Ejercicio 281

CAPITULO XXXV

Representación gráfica de las variaciones de segundo grado

Para graficar este grupo de ejercicios, se utilizara el software matemático Geogebra 6, el cual es un programa multiplataforma y cada ejercicio tendrá un link para la descarga del mismo realizado en Geogebra 6.
Ejercicio 281
Representar los siguientes trinomios y estudiar sus variaciones:





  1. x

    2

    3x+2













    a=1,b=3,c=2













    a>0





    Es positiva tiene un valor mínimo






    x


    =

    b


    2a







    x


    =


    3



    2(
    1
    )








    x


    =

    3

    2



     valor mínimo para x






    y


    =


    4ac

    b

    2





    4a







    y


    =


    4(
    1
    )
    (
    2
    )


    (

    3

    )


    2





    4(
    1
    )








    y


    =


    89


    4






    y


    =

    1

    4

    (



    3

    2

    ,

    1

    4



    )


     valor mínimo









    b

    2

    4ac



    =

    (

    3

    )


    2

    4(
    1
    )
    (
    2
    )
    =1

    Es positiva las raíces son reales y desiguales















    x

    2

    3x+2



    =0





    (

    x2

    )
    (

    x1

    )




    =0{





    x

    1

    =2









    x

    2

    =1




    El trinomio es 0 cuando x toma estos valores



















    La parábola corta al eje y en c=2, cunado x=0




    x
    y
    0
    2
    1
    0


    3

    2





    1

    4



    2
    0
    3
    2
    grafica de una parabola





  2. x

    2

    +3x+2













    a=1,b=3,c=2













    a>0





    Es positiva tiene un valor mínimo






    x


    =

    b


    2a







    x


    =

    3


    2(
    1
    )








    x


    =

    3

    2



     valor mínimo para x






    y


    =


    4ac

    b

    2





    4a







    y


    =


    4(
    1
    )
    (
    2
    )


    (
    3
    )


    2





    4(
    1
    )








    y


    =


    89


    4






    y


    =

    1

    4

    (



    3

    2

    ,

    1

    4



    )


     valor mínimo









    b

    2

    4ac



    =

    (
    3
    )


    2

    4(
    1
    )
    (
    2
    )
    =1

    Es positiva las raíces son reales y desiguales















    x

    2

    +3x+2



    =0





    (

    x+2

    )
    (

    x+1

    )




    =0{





    x

    1

    =2









    x

    2

    =1




    El trinomio es 0 cuando x toma estos valores



















    La parábola corta al eje y en c=2, cunado x=0




    x
    y
    -3
    2
    -2
    0



    3

    2






    1

    4



    -1
    0
    0
    2
    x2+3x+2a=1





  3. x

    2

    +3x10













    a=1,b=3,c=10













    a>0





    Es positiva tiene un valor mínimo






    x


    =

    b


    2a







    x


    =

    3


    2(
    1
    )








    x


    =

    3

    2



     valor mínimo para x






    y


    =


    4ac

    b

    2





    4a







    y


    =


    4(
    1
    )
    (

    10

    )


    (
    3
    )


    2





    4(
    1
    )








    y


    =


    409


    4






    y


    =

    49

    4

    (



    3

    2

    ,

    49

    4



    )


     valor mínimo









    b

    2

    4ac



    =

    (
    3
    )


    2

    4(
    1
    )
    (

    10

    )
    =1

    Es positiva las raíces son reales y desiguales















    x

    2

    +3x10



    =0





    (

    x+5

    )
    (

    x2

    )




    =0{





    x

    1

    =5









    x

    2

    =2




    El trinomio es 0 cuando x toma estos valores



















    La parábola corta al eje y en c=10, cunado x=0




    x
    y
    -5
    0
    -4
    -6



    3

    2






    49

    4



    1
    -6
    2
    0
    x2+3x+2a=1





  4. x

    2

    +x12













    a=1,b=1,c=12













    a>0





    Es positiva tiene un valor mínimo






    x


    =

    b


    2a







    x


    =

    1


    2(
    1
    )








    x


    =

    1

    2



     valor mínimo para x






    y


    =


    4ac

    b

    2





    4a







    y


    =


    4(
    1
    )
    (

    12

    )


    (
    1
    )


    2





    4(
    1
    )








    y


    =


    481


    4






    y


    =

    49

    4

    (



    1

    2

    ,

    49

    4



    )


     valor mínimo









    b

    2

    4ac



    =

    (
    1
    )


    2

    4(
    1
    )
    (

    12

    )
    =49

    Es positiva las raíces son reales y desiguales















    x

    2

    +x12



    =0





    (

    x+4

    )
    (

    x3

    )




    =0{





    x

    1

    =4









    x

    2

    =3




    El trinomio es 0 cuando x toma estos valores



















    La parábola corta al eje y en c=12, cunado x=0




    x
    y
    -5
    8
    -4
    0



    1

    2






    49

    4



    3
    0
    4
    8
    x2+x-12a=1





  5. x

    2

    2x+1













    a=1,b=2,c=1













    a>0





    Es positiva tiene un valor mínimo






    x


    =

    b


    2a







    x


    =


    2



    2(
    1
    )








    x


    =1

     valor mínimo para x






    y


    =


    4ac

    b

    2





    4a







    y


    =


    4(
    1
    )
    (
    1
    )


    (

    2

    )


    2





    4(
    1
    )








    y


    =


    44


    4






    y


    =0(

    1,0

    )


     valor mínimo









    b

    2

    4ac



    =

    (

    2

    )


