Comparte esto 👍👍

DESCARGA

CAPITULO X

Descomposición Factorial

Ejercicio 96

Factorar o descomponer en dos factores:

$\begin{matrix} a^{4} + a^{2} + 1 & = a^{4} + a^{2} + a^{2} + 1 - a^{2} \\ = (a^{4} + 2 a^{2} + 1) - a^{2} \\ = {(a^{2} + 1)}^{2} - a^{2} \\ = [(a^{2} + 1) - a] [(a^{2} + 1) + a] \\ = (a^{2} - a + 1) (a^{2} + a + 1) \end{matrix}$
$\begin{matrix} m^{4} + m^{2} n^{2} + n^{4} & = m^{4} + m^{2} n^{2} + m^{2} n^{2} + n^{4} - m^{2} n^{2} \\ = (m^{4} + 2 m^{2} n^{2} + n^{4}) - m^{2} n^{2} \\ = {(m^{2} + n^{2})}^{2} - m^{2} n^{2} \\ = [(m^{2} + n^{2}) - m n] [(m^{2} + n^{2}) + m n] \\ = (m^{2} + n^{2} - m n) (m^{2} + n^{2} + m n) \end{matrix}$
$\begin{matrix} x^{8} + 3 x^{4} + 4 & = x^{8} + 3 x^{4} + x^{4} + 4 - x^{4} \\ = (x^{8} + 4 x^{4} + 4) - x^{4} \\ = {(x^{4} + 2)}^{2} - x^{4} \\ = [(x^{4} + 2) - x^{2}] [(x^{4} + 2) + x^{2}] \\ = (x^{4} - x^{2} + 2) (x^{4} + x^{2} + 2) \end{matrix}$
$\begin{matrix} a^{4} + 2 a^{2} + 9 & = a^{4} + 2 a^{2} + 4 a^{2} + 9 - 4 a^{2} \\ = (a^{4} + 6 a^{2} + 9) - 4 a^{2} \\ = {(a^{2} + 3)}^{2} - 4 a^{2} \\ = [(a^{2} + 3) - 2 a] [(a^{2} + 3) + 2 a] \\ = (a^{2} - 2 a + 3) (a^{2} + 2 a + 3) \end{matrix}$
$\begin{matrix} a^{4} - 3 a^{2} b^{2} + b^{4} & = a^{4} - 3 a^{2} b^{2} + a^{2} b^{2} + b^{4} - a^{2} b^{2} \\ = (a^{4} - 2 a^{2} b^{2} + b^{4}) - a^{2} b^{2} \\ = {(a^{2} - b^{2})}^{2} - a^{2} b^{2} \\ = [(a^{2} - b^{2}) - a b] [(a^{2} - b^{2}) + a b] \\ = (a^{2} - a b - b^{2}) (a^{2} + a b - b^{2}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} x^{4} - 6 x^{2} + 1 & = x^{4} - 6 x^{2} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2} \\ = (x^{4} - 2 x^{2} + 1) - 4 x^{2} \\ = {(x^{2} - 1)}^{2} - 4 x^{2} \\ = [(x^{2} - 1) - 2 x] [(x^{2} - 1) + 2 x] \\ = (x^{2} - 2 x - 1) (x^{2} + 2 x - 1) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 4 a^{4} + 3 a^{2} b^{2} + 9 b^{4} & = 4 a^{4} + 3 a^{2} b^{2} + 9 a^{2} b^{2} + 9 b^{4} - 9 a^{2} b^{2} \\ = (4 a^{4} + 12 a^{2} b^{2} + 9 b^{4}) - 9 a^{2} b^{2} \\ = {(2 a^{2} + 3 b^{2})}^{2} - 9 a^{2} b^{2} \\ = [(2 a^{2} + 3 b^{2}) - 3 a b] [(2 a^{2} + 3 b^{2}) + 3 a b] \\ = (2 a^{2} - 3 a b + 3 b^{2}) (2 a^{2} + 3 a b + 3 b^{2}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 4 x^{4} - 29 x^{2} + 25 & = 4 x^{4} - 29 x^{2} + 9 x^{2} + 25 - 9 x^{2} \\ = (4 x^{4} - 20 x^{2} + 25) - 9 x^{2} \\ = {(2 x^{2} - 5)}^{2} - 9 x^{2} \\ = [(2 x^{2} - 5) - 3 x] [(2 x^{2} - 5) + 3 x] \\ = (2 x^{2} - 3 x - 5) (2 x^{2} + 3 x - 5) \end{matrix}$
