ψ
= 4
x
3
y – 7 x
y
3
Restar
–
x
2
– 3 x y +
y
2
de cero y multiplicar la diferencia por el cociente de dividir
x
3
–
y
3
entre
x – y
0 – ( –
x
2
– 3 x y +
y
2
)
=
x
2
+ 3 x y –
y
2
Simplificar
( x – y
)
(
x
2
+ x y +
y
2
)
– ( x + y
)
(
x
2
– x y +
y
2
)
( x – y
)
(
x
2
+ x y +
y
2
)
– ( x + y
)
(
x
2
– x y +
y
2
)
=
x
3
+
x
2
y + x
y
2
–
x
2
y – x
y
2
–
y
3
– (
x
3
–
x
2
y + x
y
2
+
x
2
y – x
y
2
+
y
3
)
=
x
3
+
x
2
y
+
x
y
2
–
x
2
y
–
x
y
2
–
y
3
–
x
3
+
x
2
y
–
x
y
2
–
x
2
y
+
x
y
2
–
y
3
= – 2
y
3
Hallar el valor numérico de
a b
c
+ 2 ( b – a
)
9 b
a
2
– 3 ( c – b
)
c
b
para
a = 4 , b = 9 , c = 25
a b
c
+ 2 ( b – a
)
9 b
a
2
– 3 ( c – b
)
c
b
=
4 (
9
)
25
+ 2 ( 9 – 4
)
9 (
9
)
4
2
– 3 ( 25 – 9
)
25
9
=
2
2
×
3
2
5
2
+ 2 (
5
)
9
2
4
2
– 3 (
16
)
5
2
3
2
=
2 (
3
)
5
+
9
–
3
(
16
)
5
3
=
6
5
+
45
2
– 80
=
12 + 225 – 800
10
= –
563
10
= – 56
3
10
¿Por cuál expresión hay que dividir el cociente de
x
3
+ 3
x
2
– 4 x – 12
entre
x + 3
para obtener
x – 2
x
2
– 4
ψ
= x – 2
x
2
– 4
= ψ ( x – 2
)
ψ
=
x
2
– 4
x – 2
Simplificar
4
x
2
– { 3 x – (
x
2
–
4 + x
¯
) }
+ [
x
2
– { x + ( – 3
) }
] y hallar su valor para
x = – 2
4
x
2
– { 3 x – (
x
2
–
4 + x
¯
) }
+ [
x
2
– { x + ( – 3
) }
]
= 4
x
2
– { 3 x – (
x
2
– 4 – x
) }
+ [
x
2
– { x – 3
}
]
= 4
x
2
– { 3 x –
x
2
+ 4 + x
}
+ [
x
2
– x + 3
]
= 4
x
2
– 4 x +
x
2
– 4 +
x
2
– x + 3
= 6
x
2
– 5 x – 1
= 6
( – 2
) 2
– 5 ( – 2
)
– 1
= 6 (
4
)
+ 10 – 1
= 24 + 9
= 33
¿De cuál expresión hay que restar
– 18
x
3
+ 14
x
2
+ 84 x – 45
para que la diferencia dividida entre
x
2
+ 7 x – 5
de como cociente
x
2
– 9
?
ψ – ( – 18
x
3
+ 14
x
2
+ 84 x – 45
)
= d i f e r e n c i a
O c u p a m o s l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n d e l a d i v i s i ó n
d i v i d e n d o = d i v i s o r * c o c i e n t e + r e s t o
R e e m p l a z a m o s d e l d i v i d e n d o p u e s t o q u e e l p r o b l e m a n o s
d i c e q u e e s l a d i f e r e n c i a d e l a r e s t a
d i f e r e n c i a = d i v i s o r * c o c i e n t e + r e s t o
ψ – ( – 18
x
3
+ 14
x
2
+ 84 x – 45
)
= (
x
2
+ 7 x – 5
)
(
x
2
– 9
)
+
( a s u m i n o s q u e e s u n a d i v i s i ó n e x a c t a
d e l o c o n t r a r i o n o t e n d r í a s o l u c i ó n )
ψ – ( – 18
x
3
+ 14
x
2
+ 84 x – 45
)
= (
x
2
+ 7 x – 5
)
(
x
2
– 9
)
ψ – ( – 18
x
3
+ 14
x
2
+ 84 x – 45
)
=
x
4
+ 7
x
3
– 5
x
2
– 9
x
2
– 63 x + 45
ψ – ( – 18
x
3
+ 14
x
2
+ 84 x – 45
)
=
x
4
+ 7
x
3
– 14
x
2
– 63 x + 45
ψ =
x
4
+ 7
x
3
– 14
x
2
– 63 x + 45 + ( – 18
x
3
+ 14
x
2
+ 84 x – 45
)
ψ =
x
4
+ 7
x
3
–
14
x
2
– 63 x +
45
– 18
x
3
+
14
x
2
+ 84 x –
45
ψ =
x
4
– 11
x
3
+ 21 x
Probar que
(
a
2
+
b
2
)
( a + b
)
( a – b
)
=
a
4
– [ 3 a + 2 ( a + 2
)
– 4 ( a + 1
)
– a +
b
4
]
(
a
2
+
b
2
)
( a + b
)
( a – b
)
=
a
4
– [ 3 a + 2 ( a + 2
)
– 4 ( a + 1
)
– a +
b
4
]
(
a
2
+
b
2
)
(
a
2
–
a b
+
a b
–
b
2
)
=
a
4
– [ 3 a + 2 a + 4 – 4 a – 4 – a +
b
4
]
(
a
2
+
b
2
)
(
a
2
–
b
2
)
=
a
4
– [
3 a
+
2 a
+
4
–
4 a
–
4
–
a
+
b
4
]
a
4
–
a
2
b
2
+
a
2
b
2
–
b
4
=
a
4
– [ +
b
4
]
∴
a
4
–
b
4
=
a
4
–
b
4
Restar
–
x
3
– 5
x
2
+ 6
de 3 y sumar la diferencia con la suma de
x
2
– x + 2
y
– [
x
2
+ ( – 3 x + 4
)
– ( – x + 3
)
]
