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CAPITULO IX

Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita

Ejercicio 82

La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los números
$\begin{matrix} x : u n n ú m e r o m e n o r \\ x + 8 : n ú m e r o m a y o r \\ x + x + 8 & = 106 \\ 2 x & = 106 - 8 \\ x & = \frac{}{2} \\ x = & 49 n ú m e r o m e n o r \\ 49 + 8 & = 57 n ú m e r o m a y o r \end{matrix}$
La suma de números es 540 y su diferencia es 32. Hallar los números
$\begin{matrix} (1) x & n ú m e r o m a y o r \\ (2) x - 32 & n ú m e r o m e n o r \\ S u m o l o s n ú m e r o s \\ x + x - 32 = 540 \\ 2 x = 540 + 32 \\ 2 x = 572 \\ x = \frac{}{2} \\ x = 286 \\ 286 - 32 = 254 n ú m e r o m e n o r \end{matrix}$
Entre A y B tienen 1154 bolívares y B tiene 506 menos que A. ¿Cuánto tiene cada uno?
$\begin{matrix} (1) A + B & = 1154 \\ (2) B & = A - 506 \\ R e e m p l a z o B e n (1) \\ A + A - 506 = 1154 \\ 2 A - 506 = 1154 \\ 2 A = 1154 + 506 \\ 2 A = 1660 \\ A = \frac{}{2} \\ A = 830 \\ R e e m p l a z o A e n (2) \\ B = 830 - 506 \\ B = 324 \end{matrix}$
Dividir el número 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la menor en 24
$\begin{matrix} x n ú m e r o m a y o r \\ x - 24 n ú m e r o m e n o r \\ x + x - 24 & = 106 \\ 2 x - 24 & = 106 \\ 2 x & = 106 + 24 \\ 2 x & = 130 \\ x & = \frac{}{2} \\ x = & 65 n ú m e r o m a y o r \\ 65 - 24 & = 41 n ú m e r o m e n o r \end{matrix}$
A tiene 14 años menos que B y ambas edades suman 56. ¿Qué edad tiene cada uno?
$\begin{matrix} (1) A & = B - 14 \\ (2) A + B & = 56 \\ R e e m p l a z o A e n l a e c u a c i ó n (2) \\ B - 14 + B = 56 \\ 2 B = 56 + 14 \\ 2 B = 70 \\ B = \frac{}{2} \\ B = 35 \\ R e e m p l a z o B e n l a e c u a c i ó n (1) \\ A = 35 - 14 \\ A = 21 \end{matrix}$
Repartir 1080 soles entre A y B de modo que A reciba 1014 más que B.
$\begin{matrix} (1) A + B & = 1080 \\ (2) A & = 1014 + B \\ R e e m p l a z o A e n l a e c u a c i ó n (1) \\ 1014 + B + B = 1080 \\ 2 B = 1080 - 1014 \\ 2 B = 66 \\ B = \frac{}{2} \\ B = 33 \\ R e e m p l a z o B e n (2) \\ A = 1014 + 33 \\ A = 1047 \end{matrix}$
Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o e n t e r o \\ x + 1 & n ú m e r o s i g u i e n t e \\ x + x + 1 = 103 \\ 2 x = 103 - 1 \\ x = \frac{}{2} \\ x = 51 n ú m e r o e n t e r o \\ 51 + 1 = 52 n ú m e r o s i g u i e n t e \end{matrix}$
Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o m e n o r \\ x + 1 & n ú m e r o i n t e r m e d i o \\ x + 2 & n ú m e r o m a y o r \\ x + x + 1 + x + 2 = 204 \\ 3 x + 3 = 204 \\ 3 x = 204 - 3 \\ x = \frac{}{3} \\ x = 67 n ú m e r o m e n o r \\ 67 + 1 = 68 n ú m e r o i n t e r m e d i o \\ 67 + 2 = 69 n ú m e r o m a y o r \end{matrix}$
Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74.
$\begin{matrix} x & p r i m e r n ú m e r o \\ x + 1 & s e g u n d o n ú m e r o \\ x + 2 & t e r c e r n ú m e r o \\ x + 3 & c u a r t o n ú m e r o \\ x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 74 \\ 4 x + 6 = 74 \\ 4 x = 74 - 6 \\ x = \frac{}{4} \\ x = 17 p r i m e r n ú m e r o \\ 17 + 1 = 18 s e g u n d o n ú m e r o \\ 17 + 2 = 19 t e r c e r n ú m e r o \\ 17 + 3 = 20 c u a r t o n ú m e r o \end{matrix}$
Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.
$\begin{matrix} 2 x & n ú m e r o p a r \\ 2 x + 2 & s i g u i e n t e n ú m e r o p a r \\ 2 x + 2 x + 2 = 194 \\ 4 x = 194 - 2 \\ 2 x = \frac{}{2} \\ 2 x = 96 n ú m e r o p a r \\ 92 + 2 = 98 s i g u i e n t e n ú m e r o p a r \end{matrix}$
