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CAPITULO XVII

Problemas sobre ecuaciones fraccionarias de primer grado

Ejercicio 148

En tres días un hombre ganó $ 175. Si cada día ganó la mitad de lo que ganó el día anterior, ¿Cuánto ganó cada día?
$\begin{matrix} x & d i n e r o g a n a d o p r i m e r d í a \\ \frac{x}{2} & d i n e r o g a n a d o s e g u n d o d í a \\ \frac{x}{4} & d i n e r o g a n a d o t e r c e r d í a \\ x + \frac{x}{2} + \frac{x}{4} & = 175 \\ \frac{4 x + 2 x + x}{4} & = 175 \\ \frac{7 x}{4} & = 175 \\ x & = \frac{4}{7} \\ x & = 100 d i n e r o g a n a d o p r i m e r d í a \\ \frac{x}{2} & = \frac{}{2} = 50 d i n e r o g a n a d o s e g u n d o d í a \\ \frac{x}{4} & = \frac{}{4} = 25 d i n e r o g a n a d o t e r c e r d í a \end{matrix}$
El jueves perdí los 3/5 de lo que perdí el miércoles y el viernes los 5/6 de lo que perdí el jueves. Si en los 3 días perdí $ 252, ¿Cuánto perdí cada día?
$\begin{matrix} x & c a n t i d a d d e d i n e r o p e r d i d o e l m i é r c o l e s \\ \frac{3}{5} x & c a n t i d a d d e d i n e r o p e r d i d o e l j u e v e s \\ \frac{5}{} (\frac{3}{5} x) = \frac{1}{2} x & c a n t i d a d d e d i n e r o p e r d i d o e l v i e r n e s \\ x + \frac{3}{5} x + \frac{x}{2} & = 252 \\ \frac{10 x + 6 x + 5 x}{10} & = 252 \\ \frac{21 x}{10} & = 252 \\ x & = \frac{10}{21} \\ x & = 120 d i n e r o p e r d i d o e l m i é r c o l e s \\ \frac{3}{5} x & = \frac{3}{5} = 72 d i n e r o p e r d i d o e l j u e v e s \\ \frac{x}{2} & = \frac{}{2} = 60 d i n e r o p e r d i d o e l v i e r n e s \end{matrix}$
B tiene 2/3 de lo que tiene A y C 3/5 de lo que tiene B. Si entre los 3 tienen 248 sucres, ¿Cuánto tiene cada uno?
$\begin{matrix} x & d i n e r o d e A \\ \frac{2}{3} x & d i n e r o d e B \\ \frac{3}{5} (\frac{2}{3} x) = \frac{2}{5} x & d i n e r o d e C \\ x + \frac{2}{3} x + \frac{2}{5} x & = 248 \\ \frac{15 x + 10 x + 6 x}{15} & = 248 \\ \frac{31 x}{15} & = 248 \\ x & = \frac{15}{31} \\ x & = 120 d i n e r o d e A \\ \frac{2 x}{3} & = \frac{2}{3} = 80 d i n e r o d e B \\ \frac{2 x}{5} & = \frac{2}{5} = 48 d i n e r o d e C \end{matrix}$
La edad de B es los 3/5 de la de A y la de C los 3/8 de la de B. Si las 3 edades suman 73 años, hallar las edades respectivas.
$\begin{matrix} x & e d a d d e A \\ \frac{3}{5} x & e d a d d e B \\ \frac{3}{8} (\frac{3}{5} x) = \frac{9 x}{40} & e d a d d e C \\ x + \frac{3 x}{5} + \frac{9 x}{40} & = 73 \\ \frac{40 x + 24 x + 9 x}{40} & = 73 \\ \frac{73 x}{40} & = 73 \\ x & = \frac{73 (40)}{73} \\ x & = 40 e d a d d e A \\ \frac{3}{5} x & = \frac{3}{5} = 24 e d a d d e B \\ \frac{9 x}{40} & = \frac{9 (40)}{(40)} = 9 e d a d d e C \end{matrix}$
En 4 días un hombre recorrió 120 Km. Si cada día recorrió 1/3 de lo que recorrió el día anterior, ¿Cuántos Km. recorrió en cada día?.
$\begin{matrix} x & k m . r e c o r r i d o e l p r i m e r d í a \\ \frac{x}{3} & k m . r e c o r r i d o e l s e g u n d o d í a \\ \frac{x}{9} & k m . r e c o r r i d o e l t e r c e r d í a \\ \frac{x}{27} & k m . r e c o r r i d o e l c u a r t o d í a \\ x + \frac{x}{3} + \frac{x}{9} + \frac{x}{27} & = 120 \\ \frac{27 x + 9 x + 3 x + x}{27} & = 120 \\ \frac{40 x}{27} & = 120 \\ x & = \frac{27}{40} \\ x & = 81 k m . p r i m e r d í a \\ \frac{x}{3} & = \frac{}{3} = 27 k m . s e g u n d o d í a \\ \frac{x}{9} & = \frac{}{9} = 9 k m . t e r c e r d í a \\ \frac{x}{27} & = \frac{}{27} = 3 k m . c u a r t o d í a \end{matrix}$
