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CAPITULO XVII

Problemas sobre ecuaciones fraccionarias de primer grado

Ejercicio 149

Tenía cierta suma de dinero. Gasté $ 20 y presté los 2/3 de lo que me quedaba. Si ahora tengo $ 10, ¿Cuánto tenía al principio?
$\begin{matrix} x & d i n e r o i n i c i a l \\ \frac{2}{3} (x - 20) & d i n e r o p r e s t a d o \\ x - 20 - \frac{2}{3} (x - 20) & = 10 \\ x - \frac{2}{3} x + \frac{40}{3} & = 10 + 20 \\ \frac{3 x - 2 x}{3} & = 30 - \frac{40}{3} \\ \frac{x}{3} & = \frac{90 - 40}{3} \\ x & = 50 \end{matrix}$
Después de gastar la mitad de lo que tenía y de prestar la mitad de lo que me quedó, tengo 21 quetzales. ¿Cuánto tenía al principio?
$\begin{matrix} x & d i n e r o i n i c i a l \\ \frac{x}{2} & d i n e r o g a s t a d o \\ \frac{x}{4} & d i n e r o p r e s t a d o \\ \frac{x}{2} - \frac{x}{4} & = 21 \\ \frac{2 x - x}{4} & = 21 \\ \frac{x}{4} & = 21 \\ x & = 84 \end{matrix}$
Tengo cierta suma de dinero. Si me pagan $ 7 que me deben, puedo gastar los 4/5 de mi nuevo capital y me quedarán $ 20. ¿Cuánto tengo ahora?
$\begin{matrix} x & d i n e r o i n i c i a l \\ x + 7 & d i n e r o c o b r a d o \\ x + 7 - \frac{4}{5} (x + 7) & = 20 \\ x - \frac{4}{5} x - \frac{28}{5} & = 20 - 7 \\ x - \frac{4}{5} x & = 13 + \frac{28}{5} \\ \frac{5 x - 4 x}{5} & = \frac{65 + 28}{5} \\ x & = 93 \end{matrix}$
Gasté los 2/5 de lo que tenía y presté los 5/6 de lo que me quedó. Si aún tengo 500 bolívares, ¿Cuánto tenía al principio?
$\begin{matrix} x & d i n e r o i n i c i a l \\ x - \frac{2}{5} x = \frac{5 x - 2 x}{5} = \frac{3 x}{5} & d i n e r o g a s t a d o \\ \frac{5}{} (\frac{3 x}{5}) = \frac{x}{2} & d i n e r o p r e s t a d o \\ \frac{3 x}{5} - \frac{x}{2} & = 500 \\ \frac{6 x - 5 x}{10} & = 500 \\ x & = 500 \times 10 \\ x & = 5000 \end{matrix}$
Los 4/5 de las aves de una granja son palomas; los ¾ del resto gallinas y las 4 aves restantes gallos. ¿Cuántas aves hay en la granja?
$\begin{matrix} x & n ú m e r o d e a v e s \\ \frac{4}{5} x & n ú m e r o d e p a l o m a s \\ x - \frac{4}{5} x = \frac{5 x - 4 x}{5} = \frac{x}{5} & r e s t o d e a v e s \\ \frac{3 x}{20} & n ú m e r o d e g a l l i n a s \\ x - \frac{4}{5} x - \frac{3}{20} x & = 4 \\ \frac{20 x - 16 x - 3 x}{20} & = 4 \\ \frac{x}{20} & = 4 \\ x & = 4 (20) \\ x & = 80 \end{matrix}$
Gasté los 4/5 de lo que tenía; perdí los 2/3 de lo que me quedó; se me perdieron 8 soles y me quedé sin nada. ¿Cuánto tenía al principio?
$\begin{matrix} x & d i n e r o i n i c i a l \\ \frac{4}{5} x & d i n e r o g a s t a d o \\ x - \frac{4}{5} x = \frac{5 x - 4 x}{5} = \frac{x}{5} & d i n e r o q u e m e q u e d a \\ \frac{2}{3} (\frac{x}{5}) = \frac{2 x}{15} & d i n e r o p e r d i d o \\ \frac{x}{5} - \frac{2 x}{15} - 8 & = 0 \\ \frac{3 x - 2 x}{15} & = 8 \\ \frac{x}{15} & = 8 \\ x & = 8 (15) \\ x & = 120 \end{matrix}$
Tenía cierta suma. Gasté 5/12 de lo que tenía; cobré $ 42 que me debían y ahora tengo 2 más que al principio. ¿Cuánto tenía al principio?
$\begin{matrix} x & c a n t i d a d d e d i n e r o \\ \frac{5}{12} x & d i n e r o g a s t a d o \\ x - \frac{5}{12} x + 42 & = x + 2 \\ - \frac{5}{12} x & = 2 - 42 \\ - \frac{5}{12} x & = - 40 \\ x & = \frac{12}{- 5} \\ x & = 96 \end{matrix}$
Después de gastar la mitad de lo que tenía y $ 15 más, me quedan $ 30, ¿Cuánto tenía al principio?
$\begin{matrix} x & d i n e r o q u e t e n g o \\ \frac{x}{2} & d i n e r o g a s t a d o \\ x - \frac{x}{2} & - 15 = 30 \\ \frac{2 x - x}{2} & = 30 + 15 \\ \frac{x}{2} & = 45 \\ x & = 2 (45) \\ x & = 90 \end{matrix}$
Gasté los ¾ de lo que tenía y después recibí 1300 sucres. Si ahora tengo 100 sucres más que al principio, ¿Cuánto tenía al principio?
$\begin{matrix} x & d i n e r o i n i c i a l \\ \frac{3}{4} x & d i n e r o g a s t a d o \\ x - \frac{3}{4} x + 1300 & = x + 100 \\ - \frac{3}{4} x & = 100 - 1300 \\ - \frac{3}{4} x & = - 1200 \\ x & = \frac{4}{- 3} \\ x & = 1600 \end{matrix}$
Tenía cierta suma. Gasté los ¾ en trajes y los 2/3 de lo que me quedó en libros. Si lo que tengo ahora es $ 38 menos que los 2/5 de lo que tenía al principio, ¿Cuánto tenía al principio?
$\begin{matrix} x & d i n e r o i n i c i a l \\ \frac{3}{4} x & d i n e r o g a s t a d o e n t r a j e s \\ x - \frac{3}{4} x = \frac{4 x - 3 x}{4} = \frac{x}{4} & d i n e r o r e s t a n t e \\ \frac{2}{3} (\frac{x}{}) = \frac{x}{6} & d i n e r o g a s t a d o e n l i b r o s \\ x - \frac{3}{4} x - \frac{x}{6} & = \frac{2}{5} x - 38 \\ x - \frac{3}{4} x - \frac{x}{6} - \frac{2}{5} x & = - 38 \\ \frac{60 x - 45 x - 10 x - 24 x}{60} & = - 38 \\ - \frac{19 x}{60} & = - 38 \\ x & = \frac{60}{- 19} \\ x & = 120 \end{matrix}$