Comparte esto 👍👍

DESCARGA

CAPITULO IX

MISCELANEA SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Ejercicio 88

Dividir 196 entres partes tales que la segunda sea el duplo de la primera y la suma de las dos primeras exceda a la tercera en 20.
$\begin{matrix} x & p r i m e r a p a r t e \\ 2 x & s e g u n d a p a r t e \\ 3 x - 20 & t e r c e r a p a r t e \\ x + 2 x + 3 x - 20 = 196 \\ 6 x = 216 \\ x = \frac{}{6} \\ x = 36 p r i m e r a p a r t e \\ 2 x = 2 (36) = 72 s e g u n d a p a r t e \\ 3 x - 20 = 3 (36) - 20 = 108 - 20 = 88 t e r c e r a p a r t e \end{matrix}$
La edad de A es el triple de la de B y hace 5 años era el cuádruplo de la de B. Hallar las edades actuales.
$\begin{matrix} 3 x & e d a d d e A \\ x & e d a d d e B \\ 3 x - 5 = 4 (x - 5) \\ 3 x - 5 = 4 x - 20 \\ 3 x - 4 x = - 20 + 5 \\ - x = - 15 \\ x = 15 e d a d d e B \\ 3 x = 3 (15) = 45 e d a d d e A \end{matrix}$
Un comerciante adquiere 50 trajes y 35 pares de zapatos por 16000 soles. Cada traje costo el doble de lo que costó cada par de zapatos más 50 soles. Hallar el precio de un traje y de un par de zapatos.
$\begin{matrix} x & c o s t o p a r d e z a p a t o s \\ 2 x + 50 & c o s t o d e l t r a j e \\ 35 x c o s t o t o t a l d e l o s z a p a t o s \\ 50 (2 x + 50) c o s t o t o t a l d e l o s t r a j e s \\ 35 x + 50 (2 x + 50) = 16000 \\ M u l t i p l i c o l a e c u a c i ó n p o r \frac{1}{5} \\ 7 x + 10 (2 x + 50) = 3200 \\ 7 x + 20 x + 500 = 3200 \\ 27 x = 3200 - 500 \\ 27 x = 2700 \\ x = \frac{}{27} \\ x = 100 c o s t o d e u n p a r d e z a p a t o s \\ 2 x + 50 = 2 (100) + 50 = 250 c o s t o d e u n t r a j e \end{matrix}$
6 personas iban a comprar una casa contribuyendo por partes iguales pero dos de ellas desistieron del negocio y entonces cada una de las restantes tuvo que poner 2000 bolívares más. ¿Cuál era el valor de la casa? 24000
$\begin{matrix} 6 x & c o s t o d e l a c a s a \\ x & c o s t o p o r c a d a p e r s o n a c u a n d o e r a n s e i s \\ 4 (x + 2000) & c o s t o c u a n d o q u e d a r o n c u a t r o p e r s o n a s \\ 6 x = 4 (x + 2000) \\ 6 x = 4 x + 8000 \\ 6 x - 4 x = 8000 \\ 2 x = 8000 \\ x = \frac{}{2} \\ x = 4000 c o s t o d e c a d a p e r s o n a \\ 6 x = 6 (4000) = 24000 c o s t o d e l a c a s a \end{matrix}$
La suma de dos números es 108 y el doble del mayor excede al triplo del menor en 156. Hallar los números.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o m e n o r \\ 108 - x & n ú m e r o m a y o r \\ 2 (108 - x) = 3 x + 156 \\ 216 - 2 x = 3 x + 156 \\ - 2 x - 3 x = 156 - 216 \\ - 5 x = - 60 \\ x = \frac{}{- 5} \\ x = 12 n ú m e r o m e n o r \\ 108 - x = 108 - 12 = 96 n ú m e r o m a y o r \end{matrix}$
El largo de un buque, que es 461 pies, excede en 11 pies a 9 veces el ancho. Hallar el ancho.
$\begin{matrix} x & a n c h o d e l b u q u e \\ 461 - 11 = 9 x \\ 450 = 9 x \\ x = \frac{}{9} \\ x = 50 a n c h o d e l b u q u e \end{matrix}$
Tenía $ 85. Gasté cierta suma y lo que me queda es el cuádruplo de lo que gasté. ¿Cuánto gasté?