En 4 semanas un avión recorrió 4641 Km. Si cada semana recorrió los 11/10 de lo que recorrió la semana anterior, ¿Cuántos Km. recorrió en cada semana?
$\begin{matrix} x & k m . r e c o r r i d o p r i m e r a s e m a n a \\ \frac{11 x}{10} & k m . r e c o r r i d o s e g u n d a s e m a n a \\ \frac{121 x}{100} & k m . r e c o r r i d o t e r c e r a s e m a n a \\ \frac{1331 x}{1000} & k m . r e c o r r i d o c u a r t a s e m a n a \\ x + \frac{11 x}{10} + \frac{121 x}{100} + \frac{1331 x}{1000} & = 4641 \\ \frac{1000 x + 1100 x + 1210 x + 1331 x}{1000} & = 4641 \\ \frac{4641 x}{1000} & = 4641 \\ x & = \frac{1000 (4641)}{4641} \\ x & = 1000 k m . r e c o r r i d o p r i m e r a s e m a n a \\ \frac{11 x}{10} & = \frac{11 \times 1000}{10} = 1100 k m . r e c o r r i d o s e g u n d a s e m a n a \\ \frac{121 x}{100} & = \frac{121 \times 1000}{100} = 1210 k m . r e c o r r i d o t e r c e r a s e m a n a \\ \frac{1331 x}{1000} & = \frac{1331 \times 1000}{1000} = 1331 k m . r e c o r r i d o c u a r t a s e m a n a \end{matrix}$
Una herencia de 330500 colones se ha repartido entre 5 personas. La segunda recibe la mitad de lo que recibe la primera; la tercera ¼ de lo que recibe la segunda; la cuarta 1/5 de lo que recibe la tercera y la quinta 1/10 de lo que recibe la cuarta. ¿Cuánto recibió cada persona?
$\begin{matrix} x & h e r e n c i a p r i m e r a p e r s o n a \\ \frac{x}{2} & h e r e n c i a s e g u n d a p e r s o n a \\ \frac{x}{8} & h e r e n c i a t e r c e r a p e r s o n a \\ \frac{x}{40} & h e r e n c i a c u a r t a p e r s o n a \\ \frac{x}{400} & h e r e n c i a q u i n t a p e r s o n a \\ x + \frac{x}{2} + \frac{x}{8} + \frac{x}{40} + \frac{x}{400} & = 330500 \\ \frac{400 x + 200 x + 50 x + 10 x + x}{400} & = 330500 \\ \frac{661 x}{400} & = 330500 \\ x & = \frac{400}{661} \\ x & = 200000 h e r e n c i a p r i m e r a p e r s o n a \\ \frac{x}{2} & = \frac{}{2} = 100000 h e r e n c i a s e g u n d a p e r s o n a \\ \frac{x}{8} & = \frac{}{8} = 25000 h e r e n c i a t e r c e r a p e r s o n a \\ \frac{x}{40} & = \frac{}{40} = 5000 h e r e n c i a c u a r t a p e r s o n a \\ \frac{x}{400} & = \frac{}{400} = 500 h e r e n c i a q u i n t a p e r s o n a \end{matrix}$
Un hombre viajó 9362 km. por barco, tren y avión. Por tren recorrió los 4/9 de lo que recorrió en barco y en avión los 5/8 de lo que recorrió en tren. ¿Cuántos km. recorrió de cada modo?
$\begin{matrix} x & k m . r e c o r r i d o e n b a r c o \\ \frac{4}{9} x & k m . r e c o r r i d o e n t r e n \\ \frac{5}{} (\frac{4}{9} x) = \frac{5}{18} x & k m . r e c o r r i d o e n a v i ó n \\ x + \frac{4}{9} x + \frac{5}{18} x & = 9362 \\ \frac{18 x + 8 x + 5 x}{18} & = 9362 \\ \frac{31 x}{18} & = 9362 \\ x & = \frac{18}{31} \\ x & = 5436 k m . v i a j a d o e n b a r c o \\ \frac{4 x}{9} & = \frac{4}{9} = 2416 k m . v i a j a d o e n t r e n \\ \frac{5 x}{18} & = \frac{5}{18} = 1510 k m . v i a j a d o e n a v i ó n \end{matrix}$