$\begin{matrix} x^{8} + 4 x^{4} y^{4} + 16 y^{8} & = x^{8} + 4 x^{4} y^{4} + 4 x^{4} y^{4} + 16 y^{8} - 4 x^{4} y^{4} \\ = (x^{8} + 8 x^{4} y^{4} + 16 y^{8}) - 4 x^{4} y^{4} \\ = {(x^{4} + 4 y^{4})}^{2} - 4 x^{4} y^{4} \\ = [(x^{4} + 4 y^{4}) - 2 x^{2} y^{2}] [(x^{4} + 4 y^{4}) + 2 x^{2} y^{2}] \\ = (x^{4} - 2 x^{2} y^{2} + 4 y^{4}) (x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + 4 y^{4}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 16 m^{4} - 25 m^{2} n^{2} + 9 n^{4} & = 16 m^{4} - 25 m^{2} n^{2} + m^{2} n^{2} + 9 n^{4} - m^{2} n^{2} \\ = (16 m^{4} - 24 m^{2} n^{2} + 9 n^{4}) - m^{2} n^{2} \\ = {(4 m^{2} - 3 n^{2})}^{2} - m^{2} n^{2} \\ = [(4 m^{2} - 3 n^{2}) - m n] [(4 m^{2} - 3 n^{2}) + m n] \\ = (4 m^{2} - m n - 3 n^{2}) (4 m^{2} + m n - 3 n^{2}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 25 a^{4} + 54 a^{2} b^{2} + 49 b^{4} & = 25 a^{4} + 54 a^{2} b^{2} + 16 a^{2} b^{2} + 49 b^{4} - 16 a^{2} b^{2} \\ = (25 a^{4} + 70 a^{2} b^{2} + 49 b^{4}) - 16 a^{2} b^{2} \\ = {(5 a^{2} + 7 b^{2})}^{2} - 16 a^{2} b^{2} \\ = [(5 a^{2} + 7 b^{2}) - 4 a b] [(5 a^{2} + 7 b^{2}) + 4 a b] \\ = (5 a^{2} - 4 a b + 7 b^{2}) (5 a^{2} + 4 a b + 7 b^{2}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 36 x^{4} - 109 x^{2} y^{2} + 49 y^{4} & = 36 x^{4} - 109 x^{2} y^{2} + 25 x^{2} y^{2} + 49 y^{4} - 25 x^{2} y^{2} \\ = (36 x^{4} - 84 x^{2} y^{2} + 49 y^{4}) - 25 x^{2} y^{2} \\ = {(6 x^{2} - 7 y^{2})}^{2} - 25 x^{2} y^{2} \\ = [(6 x^{2} - 7 y^{2}) - 5 x y] [(6 x^{2} - 7 y^{2}) + 5 x y] \\ = (6 x^{2} - 5 x y - 7 y^{2}) (6 x^{2} + 5 x y - 7 y^{2}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 81 m^{8} + 2 m^{4} + 1 & = 81 m^{8} + 2 m^{4} + 16 m^{4} + 1 - 16 m^{4} \\ = (81 m^{8} + 18 m^{4} + 1) - 16 m^{4} \\ = {(9 m^{4} + 1)}^{2} - 16 m^{4} \\ = [(9 m^{4} + 1) - 4 m^{2}] [(9 m^{4} + 1) + 4 m^{2}] \\ = (9 m^{4} - 4 m^{2} + 1) (9 m^{4} + 4 m^{2} + 1) \end{matrix}$
$\begin{matrix} c^{4} - 45 c^{2} + 100 & = c^{4} - 45 c^{2} + 25 c^{2} + 100 - 25 c^{2} \\ = (c^{4} - 20 c^{2} + 100) - 25 c^{2} \\ = {(c^{2} - 10)}^{2} - 25 c^{2} \\ = [(c^{2} - 10) - 5 c] [(c^{2} - 10) + 5 c] \\ = (c^{2} - 5 c - 10) (c^{2} + 5 c - 10) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 4 a^{8} - 53 a^{4} b^{4} + 49 b^{8} & = 4 a^{8} - 53 a^{4} b^{4} + 25 a^{4} b^{4} + 49 b^{8} - 25 a^{4} b^{4} \\ = (4 a^{8} - 28 a^{4} b^{4} + 49 b^{8}) - 25 a^{4} b^{4} \\ = {(2 a^{4} - 7 b^{4})}^{2} - 25 a^{4} b^{4} \\ = [(2 a^{4} - 7 b^{4}) + 5 a^{2} b^{2}] [(2 a^{4} - 7 b^{4}) - 5 a^{2} b^{2}] \\ = (2 a^{4} + 5 a^{2} b^{2} - 7 b^{4}) (2 a^{4} - 5 a^{2} b^{2} - 7 