$\begin{matrix} 85 - x & r e s i d u o \\ x & d i n e r o g a s t a d o \\ 85 - x = 4 x \\ 85 = 5 x \\ x = \frac{}{5} \\ x = 17 d i n e r o g a s t a d o \end{matrix}$
Hace 12 años la edad de A era el doble de la de B y dentro de 12 años, la edad de A será 68 años menos que el triplo de la de B. Hallar las edades actuales.
$\begin{matrix} x & e d a d d e a c t u a l B \\ 2 (x - 12) = 2 x - 24 & e d a d d e A h a c e 12 a ñ o s \\ 2 x - 24 + 12 = 2 x - 12 & e d a d d e A a c t u a l \\ 2 x - 12 + 12 = 2 x & e d a d d e A d e n t r o d e 12 a ñ o s \\ x + 12 & e d a d d e B d e n t r o d e 12 a ñ o s \\ 2 x = 3 (x + 12) - 68 \\ 2 x = 3 x + 36 - 68 \\ 2 x - 3 x = - 32 \\ - x = - 32 \\ x = 32 e d a d a c t u a l d e B \\ 2 x - 12 = 2 (32) - 12 = 64 - 12 = 52 e d a d a c t u a l d e A \end{matrix}$
Tengo $ 1.85 en monedas de 10 y 5 centavos. Si en total tengo 22 monedas, ¿Cuántas son de 10 centavos y cuántas de 5 centavos?
$\begin{matrix} x & m o n e d a d d e 10 c t v s \\ 22 - x & m o n e d a d d e 5 c t v s \\ 0, 1 x v a l o r d e l a m o n e d a s d e 10 c t v s . \\ 0, 05 (22 - x) v a l o r d e l a s m o n e d a s d e 5 c t v s \\ 0, 1 x + 0, 05 (22 - x) = 1.85 \\ 0, 1 x + 1, 1 - 0, 05 x = 1, 85 \\ 0, 05 x = 1, 85 - 1, 1 \\ 0, 05 x = 0, 75 \\ x = \frac{0, 75}{0, 05} \\ x = 15 m o n e d a s d e 10 c t v s . \\ 22 - x = 22 - 15 = 7 m o n e d a s d e 5 c t v s . \end{matrix}$
Si a un número se resta 24 y la diferencia se multiplica por 12, es el resultado es el mismo que si al número se resta 27 y la diferencia se multiplica por 24. Hallar el número.
$\begin{matrix} x & u n n ú m e r o \\ x - 24 & d i f e r e n c i a \\ 12 (x - 24) = 24 (x - 27) \\ M u l t i p l i c o a l a e c u a c i ó n p o r \frac{1}{12} \\ x - 24 = 2 (x - 27) \\ x - 24 = 2 x - 54 \\ x - 2 x = 24 - 54 \\ - x = - 30 \\ x = 30 \end{matrix}$
Un hacendado compró 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos más por el mismo precio, cada caballo le habrá costado $ 10 menos. ¿Cuánto le costó cada caballo?
$\begin{matrix} x & c o s t o d e c a d a c a b a l l o \\ 35 x = 40 (x - 10) \\ M u l t i p l i c o l a e c u a c i ó n p o r \frac{1}{5} \\ 7 x = 8 (x - 10) \\ 7 x = 8 x - 80 \\ 7 x - 8 x = - 80 \\ - x = - 80 \\ x = 80 c o s t o d e c a d a c a b a l l o \end{matrix}$
El exceso del triplo de un número sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre el número. Hallar el número.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o b u s c a d o \\ 3 x - 55 = 233 - x \\ 3 x + x = 233 + 55 \\ 4 x = 288 \\ x = \frac{}{4} \\ x = 72 n ú m e r o b u s c a d o \end{matrix}$
Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el duplo del menor más el triplo del mediano más el cuádruplo del mayor equivalga a 740.