Hallar tres números enteros consecutivos cuya suma sea 186.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o m e n o r \\ x + 1 & n ú m e r o i n t e r m e d i o \\ x + 2 & n ú m e r o m a y o r \\ x + x + 1 + x + 2 = 186 \\ 3 x + 3 = 186 \\ 3 x = 183 \\ x = \frac{}{3} \\ x = 61 \\ 61 + 1 = 62 n ú m e r o i n t e r m e d i o \\ 61 + 2 = 63 n ú m e r o m a y o r \end{matrix}$
Pagué $325 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costo $80 más que el coche y los arreos $25 menos que el coche. Hallar los precios respectivos.
$\begin{matrix} (1) c a b a l l o + c o c h e + a r r e r o s & = 325 \\ (2) c o c h e + 80 & = c a b a l l o \\ (3) c o c h e - 25 & = a r r e r o s \\ R e e m p l a z o c a b a l l o y a r r e r o s e n (1) \\ c o c h e + 80 + c o c h e + c o c h e - 25 = 325 \\ 3 c o c h e + 55 = 325 \\ 3 c o c h e = 325 - 55 \\ c o c h e = \frac{}{3} \\ c o c h e = 90 \\ R e e m p l a z o c o c h e e n (2) y (3) \\ c a b a l l o = 90 + 80 = 170 \\ a r r e r o s = 90 - 25 = 65 \end{matrix}$
La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o m a y o r \\ x - 32 & n ú m e r o i n t e r m e d i o \\ x - 65 & n ú m e r o m e n o r \\ x + x - 32 + x - 65 = 200 \\ 3 x - 97 = 200 \\ 3 x = 200 + 97 \\ x = \frac{}{3} \\ x = 99 n ú m e r o m a y o r \\ 99 - 32 = 67 n ú m e r o i n t e r m e d i o \\ 99 - 65 = 34 n ú m e r o m e n o r \end{matrix}$
Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto?
$\begin{matrix} x & n ú m e r o d e m a n z a n a s d e l p r i m e r c e s t o \\ x - 10 & n ú m e r o d e m a n z a n a s d e l s e g u n d o c e s t o \\ x - 15 & n ú m e r o d e m a n z a n a s d e l t e r c e r c e s t o \\ x + x - 10 + x - 15 = 575 \\ 3 x - 25 = 575 \\ 3 x = 575 + 25 \\ x = \frac{}{3} \\ x = 200 n ú m e r o d e m a n z a n a s d e l p r i m e r c e s t o \\ 200 - 10 = 190 n ú m e r o d e m a n z a n a s d e l s e g u n d o c e s t o \\ 200 - 15 = 185 n ú m e r o d e m a n z a n a s d e l t e r c e r c e s t o \end{matrix}$
Dividir 454 en tres partes sabiendo que la menor es 15 unidades menor que la del medio y 70 unidades menor que la mayor.
$\begin{matrix} x & n ú m e r o m a y o r \\ x - 55 & n ú m e r o i n t e r m e d i o \\ x - 70 & n ú m e r o m e n o r \\ x + x - 55 + x - 70 = 454 \\ 3 x - 125 = 454 \\ 3 x = 454 + 125 \\ x = \frac{}{3} \\ x = 193 n ú m e r o m a y o r \\ 193 - 55 = 138 n ú m e r o i n t e r m e d i o \\ 193 - 70 = 123 n ú m e r o m e n o r \end{matrix}$
Repartir 310 sucres entre tres personas de modo que la segunda reciba 20 menos que la primera y 40 más que la tercera.
$\begin{matrix} x & p r i m e r a p e r s o n a \\ x - 20 & s e g u n d a p e r s o n a \\ x - 60 & t e r c e r a p e r s o n a \\ x + x - 20 + x - 60 = 310 \\ 3 x - 80 = 310 \\ 3 x = 310 + 80 \\ x = \frac{}{3} \\ x = 130 p r i m e r a p e r s o n a \\ 130 - 20 = 110 s e g u n d a p e r s o n a \\ 130 - 60 = 70 t e r c e r a p e r s o n a \end{matrix}$
La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.
$\begin{matrix} x & p e r s o n a m a y o r \\ x - 18 & p r i m e r a i n t e r m e d i a \\ x - 20 & p r i m e r a m e n o r \\ x + x - 18 + x - 20 = 88 \\ 3 x - 38 = 88 \\ 3 x = 88 + 38 \\ x = \frac{}{3} \\ x = 42 p e r s o n a m a y o r \\ 42 - 18 = 24 p e r s o n a i n t e r m e d i a \\ 42 - 20 = 22 p e r s o n a m e n o r \end{matrix}$
Dividir 642 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36.
$\begin{matrix} x & p a r t e m a y o r \\ x - 36 & p a r t e m e n o r \\ x + x - 36 = 642 \\ 2 x = 642 + 36 \\ x = \frac{}{2} \\ x = 339 p a r t e m a y o r \\ 339 - 36 = 303 p a r t e m e n o r \end{matrix}$