    2

    4(
    1
    )
    (
    1
    )
    =0

    Es cero las raíces son reales e iguales















    x

    2

    2x+1



    =0






    (

    x1

    )


    2




    =0





    x1



    =0




    x


    =1

     El trinomio es 0 cuando x toma este valoe
















    La parábola corta al eje y en c=1, cunado x=0




    x
    y
    -1
    4
    0
    1
    1
    0
    2
    1
    3
    4
    x2-2x+1a=1





  6. x

    2

    +4x+2













    a=1,b=4,c=2













    a>0





    Es positiva tiene un valor mínimo






    x


    =

    b


    2a







    x


    =

    4


    2(
    1
    )








    x


    =2

     valor mínimo para x






    y


    =


    4ac

    b

    2





    4a







    y


    =


    4(
    1
    )
    (
    2
    )


    (
    4
    )


    2





    4(
    1
    )








    y


    =


    816


    4






    y


    =2(

    2,2

    )


     valor mínimo









    b

    2

    4ac



    =

    (
    4
    )


    2

    4(
    1
    )
    (
    2
    )
    =8

    Es positiva las raíces son reales y desiguales















    x

    2

    +4x+2



    =0




    x


    =


    b ±



    b

    2

    4ac





    2a







    x


    =


    4 ±



    4

    2

    4(
    1
    )
    (
    2
    )






    2(
    1
    )








    x


    =


    4 ±
    8



    2






    x


    =


    4 ± 2
    2



    2






    x


    =2 ±
    2
    {





    x

    1

    =2+
    2










    x

    2

    =2
    2





    El trinomio es 0 cuando x toma estos valores



















    La parábola corta al eje y en c=2, cunado x=0




    x
    y
    -4
    2

    2
    2


    0

    2


    2


    2+
    2


    0
    0
    2
    x2+4x+2a=1





  7. x

    2

    4x+5













    a=1,b=4,c=5













    a<0





    Es negativa tiene un valor máximo, es decir la parábola esta invertida






    x


    =

    b


    2a







    x


    =


    4



    2(

    1

    )








    x


    =2

     valor máximo para x






    y


    =


    4ac

    b

    2





    4a







    y


    =


    4(

    1

    )
    (
    5
    )


    (

    4

    )


    2





    4(

    1

    )








    y


    =


    2016



    4







    y


    =9(

    2,9

    )


     valor máximo









    b

    2

    4ac



    =

    (

    4

    )


    2

    4(

    1

    )
    (
    5
    )
    =36

    Es positiva las raíces son reales y desiguales















    x

    2

    4x+5



    =0







    x

    2

    +4x5



    =0





    (

    x+5

    )
    (

    x1

    )




    =0{





    x

    1

    =5









    x

    2

    =1




    El trinomio es 0 cuando x toma estos valores



















    La parábola corta al eje y en c=5, cunado x=0




    x
    y
    -6
    7
    -5
    0
    -2
    9
    1
    0
    2
    7
    -x2-4x+5a=-1





  8. x

    2

    6x+3













    a=1,b=6,c=3













    a>0





    Es positiva tiene un valor mínimo






    x


    =

    b


    2a







    x


    =


    6



    2(
    1
    )








    x


    =3

     valor mínimo para x






    y


    =


    4ac

    b

    2





    4a







    y


    =


    4(
    1
    )
    (
    3
    )


    (

    6

    )


    2





    4(
    1
    )








    y


    =


    1236


    4






    y


    =6(

    3,6

    )


     valor mínimo









    b

    2

    4ac



    =

    (

    6

    )


    2

    4(
    1
    )
    (
    3
    )
    =24

    Es positiva las raíces son reales y desiguales















    x

    2

    6x+3



    =0




    x


    =


    (

    6

    )
    ±



    (

    6

    )


    2

    4(
    1
    )
    (
    3
    )






    2(
    1
    )








    x


    =


    6 ±

    3612




    2






    x


    =


    6 ±
    24



    2






    x


    =


    6 ± 2
    6



    2






    x


    =3 ±
    6
    {





    x

    1

    =3+
    6










    x

    2

    =3
    6





    El trinomio es 0 cuando x toma estos valores



















    La parábola corta al eje y en c=3, cunado x=0




    x
    y
    0
    3

    3
    6


    0
    3
    -6

    3+
    6


    0
    6
    3
    x2-6x+3a=1,b=-6



  9. 2

    x

    2

    +x6













    a=2,b=1,c=6













    a>0





    Es positiva tiene un valor mínimo






    x


    =

    b


    2a







    x


    =

    1


    2(
    2
    )








    x


    =

    1

    4



     valor mínimo para x






    y


    =


    4ac

    b

    2





    4a







    y


    =


    4(
    2
    )
    (

    6

    )


    (
    1
    )


    2





    4(
    2
    )








    y


    =


    481


    8






    y


    =

    49

    8

    (



    1

    4

    ,

    49

    8



    )


     valor mínimo









    b

    2

    4ac



    =

    (
    1
    )


    2

    4(
    2
    )
    (

    6

    )
    =49

    Es positiva las raíces son reales y desiguales













    2

    x

    2

    +x6



    =0





    2

    x

    2

    +4x3x6



    =0





    2x(

    x+2

    )
    3(

    x+2

    )




    =0





    (

    x+2

    )
    (

    2x3

    )