$\begin{matrix} x & p r i m e r n ú m e r o \\ x + 1 & s e g u n d o n ú m e r o \\ x + 2 & t e r c e r n ú m e r o \\ 2 x + 3 (x + 1) + 4 (x + 2) = 740 \\ 2 x + 3 x + 3 + 4 x + 8 = 740 \\ 9 x + 11 = 740 \\ 9 x = 740 - 11 \\ 9 x = 729 \\ x = \frac{}{9} \\ x = 81 p r i m e r n ú m e r o \\ x + 1 = 82 s e g u n d o n ú m e r o \\ x + 2 = 83 t e r c e r n ú m e r o \end{matrix}$
Un hombre ha recorrido 150 km. En auto recorrió una distancia triple que a caballo y a pie, 20 km. menos que a caballo. ¿Cuántos Km. recorrió de cada modo?
$\begin{matrix} x & d i s t a n c i a e n c a b a l l o \\ 3 x & d i s t a c i a e n a u t o \\ x - 20 & d i s t a n c i a a p i e \\ x + 3 x + x - 20 = 150 \\ 5 x = 150 + 20 \\ 5 x = 170 \\ x = \frac{}{5} \\ x = 34 k m d i s t a n c i a a c a b a l l o \\ 3 x = 3 (34) = 102 k m d i s t a n c i a e n a u t o \\ x - 20 = 34 - 20 = 14 k m a p i e \end{matrix}$
Un hombre deja una herencia de 16500 soles para repartir entre 3 hijos y 2 hijas, y manda que cada hija reciba 2000 más que cada hijo. Hallar la parte de cada hijo y de cada hija.
$\begin{matrix} x & p a r t e d e l o s h i j o s \\ x + 2000 & p a r t e d e l a s h i j a s \\ 3 x + 2 (x + 2000) = 16500 \\ 3 x + 2 x + 4000 = 16500 \\ 5 x = 16500 - 4000 \\ 5 x = 12500 \\ x = \frac{}{5} \\ x = 2500 s o l e s p a r a c a d a h i j o \\ x + 2000 = 2500 + 2000 = 4500 s o l e s p a r a c a d a h i j a \end{matrix}$
La diferencia de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 31. Hallar los números.
$\begin{matrix} x & u n n ú m e r o \\ x - 1 & n ú m e r o a n t e r i o r \\ x^{2} - {(x - 1)}^{2} = 31 \\ x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) = 31 \\ x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 = 31 \\ 2 x = 31 + 1 \\ 2 x = 32 \\ x = \frac{}{2} \\ x = 16 \\ x - 1 = 16 - 1 = 15 \end{matrix}$
La edad de A es el triplo de la de B, y la de B 5 veces la de C. B tiene 12 años que C. ¿Qué edad tiene cada uno?
$\begin{matrix} 3 (5 x) = 15 x & e d a d d e A \\ 5 x & e d a d d e B \\ x & e d a d d e C \\ 5 x = x + 12 \\ 5 x - x = 12 \\ 4 x = 12 \\ x = \frac{}{4} \\ x = 3 e d a d d e C \\ 5 x = 5 (3) = 15 e d a d d e B \\ 15 x = 15 (3) = 45 e d a d d e A \end{matrix}$
Dentro de 5 años la edad de A será el triplo de la de B, y 15 años después la edad de A será el duplo de la de B. Hallar las edades actuales.
$\begin{matrix} x & e d a d a c t u a l d e B \\ x + 5 & e d a d d e B e n c i n c o a ñ o s \\ 3 (x + 5) = 3 x + 15 & e d a d d e A e n c i n c o a ñ o s \\ 3 x + 15 - 5 = 3 x + 10 & e d a d a c t u a l d e A (*) \\ x + 20 & e d a d d e B e n 20 a ñ o s \\ 2 (x + 20) = 2 x + 40 & e d a d d e A e n 20 a ñ o s \\ 2 x + 40 - 20 = 2 x + 20 & e d a d a c t u a l d e A (*) \\ i g u a l o l a s e c u a c i o n e s d e l a s e d a d e s a c t u a l e s d e A \\ 3 x + 10 = 2 x + 20 \\ 3 x - 2 x = 20 - 10 \\ x = 10 a ñ o s e d a d a c t u a l d e B \\ 3 x + 10 = 3 (10) + 10 = 30 + 10 = 40 e d a d a c t u a l d e A \end{matrix}$
El martes gané el doble de lo que gané el lunes; el miércoles el doble de lo que gané el martes; el jueves el doble de lo que gané el miércoles; el viernes $ 30 menos que el jueves y el sábado $ 10 más que el viernes. Si en los 6 días he ganado $ 911, ¿Cuánto gané cada día?