b^{4}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 49 + 76 n^{2} + 64 n^{4} & = 49 + 76 n^{2} + 36 n^{2} + 64 n^{4} - 36 n^{2} \\ = (49 + 112 n^{2} + 64 n^{4}) - 36 n^{2} \\ = {(7 + 8 n^{2})}^{2} - 36 n^{2} \\ = [(7 + 8 n^{2}) - 6 n] [(7 + 8 n^{2}) + 6 n] \\ = (7 - 6 n + 8 n^{2}) (7 + 6 n + 8 n^{2}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 25 x^{4} - 139 x^{2} y^{2} + 81 y^{4} & = 25 x^{4} - 139 x^{2} y^{2} + 49 x^{2} y^{2} + 81 y^{4} - 49 x^{2} y^{2} \\ = (25 x^{4} - 90 x^{2} y^{2} + 81 y^{4}) - 49 x^{2} y^{2} \\ = {(5 x^{2} - 9 y^{2})}^{2} - 49 x^{2} y^{2} \\ = [(5 x^{2} - 9 y^{2}) - 7 x y] [(5 x^{2} - 9 y^{2}) + 7 x y] \\ = (5 x^{2} - 7 x y - 9 y^{2}) (5 x^{2} + 7 x y - 9 y^{2}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 49 x^{8} + 76 x^{4} y^{4} + 100 y^{8} & = 49 x^{8} + 76 x^{4} y^{4} + 64 x^{4} y^{4} + 100 y^{8} - 64 x^{4} y^{4} \\ = (49 x^{8} + 140 x^{4} y^{4} + 100 y^{8}) - 64 x^{4} y^{4} \\ = {(7 x^{4} + 10 y^{4})}^{2} - 64 x^{4} y^{4} \\ = [(7 x^{4} + 10 y^{4}) - 8 x^{2} y^{2}] [(7 x^{4} + 10 y^{4}) + 8 x^{2} y^{2}] \\ = (7 x^{4} - 8 x^{2} y^{2} + 10 y^{4}) (7 x^{4} + 8 x^{2} y^{2} + 10 y^{4}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 4 - 108 x^{2} + 121 x^{4} & = 4 - 108 x^{2} + 64 x^{2} + 121 x^{4} - 64 x^{2} \\ = (4 - 44 x^{2} + 121 x^{4}) - 64 x^{2} \\ = {(2 - 11 x^{2})}^{2} - 64 x^{2} \\ = [(2 - 11 x^{2}) - 8 x] [(2 - 11 x^{2}) + 8 x] \\ = (2 - 8 x - 11 x^{2}) (2 + 8 x - 11 x^{2}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 121 x^{4} - 133 x^{2} y^{4} + 36 y^{8} & = 121 x^{4} - 133 x^{2} y^{4} + x^{2} y^{4} + 36 y^{8} - x^{2} y^{4} \\ = (121 x^{4} - 132 x^{2} y^{4} + 36 y^{8}) - x^{2} y^{4} \\ = {(11 x^{2} - 6 y^{4})}^{2} - x^{2} y^{4} \\ = [(11 x^{2} - 6 y^{4}) - x y^{2}] [(11 x^{2} - 6 y^{4}) + x y^{2}] \\ = (11 x^{2} - x y^{2} - 6 y^{4}) (11 x^{2} + x y^{2} - 6 y^{4}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 144 + 23 n^{6} + 9 n^{12} & = 144 + 23 n^{6} + 49 n^{6} + 9 n^{12} - 49 n^{6} \\ = 144 + 72 n^{6} + 9 n^{12} - 49 n^{6} \\ = {(12 + 3 n^{6})}^{2} - 49 n^{6} \\ = [(12 + 3 n^{6}) - 7 n^{3}] [(12 + 3 n^{6}) + 7 n^{3}] \\ = (12 - 7 n^{3} + 3 n^{6}) (12 + 7 n^{3} + 3 n^{6}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 16 - 9 c^{4} + c^{8} & = 16 - 9 c^{4} + c^{4} + c^{8} - c^{4} \\ = (16 - 8 c^{4} + c^{8}) - c^{4} \\ = {(4 - c^{4})}^{2} - c^{4} \\ = [(4 - c^{4}) - c^{2}] [(4 - c^{4}) + c^{2}] \\ = (4 - c^{2} - c^{4}) (4 + c^{2} - c^{4}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 64 a^{4} - 169 a^{2} b^{4} + 81 