    =0{





    x

    1

    =2









    x

    2

    =

    3

    2






    El trinomio es 0 cuando x toma estos valores



















    La parábola corta al eje y en c=6, cunado x=0




    x
    y



    5

    2



    4
    -2
    0



    1

    4






    49

    8





    3

    2


    0
    2
    4
    2x2+x-6a=2





  10. x

    2

    +2x+15













    a=1,b=2,c=15













    a<0





    Es negativa tiene un valor máximo, la parábola se abre hacia abajo






    x


    =

    b


    2a







    x


    =

    2


    2(

    1

    )








    x


    =1

     valor máximo para x






    y


    =


    4ac

    b

    2





    4a







    y


    =


    4(

    1

    )
    (
    15
    )


    (
    2
    )


    2





    4(

    1

    )








    y


    =


    604



    4







    y


    =16(

    1,16

    )


     valor máximo









    b

    2

    4ac



    =

    (
    2
    )


    2

    4(

    1

    )
    (
    15
    )
    =64

    Es positiva las raíces son reales y desiguales















    x

    2

    +2x+15



    =0







    x

    2

    2x15



    =0







    x

    2

    +3x5x15



    =0





    x(

    x+3

    )
    5(

    x+3

    )




    =0





    (

    x+3

    )
    (

    x5

    )




    =0{





    x

    1

    =3









    x

    2

    =5




    El trinomio es 0 cuando x toma estos valores



















    La parábola corta al eje y en c=15, cunado x=0




    x
    y
    -4
    9
    -3
    0
    1
    16
    5
    0
    6
    9
    -x2+2x+15a=-1



  11. 2

    x

    2

    x15













    a=2,b=1,c=15













    a>0





    Es positiva tiene un valor mínimo






    x


    =

    b


    2a







    x


    =


    1



    2(
    2
    )








    x


    =

    1

    4



     valor mínimo para x






    y


    =


    4ac

    b

    2





    4a







    y


    =


    4(
    2
    )
    (

    15

    )


    (

    1

    )


    2





    4(
    2
    )








    y


    =


    1201


    8






    y


    =

    1

    4

    (



    1

    4

    ,

    121

    8



    )


     valor mínimo









    b

    2

    4ac



    =

    (

    1

    )


    2

    4(
    2
    )
    (

    15

    )
    =121

    Es positiva las raíces son reales y desiguales













    2

    x

    2

    x15



    =0





    2

    x

    2

    6x+5x15



    =0





    2x(

    x3

    )
    +5(

    x3

    )




    =0





    (

    x3

    )
    (

    2x+5

    )




    =0{





    x

    1

    =3









    x

    2

    =

    5

    2






    El trinomio es 0 cuando x toma estos valores



















    La parábola corta al eje y en c=15, cunado x=0




    x
    y
    -3
    6



    5

    2



    0



    1

    4






    121

    8



    3
    0


    7

    2


    6
    2x2-x-15a=2



  12. 3

    x

    2

    +7x+20













    a=3,b=7,c=22













    a<0





    Es negativa tiene un valor máximo, es decir la parábola se abre hacia abajo






    x


    =

    b


    2a







    x


    =

    7


    2(

    3

    )








    x


    =

    7

    6



     valor mínimo para x






    y


    =


    4ac

    b

    2





    4a







    y


    =


    4(

    3

    )
    (
    22
    )


    (
    7
    )


    2





    4(

    3

    )








    y


    =


    26449



    12







    y


    =

    313

    12

    (



    7

    6

    ,

    313

    12



    )


     valor mínimo









    b

    2

    4ac



    =

    (
    7
    )


    2

    4(

    3

    )
    (
    22
    )
    =313

    Es positiva las raíces son reales y desiguales













    3

    x

    2

    +7x+20



    =0





    3

    x

    2

    7x20



    =0





    3

    x

    2

    12x+5x20



    =0





    3x(

    x4

    )
    +5(

    x4

    )




    =0





    (

    x4

    )
    (

    3x+5

    )




