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CAPITULO IX

Problemas sobre ecuaciones enteras

Ejercicio 87

Compre doble número de sombreros que de trajes por $ 702 balboas. Cada sombrero costó 2 y cada traje 50. ¿Cuántos sombreros y cuántos trajes compré?
$\begin{matrix} x & n ú m e r o d e t r a j e s \\ 2 x & n ú m e r o d e s o m b r e r o s \\ 2 (2 x) = 4 x c o s t o t o t a l d e l o s s o m b r e r o s \\ 50 x = c o s t o t o t a l d e l o s t r a j e s \\ 4 x + 50 x = 702 \\ 54 x = 702 \\ x = \frac{}{54} \\ x = 13 n ú m e r o d e t r a j e s \\ 2 x = 2 (13) = 26 n ú m e r o d e s o m b r e r o s \end{matrix}$
Un hacendado compró caballos y vacas por 40000 bolívares. Por cada caballo pagó 600 y por cada vaca 800. Si compró 6 vacas menos que caballos, ¿Cuantas vacas y cuántos caballos compró?
$\begin{matrix} x & n ú m e r o d e c a b a l l o s \\ x - 6 & n ú m e r o d e v a c a s \\ 600 x c o s t o d e l o s c a b a l l o s \\ 800 (x - 6) c o s t o d e l a s v a c a s \\ 600 x + 800 (x - 6) = 40000 \\ M u l t i p l i c o a l a e c u a c i ó n p o r \frac{1}{100} \\ \frac{600 x}{100} + \frac{800}{100} (x - 6) = \frac{40000}{100} \\ 6 x + 8 (x - 6) = 400 \\ 6 x + 8 x - 48 = 400 \\ 14 x = 400 + 48 \\ 14 x = 448 \\ x = \frac{}{14} \\ x = 32 n ú m e r o d e c a b a l l o s \\ x - 6 = 32 - 6 = 26 n ú m e r o d e v a c a s \end{matrix}$
Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema que resuelva el muchacho recibirá 12 cts. Y por cada problema que no resuelva perderá 5 cts. Después de trabajar en los 16 problemas el muchacho recibe 73 cts. ¿Cuántos problemas resolvió y cuántos no resolvió?
$\begin{matrix} 16 - x & p r o b l e m a s r e s u e l t o s \\ x & p r o b l e m a s n o r e s u e l t o s \\ 12 (16 - x) d i n e r o r e c i b i d o \\ 5 x d i n e r o r e s t a d o \\ 12 (16 - x) - 5 x = 73 \\ 192 - 12 x - 5 x = 73 \\ - 17 x = - 192 + 73 \\ - 17 x = - 119 \\ x = \frac{}{- 17} \\ x = 7 p r o b l e m a s n o r e s u e l t o s \\ 16 - x = 16 - 7 = 9 p r o b l e m a s r e s u e l t o s \end{matrix}$
Un capataz contrata un obrero por 50 días pagándole $ 3 por cada día de trabajo con la condición de que por cada día que el obrero deje de asistir al trabajo perderá $ 2. Al cabo de los 50 días el obrero recibe $ 90. ¿Cuántos días trabajó y cuántos no trabajó?
$\begin{matrix} 50 - x & d í a s t r a b a j a d o s \\ x & d í a s n o t r a b a j a d o s \\ 3 (50 - x) = 150 - 3 x d i n e r o p a g a d o \\ 2 x d i n e r o d e s c o n t a d o \\ 150 - 3 x - 2 x = 90 \\ - 5 x = - 150 + 90 \\ - 5 x = - 60 \\ x = \frac{}{- 5} \\ x = 12 d í a s n o t r a b a j a d o s \\ 50 - x = 50 - 12 = 38 d í a s t r a b a j a d o s \end{matrix}$
Un comerciante compró 35 trajes de a 30 quetzales y de a 25 quetzales, pagando por todo 1015 quetzales. ¿Cuántos trajes de cada precio compró?
$\begin{matrix} 35 - x & t r a j e s d e 30 q u e t z a l e s \\ x & t r a j e s d e 25 q u e t z a l e s \\ 30 (35 - x) c o s t o t o t a l \\ 25 x c o s t o t o t a l \\ 30 (35 - x) + 25 x = 1015 \\ M u l t i p l i c o a l a e c u a c i ó n p o r \frac{1}{5} \\ \frac{}{5} (35 - x) + \frac{x}{5} = \frac{}{5} \\ 6 (35 - x) + 5 x = 203 \\ 210 - 6 x + 5 x = 203 \\ - x = - 210 + 203 \\ - x = - 7 \\ x = 7 \\ 35 - x = 35 - 7 = 28 \end{matrix}$