$\begin{matrix} x & d i n e r o g a n a d o e l l u n e s \\ 2 x & d i n e r o g a n a d o e l m a r t e s \\ 2 (2 x) = 4 x & d i n e r o g a n a d o e l m i e r c o l e s \\ 2 (4 x) = 8 x & d i n e r o g a n a d o e l j u e v e s \\ 8 x - 30 & d i n e r o g a n a d o e l v i e r n e s \\ (8 x - 30) + 10 = 8 x - 20 & d i n e r o g a n a d o e l s á b a d o \\ x + 2 x + 4 x + 8 x + 8 x - 30 + 8 x - 20 = 911 \\ 31 x - 50 = 911 \\ 31 x = 911 + 50 \\ 31 x = 961 \\ x = \frac{}{31} \\ x = 31 d i n e r o g a n a d o e l l u n e s \\ 2 x = 2 (31) = 62 d i n e r o g a n a d o e l m a r t e s \\ 4 x = 4 (31) = 124 d i n e r o g a n a d o e l m i e r c o l e s \\ 8 x = 8 (31) = 248 d i n e r o g a n a d o e l j u e v e s \\ 8 x - 30 = 8 (31) - 30 = 248 - 30 = 218 d i n e r o g a n a d o e l v i e r n e s \\ 8 x - 20 = 8 (31) - 20 = 248 - 20 = 228 d i n e r o g a n a d o e l s á b a d o \end{matrix}$
Hallar dos números cuya diferencia es 18 y cuya suma es el triplo de su diferencia.
$\begin{matrix} x & u n n ú m e r o \\ x - 18 & d i f e r e n c i a d e l o s n ú m e r o s \\ x - 18 + x = 3 (18) \\ 2 x - 18 = 54 \\ 2 x = 54 + 18 \\ 2 x = 72 \\ x = \frac{}{2} \\ x = 36 \\ x - 18 = 36 - 18 = 18 \end{matrix}$
Entre A y B tienen 36. Si A perdiera $ 16, lo que tiene B seria el triplo de lo que le quedaría a A. ¿Cuánto tiene cada uno?
$\begin{matrix} x & d i n e r o a A \\ 3 (x - 16) & d i n e r o d e B \\ x + 3 (x - 16) = 36 \\ x + 3 x - 48 = 36 \\ 4 x = 84 \\ x = \frac{}{4} \\ x = 21 d i n e r o d e A \\ 3 (x - 16) = 3 (21 - 16) = 3 (5) = 15 d i n e r o d e B \end{matrix}$
A tiene el triplo de lo que tiene B, y B el doble de lo de C. Si A pierde $ 1 y B pierde $ 3, la diferencia de lo que les queda a A y a B es el doble de lo que tendría C si ganara $ 20. ¿Cuánto tiene cada uno?
$\begin{matrix} x & d i n e r o d e C \\ 2 x & d i n e r o d e B \\ 3 (2 x) = 6 x & d i n e r o d e A \\ (6 x - 1) - (2 x - 3) = 2 (x + 20) \\ 6 x - 1 - 2 x + 3 = 2 x + 40 \\ 4 x - 2 x = 40 - 2 \\ 2 x = 38 \\ x = \frac{}{2} \\ x = 19 d i n e r o d e C \\ 2 x = 2 (19) = 38 d i n e r o d e B \\ 6 x = 6 (19) = 114 d i n e r o d e A \end{matrix}$
5 personas han comprado una tienda contribuyendo por partes iguales. Si hubiera habido dos socios más, cada uno hubiera pagado 800 bolívares menos. ¿Cuánto costó la tienda?