    =0{





    x

    1

    =4









    x

    2

    =

    5

    3






    El trinomio es 0 cuando x toma estos valores



















    La parábola corta al eje y en c=20, cunado x=0




    x
    y
    -2
    -6



    5

    3



    0


    7

    6




    313

    12


    4
    0


    39

    9


    -6
    -3x2+7x+20a=-3

Ejercicio 280

CAPITULO XXXV

Descomponer un trinomio en factores hallando sus raices
Ejercicio 280
Descomponer en factores, hallando las raíces:
Solución:
  • Se iguala la ecuación a 0
  • Se buscan las raíces
  • Se remmplazan los valores en la fórmula a x 2 +bx+c=a(x x 1 ) (x x 2 )
  1. x 2 16x+63 x 2 16x+63 =0 (x9 ) (x7 ) =0 x9 =0 x 1 =9 x7 =0 x 2 =7 x 2 16x+63 =(x9 ) (x7 )
  2. x 2 +24x+143 x 2 +24x+143 =0 (x+13 ) (x+11 ) =0 x+13 =0 x 1 =13 x+11 =0 x 2 =11 x 2 +24x+143 =(x+13 ) (x+11 )
  3. x 2 26x155 x 2 26x155 =0 (x31 ) (x+5 ) =0 x31 =0 x 1 =31 x+5 =0 x 2 =5 x 2 26x155 =(x31 ) (x+5 )
  4. 2 x 2 +x6 2 x 2 +x6 =0 2 x 2 +4x3x6 =0 2x(x+2 ) 3(x+2 ) =0 (x+2 ) (2x3 ) =0 x+2 =0 x 1 =2 2x3 =0 2x =3 x 2 = 3 2 2 x 2 +x6 =2(x+2 ) (x 3 2 ) 2 x 2 +x6 = 2 (x+2 ) ( 2x3 2 ) 2 x 2 +x6 =(x+2 ) (2x3 )
  5. 12 x 2 +5x2 12 x 2 +5x2 =0 12 x 2 3x+8x2 =0 3x(4x1 ) +2(4x1 ) =0 (4x1 ) (3x+2 ) =0 4x1 =0 4x =1 x 1 = 1 4 3x+2 =0 3x =2 x 2 = 2 3 12 x 2 +5x2 =12(x 1 4 ) (x+ 2 3 ) 12 x 2 +5x2 = 3 ( 4x1 4 ) ( 3x+2 3 ) 12 x 2 +5x2 =(4x1 ) (3x+2 )
  6. 5 x 2 +41x+8 5 x 2 +41x+8 =0 5 x 2 +40x+x+8 =0 5x(x+8 ) +(x+8 ) =0 (x+8 ) (5x+1 ) =0 x+8 =0 x 1 =8 5x+1 =0 5x =1 x 2 = 1 5 5 x 2 +41x+8 =5(x+8 ) (x+ 1 5 ) 5 x 2 +41x+8 = 5 (x+8 ) ( 5x+1 5 ) 5 x 2 +41x+8 =(x+8 ) (5x+1 )
  7. 6 x 2 +7x10 6 x 2 +7x10 =0 6 x 2 +12x5x10 =0 6x(x+2 ) 5(x+2 ) =0 (x+2 ) (6x5 ) =0 x+2 =0 x 1 =2 6x5 =0 6x =5 x 2 = 5 6 6 x 2 +7x10 =6(x+2 ) (x 5 6 ) 6 x 2 +7x10 = 6 (x+2 ) ( 6x5 6 ) 6 x 2 +7x10 =(x+2 ) (6x5 )
  8. 12 x 2 25x+12 12 x 2 25x+12 =0 12 x 2 16x9x+12 =0 4x(3x4 ) 3(3x4 ) =0 (3x4 ) (4x3 ) =0 3x4 =0 3x =4 x 1 = 4 3 4x3 =0 4x =3 x 2 = 3 4 12 x 2 25x+12 =12(x 4 3 ) (x 3 4 ) 12 x 2 25x+12 = 12 ( 3x4 3 ) ( 4x3 4 ) 12 x 2 25x+12 =(3x4 ) (4x3 )
  9. 8 x 2 +50x+63 8 x 2 +50x+63 =0 x = 50 ± 5 0 2 4( 8 ) ( 63 ) 2( 8 ) x = 50 ± 25002016 16 x = 50 ± 484 16 x = 50 ± 22 16 x 1 = 50+22 16 = = 7 4 x 2 = 5022 16 = = 9 2 8 x 2 +50x+63 =8(x+ 7 4 ) (x+ 9 2 ) 8 x 2 +50x+63 = 8 ( 4x+7 4 ) ( 2x+9 2 ) 8 x 2 +50x+63 =(4x+7 ) (2x+9 )
  10. 27 x 2 +30x+7 27 x 2 +30x+7 =0 27 x 2 +9x+21x+7 =0 9x(3x+1 ) +7(3x+1 ) =0 (3x+1 ) (9x+7 ) =0 3x+1 =0 3x =1 x 1 = 1 3 9x+7 =0 9x =7 x 2 = 7 9 27 x 2 +30x+7 =27(x+ 1 3 ) (x+ 7 9 ) 27 x 2 +30x+7 = 27 ( 3x+1 3 ) ( 9x+7 9 ) 27 x 2 +30x+7 =(3x+1 ) (9x+7 )
  11. 30 x 2 61x+30 30 x 2 61x+30 =0 30 x 2 36x25x+30 =0 6x(5x6 ) 5(5x6 ) =0 (5x6 ) (6x5 ) =0 5x6 =0 5x =6 x 1 = 6 5 6x5 =0 6x =5 x 2 = 5 6 30 x 2 61x+30 =30(x 6 5 ) (x 5 6 ) 30 x 2 61x+30 = 30 ( 5x6 5 ) ( 6x5 6 ) 30 x 2 61x+30 =(5x6 ) (6x5 )
