Ejercicio 76

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CAPITULO VII

Corolario del Teorema del residuo
Ejercicio 76
Hallar, sin efectuar la división, si son exactas las divisiones siguientes:
  1. x 2 x6 entre x3
    x3 =0 x =3 P( x ) = x 2 x6 P( 3 ) = ( 3 ) 2 36 P( 3 ) = 9 9 P( 3 ) =0exacta
  2. x 3 +4 x 2 x10 entre x+2
    x+2 =0 x =2 P( x ) = x 3 +4 x 2 x10 P(2 ) = (2 ) 3 +4 (2 ) 2 (2 ) 10 P(2 ) =8+4( 4 ) +210 P(2 ) = 16 16 P(2 ) =0exacta
  3. 2 x 4 5 x 3 +7 x 2 9x+3 entre x1
    x1 =0 x =1 P( x ) =2 x 4 5 x 3 +7 x 2 9x+3 P( 1 ) =2 ( 1 ) 4 5 ( 1 ) 3 +7 ( 1 ) 2 9( 1 ) +3 P( 1 ) =25+79+3 P( 1 ) =2noesexacta
  4. x 5 + x 4 5 x 3 7x+8 entre x+3
    x+3 =0 x =3 P( x ) = x 5 + x 4 5 x 3 7x+8 P(3 ) = (3 ) 5 + (3 ) 4 5 (3 ) 3 7(3 ) +8 P(3 ) =243+815( 27 ) +21+8 P(3 ) =243+81135+21+8 P(3 ) =267noesexacta
  5. 4 x 3 8 x 2 +11x4 entre 2x1
    2x1 =0 2x =1 x = 1 2 P( x ) =4 x 3 8 x 2 +11x4 P( 1 2 ) =4 ( 1 2 ) 3 8 ( 1 2 ) 2 +11( 1 2 ) 4 P( 1 2 ) = 4 ( 1 ) ( 1 4 ) + 11 2 4 P( 1 2 ) = 1 2 2+ 11 2 4 P( 1 2 ) = 14+118 2 P( 1 2 ) =0exacta
  6. 6 x 5 +2 x 4 3 x 3 x 2 +3x+3 entre 3x+1
    3x+1 =0 3x =1 x = 1 3 P( x ) =6 x 5 +2 x 4 3 x 3 x 2 +3x+3 P( 1 3 ) =6 ( 1 3 ) 5 +2 ( 1 3 ) 4 3 ( 1 3 ) 3 ( 1 3 ) 2 + 3 ( 1 3 ) +3 P( 1 3 ) =( 1 ) +2( 1 81 ) 3 ( 1 ) 1 9 1+3 P( 1 3 ) = 2 81 + 2 81 + 1 9 1 9 +2 P( 1 3 ) =2noesexacta Sin efectuar la división, probar que:
  7. a+1 es factor de a 3 2 a 2 +2a+5
    a+1 =0 a =1 P( a ) = a 3 2 a 2 +2a+5 P(1 ) = (1 ) 3 2 (1 ) 2 +2(1 ) +5 P(1 ) =122+5 P(1 ) =0 a 3 2 a 2 +2a+5 es divisible para  a+1 a+1  es factor de  a 3 2 a 2 +2a+5
  8. x5 divide a x 5 6 x 4 +6 x 3 5 x 2 +2x10
    x5 =0 x =5 P( x ) = x 5 6 x 4 +6 x 3 5 x 2 +2x10 P( 5 ) = ( 5 ) 5 6 ( 5 ) 4 +6 ( 5 ) 3 5 ( 5 ) 2 +2( 5 ) 10 P( 5 ) =31256( 625 ) +6( 125 ) 5( 25 ) + 10 10 P( 5 ) =31253750+750125 P( 5 ) =0x5  divide a  x 5 6 x 4 +6 x 3 5 x 2 +2x10
  9. 4x3 divide a 4 x 4 7 x 3 +7 x 2 7x+3
    4x3 =0 4x =3 x = 3 4 P( x ) =4 x 4 7 x 3 +7 x 2 7x+3 P( 3 4 ) =4 ( 3 4 ) 4 7 ( 3 4 ) 3 +7 ( 3 4 ) 2 7( 3 4 ) +3 P( 3 4 ) = 4 ( 3 4 4 ) 7( 27 64 ) +7( 9 16 ) 21 4 +3 P( 3 4 ) = 81 64 189 64 + 63 16 21 4 +3 P( 3 4 ) = 81189+252336+192 64 P( 3 4 ) =04x3  divide a  4 x 4 7 x 3 +7 x 2 7x+3
  10. 3n+2 no es factor de 3 n 5 +2 n 4 3 n 3 2 n 2 +6n+7
    3n+2 =0 3n =2 n = 2 3 P( n ) =3 n 5 +2 n 4 3 n 3 2 n 2 +6n+7 P( 2 3 ) =3 ( 2 3 ) 5 +2 ( 2 3 ) 4 3 ( 2 3 ) 3 2 ( 2 3 ) 2 +6( 2 3 ) +7 P( 2 3 ) = 3 ( 2 3 ) +2( 16 81 ) 3 ( 8 3 ) 2( 4 9 ) +( 2 3 ) +7 P( 2 3 ) = 2 81 + 32 81 + 8 9 8 9 4+7 P( 2 3 ) = 2+32+243 81 P( 2 3 ) = P( 2 3 ) = 91 27 03n+2  no es factor de  3 n 5 +2 n 4 3 n 3 2 n 2 +6n+7 Sin efectuar la división, hallar si las divisiones siguientes son o no exactas y determinar el cociente en cada caso y el residuo, si lo hay:
  11. 2 a 3 2 a 2 4a+16 entre a+2
    Mathematical Equation
  12. a 4 a 2 +2a+2 entre a+1
    Mathematical Equation
  13. x 4 +5x6 entre x1
    Mathematical Equation
  14. x 6 39 x 4 +26 x 3 52 x 2 +29x30 entre x6
    Mathematical Equation
  15. a 6 4 a 5 a 4 +4 a 3 + a 2 8a+25 entre a4
    Mathematical Equation
  16. 16 x 4 24 x 3 +37 x 2 24x+4 entre 4x1
    Mathematical Equation
  17. 15 n 5 +25 n 4 18 n 3 18 n 2 +17n11 entre 3n+5
    Mathematical Equation