b^{8} & = 64 a^{4} - 169 a^{2} b^{4} + 25 a^{2} b^{4} + 81 b^{8} - 25 a^{2} b^{4} \\ = (64 a^{4} - 144 a^{2} b^{4} + 81 b^{8}) - 25 a^{2} b^{4} \\ = {(8 a^{2} - 9 b^{4})}^{2} - 25 a^{2} b^{4} \\ = [(8 a^{2} - 9 b^{4}) - 5 a b^{2}] [(8 a^{2} - 9 b^{4}) + 5 a b^{2}] \\ = (8 a^{2} - 5 a b^{2} - 9 b^{4}) (8 a^{2} + 5 a b^{2} - 9 b^{4}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 225 + 5 m^{2} + m^{4} & = 225 + 5 m^{2} + 25 m^{2} + m^{4} - 25 m^{2} \\ = (225 + 30 m^{2} + m^{4}) - 25 m^{2} \\ = {(15 + m^{2})}^{2} - 25 m^{2} \\ = [(15 + m^{2}) - 5 m] [(15 + m^{2}) + 5 m] \\ = (15 - 5 m + m^{2}) (15 + 5 m + m^{2}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 1 - 126 a^{2} b^{4} + 169 a^{4} b^{8} & = 1 - 126 a^{2} b^{4} + 100 a^{2} b^{4} + 169 a^{4} b^{8} - 100 a^{2} b^{4} \\ = (1 - 26 a^{2} b^{4} + 169 a^{4} b^{8}) - 100 a^{2} b^{4} \\ = {(1 - 13 a^{2} b^{4})}^{2} - 100 a^{2} b^{4} \\ = [(1 - 13 a^{2} b^{4}) - 10 a b^{2}] [(1 - 13 a^{2} b^{4}) + 10 a b^{2}] \\ = (1 - 10 a b^{2} - 13 a^{2} b^{4}) (1 + 10 a b^{2} - 13 a^{2} b^{4}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} x^{4} y^{4} + 21 x^{2} y^{2} + 121 & = x^{4} y^{4} + 21 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + 121 - x^{2} y^{2} \\ = (x^{4} y^{4} + 22 x^{2} y^{2} + 121) - x^{2} y^{2} \\ = {(x^{2} y^{2} + 11)}^{2} - x^{2} y^{2} \\ = [(x^{2} y^{2} + 11) + x y] [(x^{2} y^{2} + 11) - x y] \\ = (x^{2} y^{2} + x y + 11) (x^{2} y^{2} - x y + 11) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 49 c^{8} + 75 c^{4} m^{2} n^{2} + 196 m^{4} n^{4} & = 49 c^{8} + 75 c^{4} m^{2} n^{2} + 121 c^{4} m^{2} n^{2} + 196 m^{4} n^{4} - 121 c^{4} m^{2} n^{2} \\ = 49 c^{8} + 196 c^{4} m^{2} n^{2} + 196 m^{4} n^{4} - 121 c^{4} m^{2} n^{2} \\ = {(7 c^{4} + 14 m^{2} n^{2})}^{2} - 121 c^{4} m^{2} n^{2} \\ = [(7 c^{4} + 14 m^{2} n^{2}) - 11 c^{2} m n] [(7 c^{4} + 14 m^{2} n^{2}) + 11 c^{2} m n] \\ = (7 c^{4} - 11 c^{2} m n + 14 m^{2} n^{2}) (7 c^{4} + 11 c^{2} m n + 14 m^{2} n^{2}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 81 a^{4} b^{8} - 292 a^{2} b^{4} x^{8} + 256 x^{16} & = 81 a^{4} b^{8} - 292 a^{2} b^{4} x^{8} + 4 a^{2} b^{4} x^{8} + 256 x^{16} - 4 a^{2} b^{4} x^{8} \\ = (81 a^{4} b^{8} - 288 a^{2} b^{4} x^{8} + 256 x^{16}) - 4 a^{2} b^{4} x^{8} \\ = {(9 a^{2} b^{4} - 16 x^{8})}^{2} - 4 a^{2} b^{4} x^{8} \\ = [(9 a^{2} b^{4} - 16 x^{8}) - 2 a b^{2} x^{4}] [(9 a^{2} b^{4} - 16 x^{8}) + 2 a b^{2} x^{4}] \\ = (9 a^{2} b^{4} - 2 a b^{2} x^{4} - 16 x^{8}) (9 a^{2} b^{4} + 2 a b^{2} x^{4} - 16 x^{8}) \end{matrix}$