  12. 11 x 2 153x180 11 x 2 153x180 =0 11 x 2 165x+12x180 =0 11x(x15 ) +12(x15 ) =0 (x15 ) (11x+12 ) =0 x15 =0 x 1 =15 11x+12 =0 11x =12 x = 12 11 11 x 2 153x180 =11(x15 ) (x+ 12 11 ) 11 x 2 153x180 = 11 (x15 ) ( 11x+12 11 ) 11 x 2 153x180 =(x15 ) (11x+12 )
  13. 6x x 2 x 2 +x6 =0 (x+3 ) (x2 ) =0 x+3 =0 x 1 =3 x2 =0 x 2 =2 x 2 +x6 =(x+3 ) (x2 )
  14. 59x2 x 2 2 x 2 +9x5 =0 2 x 2 x+10x5 =0 x(2x1 ) +5(2x1 ) =0 (2x1 ) (x+5 ) =0 2x1 =0 2x =1 x 1 = 1 2 x+5 =0 x 2 =5 2 x 2 +9x5 =2(x 1 2 ) (x+5 ) 2 x 2 +9x5 = 2 ( 2x1 2 ) (x+5 ) 2 x 2 +9x5 =(2x1 ) (x+5 )
  15. 15+4x4 x 2 4 x 2 4x15 =0 x = (4 ) ± (4 ) 2 4( 4 ) (15 ) 2( 4 ) x = 4 ± 16+240 8 x = 4 ± 256 8 x = 4 ± 16 8 x 1 = 4+16 8 = = 5 2 x 2 = 416 8 = = 3 2 4 x 2 4x15 =4(x 5 2 ) (x+ 3 2 ) 4 x 2 4x15 = 4 ( 2x5 2 ) ( 2x+3 2 ) 4 x 2 4x15 =(2x5 ) (2x+3 )
  16. 413x12 x 2 12 x 2 +13x4 =0 12 x 2 3x+16x4 =0 3x(4x1 ) +4(4x1 ) =0 (4x1 ) (3x+4 ) =0 4x1 =0 4x =1 x 1 = 1 4 3x+4 =0 3x =4 x 2 = 4 3 12 x 2 +13x4 =12(x 1 4 ) (x+ 4 3 ) 12 x 2 +13x4 = 12 ( 4x1 4 ) ( 3x+4 3 ) 12 x 2 +13x4 =(4x1 ) (3x+4 )
  17. 72 x 2 55x7 72 x 2 55x7 =0 72 x 2 +8x63x7 =0 8x(9x+1 ) 7(9x+1 ) =0 (9x+1 ) (8x7 ) =0 9x+1 =0 9x =1 x 1 = 1 9 8x7 =0 8x =7 x = 7 8 72 x 2 55x7 =72(x+ 1 9 ) (x 7 8 ) 72 x 2 55x7 = 72 ( 9x+1 9 ) ( 8x7 8 ) 72 x 2 55x7 =(9x+1 ) (8x7 )
  18. 6+31x30 x 2 30 x 2 31x6 =0 30 x 2 +5x36x6 =0 5x(6x+1 ) 6(6x+1 ) =0 (6x+1 ) (5x6 ) =0 6x+1 =0 6x =1 x 1 = 1 6 5x6 =0 5x =6 x 2 = 6 5 30 x 2 31x6 =30(x+ 1 6 ) (x 6 5 ) 30 x 2 31x6 = 30 ( 6x+1 6 ) ( 5x6 5 ) 30 x 2 31x6 =(6x+1 ) (5x6 )
  19. 10 x 2 +207x63 x = 207 ± 20 7 2 4( 10 ) (63 ) 2( 10 ) x = 207 ± 42849+2520 20 x = 207 ± 45369 20 x = 207 ± 213 20 x 1 = 207+213 20 = = 3 10 x 2 = 207213 20 = 20 =24 10 x 2 +207x63 =10(x 3 10 ) (x+24 ) 10 x 2 +207x63 = 10 ( 10x3 10 ) (x24 ) 10 x 2 +207x63 =(10x3 ) (x24 )
  20. 10015x x 2 x 2 +15x100 =0 (x+20 ) (x5 ) =0 x+20 =0 x 1 =20 x5 =0 x 2 =5 x 2 +15x100 =(x+20 ) (x5 )
  21. 18 x 2 +31x49 18 x 2 +31x49 =0 18 x 2 18x+49x49 =0 18x(x1 ) +49(x1 ) =0 (x1 ) (18x+49 ) =0 x1 =0 x 1 =1 18x+49 =0 18x =49 x 2 = 49 18 18 x 2 +31x49 =18(x1 ) (x+ 49 18 ) 18 x 2 +31x49 = 18 (x1 ) ( 18x+49 18 ) 18 x 2 +31x49 =(x1 ) (18x+49 )
  22. 6 x 2 ax2 a 2 6 x 2 ax2 a 2 =0 6 x 2 +3ax4ax2 a 2 =0 3x(2x+a ) 2a(2x+a ) =0 (2x+a ) (3x2a ) =0 2x+a =0 2x =a x 1 = a 2 3x2a =0 3x =2a x 2 = 2a 3 6 x 2 ax2 a 2 =6(x+ a 2 ) (x 2a 3 ) 6 x 2 ax2 a 2 = 6 ( 2x+a 2 ) ( 3x2a 3 ) 6 x 2 ax2 a 2 =(2x+a ) (3x2a )
  23. 5 x 2 +22xy15 y 2 5 x 2 +22xy15 y 2 =0 5 x 2 +25xy3xy15 y 2 =0 5x(x+5y ) 3y(x+5y ) =0 (x+5y ) (5x3y ) =0 x+5y =0 x 1 =5y 5x3y =0 5x =3y x 2 = 3y 5 5 x 2 +22xy15 y 2 =5(x+5y ) (x 3y 5 ) 5 x 2 +22xy15 y 2 = 5 (x+5y ) ( 5x3y 5 ) 5 x 2 +22xy15 y 2 =(x+5y ) (5x3y )
  24. 15 x 2 32mx7 m 2 15 x 2 32mx7 m 2 =0 15 x 2 +3mx35mx7 m 2 =0 3x(5x+m ) 7m(5x+m ) =0 (5x+m ) (3x7m ) =0 5x+m =0 5x =m x 1 = m 5 3x7m =0 3x =7m x 2 = 7m 3 15 x 2 32mx7 m 2 =15(x+ m 5 ) (x 7m 3 ) 15 x 2 32mx7 m 2 = 15 ( 5x+m 5 ) ( 3x7m 3 ) 15 x 2 32mx7 m 2 =(5x+m ) (3x7m )