    En los ejemplos siguientes, hallar el valor de la constante K (término independiente del polinomio) para que:
  18. 7 x 2 5x+K sea divisible por x5
    x5 =0 x =5 P( x ) =7 x 2 5x+K P( 5 ) =0, para que la sea una división exacta 7 x 2 5x+K =0 7 ( 5 ) 2 5( 5 ) +K =0 7( 25 ) 25+K =0 17525+K =0 150+K =0 K =150
  19. x 3 3 x 2 +4x+K sea divisible por x2
    x2 =0 x =2 P( x ) = x 3 3 x 2 +4x+K P( 2 ) =0 ( 2 ) 3 3 ( 2 ) 2 +4( 2 ) +K =0 812+8+K =0 4+K =0 K =4
  20. 2 a 4 +25a+K sea divisible por a+3
    a+3 =0 a =3 P( a ) =2 a 4 +25a+K P(3 ) =0 2 (3 ) 4 +25(3 ) +K =0 2( 81 ) 75+K =0 16275+K =0 87+K =0 K =87
  21. 20 x 3 7 x 2 +29x+K sea divisible por 4x+1
    4x+1 =0 4x =1 x = 1 4 P( x ) =20 x 3 7 x 2 +29x+K P( 1 4 ) =0 20 ( 1 4 ) 3 7 ( 1 4 ) 2 +29( 1 4 ) +K =0 ( 1 ) 7( 1 16 ) 29 4 +K =0 5 16 7 16 29 4 +K =0 57116 16 +K =0 16 +K =0 8+K =0 K =8