$\begin{matrix} x & d i n e r o a p o r t a d o p o r c a d a s o c i o \\ 5 x & d i n e r o t o t a l d e l o s s o c i o s \\ 7 (x - 800) & d i n e r o c o n d o s s o c i o s m á s \\ 5 x = 7 (x - 800) \\ 5 x = 7 x - 5600 \\ 5 x - 7 x = - 5600 \\ - 2 x = - 5600 \\ x = \frac{}{- 2} \\ x = 2800 \\ 5 x = 5 (2800) = 14000 c o s t o d e l a t i e n d a \end{matrix}$
Un colono compró dos caballos, pagando por ambos $ 120. Si el caballo peor hubiera costado $ 15 más, el mejor habría costado doble que él. ¿Cuánto costó cada caballo?
$\begin{matrix} x & c o s t o p e o r c a b a l l o \\ 120 - x & c o s t o m e j o r c a b a l l o \\ 120 - x = 2 (x + 15) \\ 120 - x = 2 x + 30 \\ - x - 2 x = - 120 + 30 \\ - 3 x = - 90 \\ x = \frac{}{- 3} \\ x = 30 c o s t o d e l p e o r c a b a l l o \\ 120 - x = 120 - 30 = 90 c o s t o d e l m e j o r c a b a l l o \end{matrix}$
A y B empiezan a jugar con 80 quetzales cada uno. ¿Cuánto ha perdido A si B tiene ahora el triplo de lo que tiene A?
$\begin{matrix} 80 - x & c a n t i d a d d e d i n e r o d e A \\ 3 (80 - x) & c a n t i d a d d e d i n e r o d e B \\ 80 - x + 3 (80 - x) = 160 \\ 80 - x + 240 - 3 x = 160 \\ - 4 x = 160 - 320 \\ - 4 x = - 160 \\ x = \frac{}{- 4} \\ x = 40 \\ 80 - x = 80 - 40 = 40 d i n e r o p e r d i d o p o r A \end{matrix}$
A y B empiezan a jugar teniendo A doble dinero que B. A pierde $ 400 y entonces B tiene el doble de lo que tiene A. ¿Con cuánto empezó a jugar cada uno?
$\begin{matrix} x & d i n e r o d e B \\ 2 x & d i n e r o d e A \\ 2 x - 400 & d i n e r o d e s p u e s d e j u g a r \\ 2 (2 x - 400) & d i n e r o d e B d e p u e s d e j u g a r \\ x + 2 x = 2 x - 400 + 2 (2 x - 400) \\ 3 x = 2 x - 400 + 4 x - 800 \\ 3 x - 6 x = - 1200 \\ - 3 x = - 1200 \\ x = \frac{}{- 3} \\ x = 400 d i n e r o d e B \\ 2 x = 2 (400) d i n e r o d e A \end{matrix}$
Compré cuádruple número de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 caballos más y 5 vacas más tendría triple número de caballos que de vacas. ¿Cuántos caballos y cuántas vacas compré? $\begin{matrix} x & n ú m e r o d e v a c a s \\ 4 x & n ú m e r o d e c a b a l l o s \\ 4 x + 5 = 3 (x + 5) \\ 4 x + 5 = 3 x + 15 \\ 4 x - 3 x = 15 - 5 \\ x = 10 n ú m e r o d e v a c a s \\ 4 x = 4 (10) = 40 n ú m e r o d e c a b a l l o s \end{matrix}$
En cada día, de lunes a jueves, gané $ 6 más de lo que gané el día anterior. Si el jueves gané el cuádruplo de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané cada día?
$\begin{matrix} x & d i n e r o g a n a d o e l l u n e s \\ x + 6 & d i n e r o g a n a d o e l m a r t e s \\ x + 12 & d i n e r o g a n a d o e l m i é r c o l e s \\ x + 18 & d i n e r o g a n a d o e l j u e v e s (*) \\ 4 x & d i n e r o g a n a d o e l j u e v e s (*) \\ I g u a l o l a s e c u a c i o n e s d e l d í a j u e v e s \\ 4 x = x + 18 \\ 4 x - x = 18 \\ 3 x = 18 \\ x = \frac{}{3} \\ x = 6 d i n e r o g a n a d o e l d í a l u n e s \\ x + 6 = 6 + 6 = 12 d i n e r o g a n a d o e l d í a m a r t e s \\ x + 12 = 6 + 12 = 18 d i n e r o g a n a d o e l d í a m i e r c o l e s \\ 4 x = 4 (6) = 24 d i n e r o g a n a d o e l d í a j u e v e s \end{matrix}$
Tenía cierta suma de dinero. Ahorré una suma igual a lo que tenía y gasté 50 soles; luego ahorré una suma igual al doble de lo que me quedaba y gasté 390 soles. Si ahora no tengo nada, ¿Cuánto tenía al principio?