Ejercicio 279

CAPITULO XXXV

Dadas la suma y el producto de dos números, hallar los números
Ejercicio 279
Encontrar dos números sabiendo que:
  1. La suma es 11 y el producto 30
    x 2 11x+30 =0 (x6 ) (x5 ) =0 x6 =0 x 1 =6 x5 =0 x 2 =5
  2. La suma es -33 y el producto 260
    x 2 +33x+260 =0 (x+13 ) (x+20 ) =0 x+13 =0 x 1 =13 x+20 =0 x 2 =20
  3. La suma es -1 y el producto -306
    x 2 +x306 =0 (x+18 ) (x17 ) =0 x+18 =0 x 1 =18 x17 =0 x 2 =17
  4. La suma es -49 y el producto 294
    x 2 +49x+294 =0 (x+42 ) (x+7 ) =0 x+42 =0 x 1 =42 x+7 =0 x 2 =7
  5. La suma es 6 y el producto -247
    x 2 6x247 =0 (x19 ) (x+13 ) =0 x19 =0 x 1 =19 x+13 =0 x 2 =13
  6. La suma es 3 2 y el producto -1
    x 2 3 2 x1 =0 2 x 2 3x2 =0 2 x 2 4x+x2 =0 2x(x2 ) +(x2 ) =0 (x2 ) (2x+1 ) =0 x2 =0 x 1 =2 2x+1 =0 2x =1 x 2 = 1 2
  7. La suma es 22 3 y el producto 8
    x 2 + 22 3 x+8 =0 3 x 2 +22x+24 =0 3 x 2 +18x+4x+24 =0 3x(x+6 ) +4(x+6 ) =0 (x+6 ) (3x+4 ) =0 x+6 =0 x 1 =6 3x+4 =0 3x =4 x 2 = 4 3
  8. La suma es 1 4 y el producto 3 8
    x 2 1 4 x 3 8 =0 8 x 2 2x3 =0 8 x 2 +4x6x3 =0 4x(2x+1 ) 3(2x+1 ) =0 (2x+1 ) (4x3 ) =0 2x+1 =0 2x =1 x 1 = 1 2 4x3 =0 4x =3 x 2 = 3 4
  9. La suma es 13 4 7 y el producto -6
    13 4 7 95 7 x 2 + 95 7 x6 =0 7 x 2 +95x42 =0 7 x 2 +98x3x42 =0 7x(x+14 ) 3(x+14 ) =0 (x+14 ) (7x3 ) =0 x+14 =0 x 1 =14 7x3 =0 7x =3 x 2 = 3 7
  10. La suma es 3 1 3 y el producto 1
    3 1 3 10 3 x 2 + 10 3 x+1 =0 3 x 2 +10x+3 =0 3 x 2 +9x+x+3 =0 3x(x+3 ) +(x+3 ) =0 (x+3 ) (3x+1 ) =0 x+3 =0 x 1 =3 3x+1 =0 3x =1 x 2 = 1 3
  11. La suma es 31 40 y el producto 3 20
    x 2 31 40 x+ 3 20 =0 40 x 2 31x+6 =0 40 x 2 15x16x+6 =0 5x(8x3 ) 2(8x3 ) =0 (8x3 ) (5x2 ) =0 8x3 =0 8x =3 x 1 = 3 8 5x2 =0 5x =2 x 2 = 2 5
  12. La suma es 1 6 y el producto 5 9
    x 2 + 1 6 x 5 9 =0 18 x 2 +3x10 =0 18 x 2 +15x12x10 =0 3x(6x+5 ) 2(6x+5 ) =0 (6x+5 ) (3x2 ) =0 6x+5 =0 6x =5 x 1 = 5 6 3x2 =0 3x =2 x 2 = 2 3
  13. La suma es 7 20 y el producto 3 10
    x 2 7 20 x 3 10 =0 20 x 2 7x6 =0 20 x 2 15x+8x6 =0 5x(4x3 ) +2(4x3 ) =0 (4x3 ) (5x+2 ) =0 4x3 =0 4x =3 x 1 = 3 4 5x+2 =0 5x =2 x 2 = 2 5
  14. La suma es 4 1 5 y el producto -4
    4 1 5 21 5 x 2 21 5 x4 =0 5 x 2 21x20 =0 5 x 2 25x+4x20 =0 5x(x5 ) +4(x5 ) =0 (x5 ) (5x+4 ) =0 x5 =0 x 1 =5 5x+4 =0 5x =4 x 2 = 4 5
  15. La suma es 59 72 y el producto 1 6
    x 2 59 72 x+ 1 6 =0 72 x 2 59x+12 =0 72 x 2 27x32x+12 =0 9x(8x3 ) 4(8x3 ) =0 (8x3 ) (9x4 ) =0 8x3 =0 8x =3 x 1 = 3 8 9x4 =0 9x =4 x 2 = 4 9
  16. La suma es 2 y el producto -4
    x 2 2x4 =0 x = (2 ) ± (2 ) 2 4( 1 ) (4 ) 2( 1 ) x = 2 ± 4+16 2 x = 2 ± 20 2 x = 2 ± 2 2 .5 2 x = 2 ± 2 5 2 x = 2 (1 ± 5 ) 2 x 1 =1+ 5 x 2 =1 5
  17. La suma es 1 y el producto 11 4
    x 2 x 11 4 =0 4 x 2 4x11 =0 x = (4 ) ± (4 ) 2 4( 4 ) (11 ) 2( 4 ) x = 4 ± 16+176 8 x = 4 ± 192 8 x = 4 ± 8 2 .3 8 x = 4 ± 8 3 8 x = 4 (1 ± 2 3 ) x = 1 ± 2 3 2 x 1 = 1+2 3 2 x 2 = 12 3 2
  18. La suma es 1 1 3 y el producto 6 5 9
    1 1 3 4 3 6 5 9 59 9 x 2 + 4 3 x 59 9 =0 9 x 2 +12x59 =0 x = 12 ± 1 2 2 4( 9 ) (59 ) 2( 9 ) x = 12 ± 144+2124 18 x = 12 ± 2268 18 x = 12 ± 2 2 . 3 4 .7 18 x = 12 ± 2( 3 2 )7 18 x = 12 ± 18 7 18 x = 6 (2 ± 3 7 ) x = 2 ± 3 7 3 x 1 = 2+3 7 3 x 2 = 23 7 3
  19. La suma es a y el producto 2 a 2
    x 2 ax2 a 2 =0 (x2a ) (x+a ) =0 x2a =0 x 1 =2a x+a =0 x 2 =a
  20. La suma es 7b y el producto 10 b 2
    x 2 +7bx+10 b 2 =0 (x+5b ) (x+2b ) =0 x+5b =0 x 1 =5b x+2b =0 x 2 =2b
  21. La suma es m 2 y el producto m 2 9
    x 2 m 2 x m 2 9 =0 18 x 2 9mx2 m 2 =0 18 x 2 +3mx12mx2 m 2 =0 3x(6x+m ) 2m(6x+m ) =0 (6x+m ) (3x2m ) =0 6x+m =0 6x =m x 1 = m 6 3x2m =0 3x =2m x 2 = 2m 3