Un comerciante compró trajes de dos calidades por 1624 balboas. De la calidad mejor compró 32 trajes y de la calidad inferior compró 18. Si cada traje de la mejor calidad le costó 7 balboas más que cada traje de la menor calidad, ¿Cuál era el precio de un traje de cada calidad?
$\begin{matrix} x & c o s t o u n t r a j e m a y o r c a l i d a d \\ x - 7 & c o s t o u n t r a j e m e n o r c a l i d a d \\ 32 x c o s t o t o t a l t a j e m a y o r c a l i d a d \\ 18 (x - 7) c o s t o t o t a l t r a j e m e n o r c a l i d a d \\ 32 x + 18 (x - 7) = 1624 \\ M u l t i p l i c o a l a e c u a c i ó n p o r \frac{1}{2} \\ 16 x + 9 (x - 7) = 812 \\ 16 x + 9 x - 63 = 812 \\ 25 x = 812 + 63 \\ 25 x = 875 \\ x = \frac{}{25} \\ x = 35 c o s t o t r a j e m a y o r c a l i d a d \\ x - 7 = 35 - 7 = 28 c o s t o t r a j e m e n o r c a l i d a d \end{matrix}$
Un muchacho compró triple número de lápices que de cuadernos. Cada lápiz le costó a 5cts y cada cuaderno a 6 cts., si por todo pagó $ 1.47, ¿Cuántos lápices y cuántos cuadernos compró?
$\begin{matrix} x & n ú m e r o d e c u a d e r n o s \\ 3 x & n ú m e r o d e l á p i c e s \\ 0, 05 x c o s t o t o t a l d e c u a d e r n o s \\ 0, 06 (3 x) = 0, 18 x c o s t o t o t a l d e l á p i c e s \\ 0, 05 x + 0, 18 x = 1, 47 \\ 0, 23 x = 1, 47 \\ x = \frac{1, 47}{0, 23} \\ x = 6, 39 \approx 7 \Rightarrow t i e n e q u e s e r u n a c a n t i d a d e n t e r a p u e s t o q u e n o v a n a v e n d e r 6, 39 c u a d e r n o s \\ 3 x = 3 (7) = 21 l á p i c e s \end{matrix}$
Pagué $ 582 por cierto número de sacos de azúcar y de frijoles. Por cada saco de azúcar pagué $ 5 y por cada saco de frijoles pagué $ 6. Si el número de sacos de frijoles es el triplo del número de sacos de azúcar, más 5, ¿Cuántos sacos de azúcar y cuántos de frijoles compré?
$\begin{matrix} x & n ú m e r o d e s a c o s d e a z ú c a r \\ 3 x + 5 & n ú m e o d e s a c o s d e f r i j o l e s \\ 5 x c o s t o d e l o s s a c o s d e a z ú c a r \\ 6 (3 x + 5) c o s t o d e l o s s a c o s d e f r i j o l e s \\ 5 x + 6 (3 x + 5) = 582 \\ 5 x + 18 x + 30 = 582 \\ 23 x = 582 - 30 \\ 23 x = 552 \\ x = \frac{}{23} \\ x = 24 n ú m e r o d e s a c o s d e a z ú c a r \\ 3 x + 5 = 3 (24) + 5 = 72 + 5 = 77 n ú m e r o d e s a c o s d e f r i j o l e s \end{matrix}$
Se han comprado 80 pies cúbicos de madera por $ 68.40. La madera comprada es cedro y caoba. Cada pie cúbico de cedro costó 75 cts. Y cada pie cúbico de caoba 90 cts. ¿Cuántos pies cúbicos he comprado de cedro y cuántos de caoba?
$\begin{matrix} x & p i e s c ú b i c o s d e c a o b a \\ 80 - x & p i e s c ú b i c o s d e c e d r o \\ 0, 75 (80 - x) c o s t o t o t a l d e l c e d r o \\ 0, 9 x c o s t o t o t a l d e l a c a o b a \\ 0, 75 (80 - x) + 0, 9 x = 68, 40 \\ 60 - 0, 75 x + 0, 9 x = 68, 40 \\ 0, 15 x = 68, 40 - 60 \\ 0, 15 x = 8, 40 \\ x = \frac{8, 40}{0, 15} \\ x = 56 p i e s c ú b i c o s d e c a o b a \\ 80 - x = 80 - 56 = 24 p i e s c ú b i c o s d e c e d r o \end{matrix}$
Dividir el número 1050 en dos partes tales que el triplo de la parte mayor disminuido en el duplo de la parte menor equivalga a 1825.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o m e n o r \\ 1050 - x & n ú m e r o m a y o r \\ 3 (1050 - x) - 2 x = 1825 \\ 3150 - 3 x - 2 x = 1825 \\ - 5 x = 1825 - 3150 \\ - 5 x = - 1325 \\ x = \frac{}{5} \\ x = 265 n ú m e r o m e n o r \\ 1050 - x = 1050 - 265 = 785 n ú m e r o m a y o r \end{matrix}$