$\begin{matrix} x & d i n e r o i n i c i a l \\ 2 x - 50 & d i n e r o a h o r r a d o y g a s t a d o \\ 2 (2 x - 50) - 390 & d i n e r o f i n a l \\ 2 x - 50 + 2 (2 x - 50) - 390 = 0 \\ 2 x - 50 + 4 x - 100 - 390 = 0 \\ 6 x - 540 = 0 \\ x = \frac{}{6} \\ x = 90 d i n e r o i n i c i a l \end{matrix}$
Una sala tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en 6 m y el ancho se aumenta en 4 m, la superficie de la sala no varía. Hallar las dimensiones de la sala.
$\begin{matrix} x & a n c h o d e l a s a l a \\ 2 x & l a r g o d e l a s a l a \\ 2 x - 6 & l a r g o d i s m i n u i d o \\ x + 4 & a n c h o a u m e n t a d o \\ x (2 x) = (2 x - 6) (x + 4) \\ 2 x^{2} = 2 x^{2} + 8 x - 6 x - 24 \\ 2 x^{2} - 2 x^{2} + 24 = 2 x \\ x = \frac{}{2} \\ x = 12 m t s . a n c h o d e l a s a l a \\ 2 x = 2 (12) = 24 m t s . l a r g o d e l a s a l a \end{matrix}$
Hace 5 años la edad de un padre era tres veces la de su hijo y dentro de 5 años será el doble. ¿Qué edades tienen ahora el padre y el hijo?
$\begin{matrix} x & e d a d a c t u a l d e l h i j o \\ 3 (x - 5) = 3 x - 15 & e d a d d e l p a d r e h a c e c i n c o a ñ o s \\ 3 x - 15 + 5 = 3 x - 10 & e d a d a c t u a l d e l p a d r e (*) \\ 2 (x + 5) = 2 x + 10 & e d a d d e l p a d r e d e n t r o d e c i n c o a ñ o s \\ 2 x + 10 - 5 = 2 x + 5 & e d a d a c t u a l d e l p a d r e (*) \\ I g u a l o l a s e c u a c i o n e s d e l a s e d a d e s a c t u a l e s d e l p a d r e \\ 3 x - 10 = 2 x + 5 \\ 3 x - 2 x = 10 + 5 \\ x = 15 e d a d d e l h i j o \\ 2 x + 5 = 2 (15) + 5 = 30 + 5 = 35 e d a d d e l p a d r e \end{matrix}$
Dentro de 4 años la edad de A será el triplo de la de B, y hace 2 años era el quíntuplo. Hallar las edades actuales.
$\begin{matrix} x & e d a d a c t u a l d e B \\ 3 (x + 4) = 3 x + 12 & e d a d d e A e n c u a t r o a ñ o s \\ 3 x + 12 - 4 = 3 x + 8 & e d a d a c t u a l d e A (*) \\ 5 (x - 2) = 5 x - 10 & e d a d d e A h a c e d o s a ñ o s \\ 5 x - 10 + 2 = 5 x - 8 & e d a d a c t u a l d e A (*) \\ I g u a l a m o s l a s e c u a c i o n e s d e l a s e d a d e s a c t u a l e s d e A \\ 3 x + 8 = 5 x - 8 \\ 3 x - 5 x = - 8 - 8 \\ - 2 x = - 16 \\ x = \frac{}{- 2} \\ x = 8 e d a d a c t u a l d e B \\ 3 x + 8 = 3 (8) + 8 = 24 + 8 = 32 e d a d a c t u a l d e A \end{matrix}$