Ejercicio 278

CAPITULO XXXV

Dadas las raíces de una ecuación de segundo grado, determinar la ecuación
Ejercicio 278
Determinar la ecuación cuyas raíces son:
  1. 3 y 4
    3+4 =7 x 2 7x+12=0 3( 4 ) =12
  2. -1 y 3
    1+3 =2 x 2 2x3=0 1( 3 ) =3
  3. -5 y -7
    57 =12 x 2 +12x+35=0 5(7 ) =35
  4. -10 y 11
    10+11 =1 x 2 x+110=0 10( 11 ) =110
  5. 1 y 1 2
    1+ 1 2 = 3 2 x 2 3 2 x+ 1 2 =02 x 2 3x+1=0 1( 1 2 ) = 1 2
  6. -2 y 1 5
    2 1 5 = 11 5 x 2 + 11 5 x+ 2 5 =05 x 2 +11x+2=0 2( 1 5 ) = 2 5
  7. 3 y 2 3
    3 2 3 = 7 3 x 2 7 3 x+1=03 x 2 7x+3=0 3 ( 1 3 ) =1
  8. -2 y 3 2
    2 3 2 = 7 2 x 2 + 7 2 x+3=02 x 2 +7x+6=0 2 ( 3 2 ) =3
  9. 1 2 y 3 4
    1 2 + 3 4 = 1 4 x 2 1 4 x 3 8 =08 x 2 2x3=0 1 2 ( 3 4 ) = 3 8
  10. -5 y 2 7
    5+ 2 7 = 33 7 x 2 + 33 7 x 10 7 =07 x 2 +33x10=0 5( 2 7 ) = 10 7
  11. 6 y 5 3
    6 5 3 = 13 3 x 2 13 3 x10=03 x 2 13x30=0 ( 5 3 ) =10
  12. -2 y 1 8
    2 1 8 = 17 8 x 2 + 17 8 x+ 1 4 =08 x 2 +17x+2=0 2 ( 1 ) = 1 4
  13. 18 y -52
    1852 =34 x 2 +34x+936=0 18(52 ) =936
  14. -15 y -11
    1511 =26 x 2 +26x+165=0 15(11 ) =165
  15. 0 y 2
    0+2 =2 x 2 2x=0 0( 2 ) =0
  16. 0 y 1 3
    0 1 3 = 1 3 x 2 + 1 3 x=03 x 2 +x=0 0( 1 3 ) =0
  17. 5 y -5
    55 =0 x 2 25=0 5(5 ) =25
  18. 1 2 y 1 2
    1 2 1 2 =0 x 2 1 4 =04 x 2 1=0 1 2 ( 1 2 ) = 1 4
  19. 7 y 7
    7+7 =14 x 2 14x+49=0 7( 7 ) =49
  20. 8 y 11 3
    8 11 3 = 13 3 x 2 13 3 x 88 3 =03 x 2 13x88=0 8( 11 3 ) = 88 3
  21. 5 6 y 9 2
    5 6 9 2 = 16 3 x 2 + 16 3 x+ 15 4 =012 x 2 +64x+45=0 5 ( 2 ) = 15 4
  22. 11 2 y 2 7
    11 2 + 2 7 = 73 14 x 2 + 73 14 x 11 7 =014 x 2 +73x22=0 11 2 ( 2 7 ) = 11 7
  23. 2a y -a
    2aa =a x 2 ax2 a 2 =0 2a(a ) =2 a 2
  24. 2b 3 y b 4
    2b 3 + b 4 = 5 12 b x 2 + 5 12 bx b 2 6 =012 x 2 +5bx2 b 2 =0 2 b 3 ( b ) = b 2 6
  25. m y m 2
    m m 2 = m 2 x 2 m 2 x m 2 2 =02 x 2 mx m 2 =0 m( m 2 ) = m 2 2

