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CAPITULO XVII

Problemas sobre ecuaciones fraccionarias de primer grado

Ejercicio 154

El numerador de una fracción excede al denominador en 2. Si el denominador se aumenta en 7 el valor de la fracción es ½. Hallar la fracción.
$\begin{matrix} x + 2 & n u m e r a d o r \\ x & d e n o m i n a d o r \\ x + 7 & d e n o m i n a d o r a u m e n t a d o \\ \frac{x + 2}{x + 7} & = \frac{1}{2} \\ 2 (x + 2) & = x + 7 \\ 2 x + 4 & = x + 7 \\ 2 x - x & = 7 - 4 \\ x & = 3 d e n o m i n a d o r \\ x + 2 & = 3 + 2 = 5 n u m e r a d o r \\ \Rightarrow \frac{5}{3} \end{matrix}$
El denominador de una fracción excede al numerador en 1. Si el denominador se aumenta en 15, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción.
$\begin{matrix} x & n u m e r a d o r \\ x + 1 & d e n o m i n a d o r \\ x + 16 & d e n o m i n a d o r a u m e n t a d o \\ \frac{x}{x + 16} & = \frac{1}{3} \\ 3 x & = x + 16 \\ 3 x - x & = 16 \\ 2 x & = 16 \\ x & = \frac{}{2} \\ x & = 8 n u m e r a d o r \\ x + 1 & = 8 + 1 = 9 d e n o m i n a d o r \\ \Rightarrow \frac{8}{9} \end{matrix}$
El numerador de una fracción es 8 unidades menor que el denominador. Si a los dos términos de la fracción se suma 1 el valor de la fracción es ¾. Hallar la fracción.
$\begin{matrix} x & d e n o m i n a d o r \\ x - 8 & n u m e r a d o r \\ x + 1 & d e n o m i n a d o r a u m e n t a d o 1 \\ x - 7 & n u m e r a d o r a u m e n t a d o 1 \\ \frac{x - 7}{x + 1} & = \frac{3}{4} \\ 4 (x - 7) & = 3 (x + 1) \\ 4 x - 28 & = 3 x + 3 \\ 4 x - 3 x & = 28 + 3 \\ x & = 31 d e n o m i n a d o r \\ x - 8 & = 31 - 8 = 23 n u m e r a d o r \\ \Rightarrow \frac{23}{31} \end{matrix}$
El denominador de una fracción excede al duplo del numerador en 1. Si al numerador se resta 4, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción.
$\begin{matrix} x & n u m e r a d o r \\ 2 x + 1 & d e n o m i n a d o r \\ x - 4 & n u m e r a d o r d i s m i n u i d o \\ \frac{x - 4}{2 x + 1} & = \frac{1}{3} \\ 3 (x - 4) & = 2 x + 1 \\ 3 x - 12 & = 2 x + 1 \\ 3 x - 2 x & = 12 + 1 \\ x & = 13 n u m e r a d o r \\ 2 x + 1 & = 2 (13) + 1 = 26 + 1 = 27 d e n o m i n a d o r \\ \Rightarrow \frac{13}{27} \end{matrix}$
El denominador de una fracción excede al duplo del numerador en 6. Si el numerador se aumenta en 15 y el denominador se disminuye en 1, el valor de la fracción es 4/3. Hallar la fracción.
$\begin{matrix} x & n u m e r a d o r \\ 2 x + 6 & d e n o m i n a d o r \\ x + 15 & n u m e r a d o r a u m e n t a d o \\ 2 x + 5 & d e n o m i n a d o r d i s m i n u i d o \\ \frac{x + 15}{2 x + 5} & = \frac{4}{3} \\ 3 (x + 15) & = 4 (2 x + 5) \\ 3 x + 45 & = 8 x + 20 \\ 3 x - 8 x & = - 45 + 20 \\ - 5 x & = - 25 \\ x & = \frac{-}{- 5} \\ x & = 5 n u m e r a d o r \\ 2 x + 6 & = 2 (5) + 6 = 10 + 6 = 16 d e n o m i n a d o r \\ \Rightarrow \frac{5}{16} \end{matrix}$
El denominador de una fracción excede al numerador en 1. Si al denominador se añade 4, la fracción que resulta es 2 unidades menor que el triplo de la fracción primitiva. Hallar la fracción.
$\begin{matrix} x & n u m e r a d o r \\ x + 1 & d e n o m i n a d o r \\ x + 5 & d e n o m i n a d o r a u m e n t a d o \\ \frac{x}{x + 5} & = 3 \frac{x}{x + 1} - 2 \\ \frac{x}{x + 5} & = \frac{3 x - 2 (x + 1)}{x + 1} \\ \frac{x}{x + 5} & = \frac{3 x - 2 x - 2}{x + 1} \\ \frac{x}{x + 5} & = \frac{x - 2}{x + 1} \\ x (x + 1) & = (x - 2) (x + 5) \\ x^{2} + x & = x^{2} + 3 x - 10 \\ x - 3 x & = - 10 \\ - 2 x & = - 10 \\ x & = \frac{-}{- 2} \\ x & = 5 n u m e r a d o r \\ x + 1 & = 5 + 1 = 6 d e n o m i n a d o r \\ \Rightarrow \frac{5}{6} \end{matrix}$
El denominador de una fracción es 1 menos que el triplo del numerador. Si el numerador se aumenta en 8 y el denominador en 4 el valor de la fracción es 11/12. Hallar la fracción.
$\begin{matrix} x & n u m e r a d o r \\ 3 x - 1 & d e n o m i n a d o r \\ x + 8 & n u m e r a d o r a u m e n t a d o e n 4 \\ 3 x + 3 & d e n o m i n a d o r a u m e n t a d o e n 4 \\ \frac{x + 8}{3 x + 3} & = \frac{11}{12} \\ \frac{x + 8}{3 (x + 1)} & = \frac{11}{} \\ 4 (x + 8) & = 11 (x + 1) \\ 4 x + 32 & = 11 x + 11 \\ 4 x - 11 x & = - 32 + 11 \\ - 7 x & = - 21 \\ x & = \frac{-}{- 7} \\ x & = 3 n u m e r a d o r \\ 3 x - 1 & = 3 (3) - 1 = 9 - 1 = 8 d e n o m i n a d o r \\ \Rightarrow \frac{3}{8} \end{matrix}$
El numerador de una fracción excede al denominador en 22. Si al numerador se resta 15, la diferencia entre la fracción primitiva y la nueva fracción es 3. Hallar la fracción primitiva.
$\begin{matrix} x & d e n o m i n a d o r \\ x + 22 & n u m e r a d o r \\ x + 7 & n u m e r a d o r r e s t a d o 15 \\ \frac{x + 22}{x} - \frac{x + 7}{x} & = 3 \\ \frac{x + 22 - x - 7}{x} & = 3 \\ \frac{15}{x} & = 3 \\ 15 & = 3 x \\ x & = \frac{}{3} \\ x & = 5 d e n o m i n a d o r \\ x + 22 & = 5 + 22 = 27 n u m e r a d o r \\ \Rightarrow \frac{27}{5} \end{matrix}$