Ejercicio 277

CAPITULO XXXV

Propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado
Ejercicio 277
Determinar, por las propiedades de las raíces si:
  1. 2 y -3 son las raíces de x 2 +x6=0
    23 =1 { coeficiente de x con el signo cambiando tercer término con su propio signo 2(6 ) =6 2 y 3 si son raíces de la ecuación
  2. 1 y 5 son las raíces de x 2 4x5=0
    1+5 =6 { no es coeficiente de x con el signo cambiando no es el tercer término con su propio signo 1( 5 ) =5 1 y 5 no son raíces de la ecuación
  3. 1 y 1 2 son las raíces de 2 x 2 x1=0
    2 x 2 x1=0 x 2 1 2 x 1 2 =0 1 1 2 = 1 2 { coeficiente de x con el signo cambiando tercer término con su propio signo 1( 1 2 ) = 1 2 1 y  1 2  si son raíces de la ecuación
  4. -3 y 1 3 son las raíces de 3 x 2 +8x3=0
    3 x 2 +8x3=0 x 2 + 8 3 x1=0 3+ 1 3 = 8 3 { coeficiente de x con el signo cambiando tercer término con su propio signo 3 ( 1 3 ) =1 3 y  1 3  si son raíces de la ecuación
  5. 2 y 1 5 son las raíces de 5 x 2 11x+2=0
    5 x 2 11x+2=0 x 2 11 5 x+ 2 5 =0 2 1 5 = 9 5 { no es coeficiente de x con el signo cambiando no es el tercer término con su propio signo 2( 1 5 ) = 2 5 2 y  1 5  no son raíces de la ecuación
  6. -4 y 1 4 son las raíces de 4 x 2 +17x+4=0
    4 x 2 +17x+4=0 x 2 + 17 4 x+1=0 4 1 4 = 17 4 { coeficiente de x con el signo cambiando tercer término con su propio signo 4 ( 1 4 ) =1 4 y  1 4  si son raíces de la ecuación
  7. -5 y 1 5 son las raíces de 5 x 2 +24x5=0
    5 x 2 +24x5=0 x 2 + 24 5 x1=0 5 1 5 = 26 5 { no es el coeficiente de x con el signo cambiando no es el tercer término con su propio signo 5 ( 1 5 ) =1 5 y  1 5  no son raíces de la ecuación
  8. 4 y -7 son las raíces de x 2 +3x28=0
    47 =3 { coeficiente de x con el signo cambiando tercer término con su propio signo 4(7 ) =28 4 y 7 si son raíces de la ecuación
  9. 1 2 y 2 3 son las raíces de 6 x 2 +x2=0
    6 x 2 +x2=0 x 2 + 1 6 x 1 3 =0 1 2 2 3 = 1 6 { coeficiente de x con el signo cambiando tercer término con su propio signo 1 2 ( 2 3 ) = 1 3 1 2  y  2 3  si son raíces de la ecuación
  10. 1 2 y 3 4 son las raíces de 8 x 2 2x3=0
    8 x 2 2x3=0 x 2 1 4 x 3 8 =0 1 2 3 4 = 1 4 { no es el coeficiente de x con el signo cambiando si es el tercer término con su propio signo 1 2 ( 3 4 ) = 3 8 1 2  y  3 4  no son raíces de la ecuación

Ejercicio 276

CAPITULO XXXV

Representación y solución gráfica de ecuaciones de segundo grado
Ejercicio 276
Determinar el carácter de las raíces de las ecuaciones siguientes, sin resolverlas:
  1. 3 x 2 +5x2 =0 Sea: a=3 b=5 c=2 b 2 4ac = 5 2 4( 3 ) (2 ) =25+24 =49 las raíces son reales y desiguales, además es cuadrado perfecto ambas raíces son racionales
  2. 2 x 2 4x+1 =0 Sea: a=2 b=4 c=1 b 2 4ac = (4 ) 2 4( 2 ) ( 1 ) =168 =8 las raíces son reales y desiguales, además no es cuadrado perfecto ambas raíces son irracionales
  3. 4 x 2 4x+1 =0 Sea: a=4 b=4 c=1 b 2 4ac = (4 ) 2 4( 4 ) ( 1 ) =1616 =0 las raíces son reales e iguales
  4. 3 x 2 2x+5 =0 Sea: a=3 b=2 c=5 b 2 4ac = (2 ) 2 4( 3 ) ( 5 ) =460 =54 las raíces son imaginarias y desiguales.
  5. x 2 10x+25 =0 Sea: a=1 b=10 c=25 b 2 4ac = (10 ) 2 4( 1 ) ( 25 ) =100100 =0 las raíces son reales e iguales
  6. x 2 5x5 =0 Sea: a=1 b=5 c=5 b 2 4ac = (5 ) 2 4( 1 ) (5 ) =25+20 =45 las raíces son reales y desiguales, además no es cuadrado perfecto ambas raíces son irracionales
  7. 2 x 2 9x+7 =0 Sea: a=2 b=9 c=7 b 2 4ac = (9 ) 2 4( 2 ) ( 7 ) =8156 =25 las raíces son reales y desiguales, además es cuadrado perfecto ambas raíces son racionales
  8. 36 x 2 +12x+1 =0 Sea: a=36 b=12 c=1 b 2 4ac =1 2 2 4( 36 ) ( 1 ) =144144 =0 las raíces son reales e iguales
  9. 4 x 2 5x+3 =0 Sea: a=4 b=5 c=3 b 2 4ac = (5 ) 2 4( 4 ) ( 3 ) =2548 =23 las raíces son imaginarias y desiguales.
  10. x 2 +x1 =0 Sea: a=1 b=1 c=1 b 2 4ac = 1 2 4( 1 ) (1 ) =1+4 =5 las raíces son reales y desiguales, además no es cuadrado perfecto ambas raíces son irracionales
  11. 5 x 2 7x+8 =0 Sea: a=5 b=7 c=8 b 2 4ac = (7 ) 2 4( 5 ) ( 8 ) =49160 =111 las raíces son imaginarias y desiguales.
  12. x 2 10x11 =0 Sea: a=1 b=10 c=11 b 2 4ac = (10 ) 2 4(10 ) (11 ) =100440 =340 las raíces son imaginarias y desiguales.